第四章第05讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型（3类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第05讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 目录 【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】 1 【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】 3 【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】 4 【过关检测】 8 【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，与相交于O，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，， ． 8．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是一个五角星环饰，则 ． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，将五角星沿着虚线剪下．若，则 ． 10．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，D，E，F分别是三边延长线上的点，则 °． 三、解答题 11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点E在边上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 目录 【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】 1 【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】 3 【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】 4 【过关检测】 8 【模型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型】 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，然后在中利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 在中，． 故选：B． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 【模型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型】 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 【模型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型】 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，与相交于O，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先根据三角形的外角性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∵，， ∴； 故选D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作射线，根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图所示，作射线， ∵，， ∴ 即 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，， ． 【答案】/30度 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是一个五角星环饰，则 ． 【答案】/180度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质，得 ， ， ， 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，将五角星沿着虚线剪下．若，则 ． 【答案】/210度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角与外角，根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可． 【详解】如图， ∵， 而， ∴，即， 又∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： ． 10．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，D，E，F分别是三边延长线上的点，则 °． 【答案】180 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形的内角和定理及三角形外角的性质计算．主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：180． 三、解答题 11．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据，即可得证． 【详解】证明：∵是的一个外角， ∴， 即． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，点E在边上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形外角的性质定理、对顶角相等、三角形内角和定理等知识． （1）利用三角形外角的性质定理即可求出答案； （2）根据对顶角相等得到，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，，是的一个外角， ． （2）解：， ， ． 13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 14．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． （1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论； ③由（1）中“规形图”结论可知：，结合三角形的内角和即可得解 【详解】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 16．（24-25八年级上·陕西西安·期末）平面内不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系．      (1)如图1，若，点在的同侧，则有，是的外角，故，得．将点移到两平行线之间，如图2，结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论； (2)在图3中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则，，，之间有何数量关系？并证明你的猜想； (3)如图4，设交于点交于点，已知，． ①求出的度数； ②计算出比大多少度． 【答案】(1)不成立，，见解析 (2)，见解析 (3)①；②比大 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，掌握类比的方法解题是关键． （1）如图2，延长交于点．证明，再结合三角形的外角的性质可得； （2）如图3所示，连接并延长．再利用三角形的外角的性质与角的和差运算可得结论； （3）①由（2）的结论，得，结合，可得答案； ②由，，可得，结合，可得答案． 【详解】（1）解：不成立．应为． 证明：如图2，延长交于点．   ， ． 又， ． （2）解：． 证明：如图3所示，连接并延长．    ∴，， ∴． （3）解：①由（2）的结论，得：， ∵ ∴ ②∵，， ∴， ∵， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$