第四章第03讲 全等三角形性质和判定（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第03讲 全等三角形性质和判定 课程标准 学习目标 ①全等三角形的概念 ②全等三角形的性质 1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；(重点) 2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；(重点) 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)　 知识点01 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，则 ． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 知识点02 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练2】 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【详解】证明：， ， 即：． ，， ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 知识点03 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练3】 1．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、在上，，，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，从而得出，再计算即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 题型01 全等三角形的性质 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，，垂足分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余；熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键．依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中， 又∵ ∴ 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 故选C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，与，与是对应角，有下列个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的的对应边相等，对应角相等解答即可求解，找准对应点是解题的关键． 【详解】解：∵，与，与是对应角， ∴，，，， ∴正确的结论是①②④，共个， 故选：． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型02 用SSS证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质； （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，再根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：因为E是的中点， 所以， 因为，所以， 在和中， ， 所以． （2）解：．理由如下： 因为， 所以， 所以． 题型03 用ASA证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，可得，利用“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ； （2）， ，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)17 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可． （1）根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定定理即可证明． （2）根据全等三角形的性质得到，再由，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ， ，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）在和中，运用角边角即可求证； （2）在和中，可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与互相平分． 题型04 用AAS证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 在和中， （2）解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 题型05 用SAS证明两三角形全等 例题：（23-24九年级下·福建南平·阶段练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是通过已知条件证明三角形全等，进而得到角相等，从而证明两直线平行． 先根据得出，再结合已知的和，利用“边角边”判定定理证明，得到对应角相等，最后根据同位角相等证明． 【详解】， ， ， 在和中， ， ． ． ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据（SSS）判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用（SAS）判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的性质是解答的关键． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 题型06 添加条件使两三角形全等 例题：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】线段中点的有关计算、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理，是解题的关键． 根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是 ． 【答案】（或或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵且要使， ∴①当时，；②当时，；③当时，； 故答案为：（或或）． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 题型07 由三角形全等求时间或线段长 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【答案】(1)，； (2)； (3)每秒；． 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】（）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 题型08 利用全等图形求正方形网格中角度之和 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 2．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据，可得，进而得到，结合 ，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； 、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； 、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； 、已知两角及一角的对边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：B．    5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算：由全等得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，直角三角形的性质．由全等三角形的性质推出，得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点，于点，与交于点，，则的长度为 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质得到是解题的关键．根据题意可证，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 10．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，．    【答案】3或7 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意分类讨论．分两种情况：当点F在射线上时，当点F在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点F在射线上时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 当点F在射线上时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F运动时间为． 综上分析可知：点运动或时，． 故答案为：3或7． 三、解答题 11．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，点是的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题查看了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，由平行得到，然后证明即可； （2）首先由全等得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明： 点是的中点     ∵     在和中， ； （2）           ． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由，推导出，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，根据同位角相等，两直线平行得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在与中， ． （2）由（1）得， ， ． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点A，F，C，E在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和； （1）由可得，即可得到； （2）由可得，再由得到，最后根据列方程计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和角的运算，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题得关键． （1）先求出，再根据判定三角形全等即可； （2）由，得，可求得，由平分，求得，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以， 因为平分，所以， 所以， 所以． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)是，理由见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明即可； （2）利用证明，即可； （3）证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （3）是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 16．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）①证明即可得到； ②由（1）得，得到，即可证明，得到； （2）由的面积为，，得到，由（1）可知，，则，再根据，得到，求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：（1）① ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； ② ； 理由：由（1）得， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 解得， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即种植鲜花的面积是． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形性质和判定 课程标准 学习目标 ①全等三角形的概念 ②全等三角形的性质 1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；(重点) 2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；(重点) 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)　 知识点01 全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，则 ． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 知识点02 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练2】 1．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 知识点03 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练3】 1．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、在上，，，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 题型01 全等三角形的性质 例题：（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，，垂足分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，与，与是对应角，有下列个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 题型02 用SSS证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，且． (1)试说明：； (2)判断和的位置关系，并说明理由． 题型03 用ASA证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，点在线段上，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在一条直线上，，交于点．试说明： (1)； (2)与互相平分． 题型04 用AAS证明两三角形全等 例题：（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． (1)求证：． (2)求两堵木墙之间的距离． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型05 用SAS证明两三角形全等 例题：（23-24九年级下·福建南平·阶段练习）如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型06 添加条件使两三角形全等 例题：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的中点，要使，还需要添加一个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，，，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使，则需添加的条件是 ． 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 题型07 由三角形全等求时间或线段长 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ． 2．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 题型08 利用全等图形求正方形网格中角度之和 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 2．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点，于点，与交于点，，则的长度为 ． 10．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 s时，．    三、解答题 11．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，点是的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点A，F，C，E在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图①，已知． (1)求证． (2)图①中还有没有其他全等的三角形？若有请写出并说明理由． (3)如图②，连接，是不是的平分线？请说明理由． 16．（24-25七年级下·全国·期末）【问题探究】 （1）如图①，在中，，的平分线交于点，于点． ①试说明：； ②如图②，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）若图②中的是某市的一块空地，，和是三条小路（小路宽度忽略不计），现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$