专题10.3 分式的加减（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题10.3 分式的加减（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：. 【要点提示】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式 时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符 号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【知识点2】异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为：. 【要点提示】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【知识点3】分式加减的混合运算 运算顺序：与分数的混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 【要点提示】在运算过程中，要注意符号的变化，特别是在去括号和通分的时候。运算结果必须化为最简分式或整式。 【知识点4】分式加减的应用 分式的加减在解决实际问题中有着广泛的应用，如在工程问题、行程问题、销售问题等中，常常会用到分式的加减来表示数量关系和解决问题。 知识点与题型目录 【题型1】同分母分式加减法.....................................................2 【题型2】异分母分式加减法.....................................................2 【题型3】整式与分式相加减.....................................................2 【题型4】已知分式恒等式,确定分子或分母........................................3 【题型5】分式加减混合运算.....................................................3 【题型6】分式加减的实际应用...................................................4 【题型7】直通中考.............................................................4 【题型8】拓展延伸.............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】同分母分式加减法 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）化简下列各式： （1）； （2）． 【变式1】（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【题型2】异分母分式加减法 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业），为实数，且．设，，则 （填“”“”或“”）． 【题型3】整式与分式相加减 【例3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【变式1】（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【题型4】已知分式恒等式,确定分子或分母 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【变式1】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【题型5】分式加减混合运算 【例5】（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【题型6】分式加减的实际应用 【例6】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． （1）已知，，请你用作差法比较A与B的大小． （2）甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．（结果化为最简形式） 【题型7】直通中考 【例1】（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为 ． 【例2】（2021·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 【例2】（23-24八年级上·湖南株洲·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 （1）例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； （2）已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； （3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.3 分式的加减（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：. 【要点提示】 （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式 时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符 号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【知识点2】异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为：. 【要点提示】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【知识点3】分式加减的混合运算 运算顺序：与分数的混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。 【要点提示】在运算过程中，要注意符号的变化，特别是在去括号和通分的时候。运算结果必须化为最简分式或整式。 【知识点4】分式加减的应用 分式的加减在解决实际问题中有着广泛的应用，如在工程问题、行程问题、销售问题等中，常常会用到分式的加减来表示数量关系和解决问题。 知识点与题型目录 【题型1】同分母分式加减法.....................................................2 【题型2】异分母分式加减法.....................................................3 【题型3】整式与分式相加减.....................................................5 【题型4】已知分式恒等式,确定分子或分母........................................7 【题型5】分式加减混合运算.....................................................8 【题型6】分式加减的实际应用..................................................10 【题型7】直通中考............................................................12 【题型8】拓展延伸............................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】同分母分式加减法 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查利用平方差公式化简分式， （1）根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； （2）变式后根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【答案】x 【分析】本题考查了分式的加减运算．先通分：将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分． 解： 故答案为：x． 【题型2】异分母分式加减法 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先通分，然后根据同分母分式的加减法法则计算； （2）先把同分母的结合计算，再通分，然后根据同分母分式的加减法法则计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式1】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业），为实数，且．设，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．将两式分别化简，然后将代入其中，再进行比较，即可得出结论． 解：， ； ； ， 故答案为：． 【题型3】整式与分式相加减 【例3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】从第①步开始出现错误，正确的解题过程见分析 【分析】本题考查分式的加减运算，利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键． 解：上述解题过程从第①步开始出现错误． 正确的解题过程如下： ． 【变式1】（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：原式 ， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 解：， 故答案为：． 【题型4】已知分式恒等式,确定分子或分母 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 【变式1】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点拨】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 【题型5】分式加减混合运算 【例5】（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 解：原式 ， 当时，原式． 【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 解：，， ， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 【题型6】分式加减的实际应用 【例6】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． （1）已知，，请你用作差法比较A与B的大小． （2）甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？ 【答案】（1）；（2）乙的购买粮食更划算，理由见详解 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，分式加减的运算的应用； （1）作差，即可求解； （2）设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，则有甲两次大米的平均价格为元，乙两次大米的平均价格为，化简后，作差法比较大小，即可求解； 会用作差法比较代数式大小是解题的关键． 解：（1）解： ， ， ； （2）解：乙的购买粮食更划算； 理由如下： 设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，由题意得 甲两次大米的平均价格为元， 乙两次大米的平均价格为 元， ， ， 故乙的购买粮食更划算． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．（结果化为最简形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【题型7】直通中考 【例1】（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点拨】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 【例2】（2021·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】3 【分析】先由可得，再运用分式的减法计算，然后变形将代入即可解答． 解：∵ ∴ ∴． 故填：3． 【点拨】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题关键，根据可得，故，据此即可求解． 解：， ， ， 原式 ． 故答案为：． 【例2】（23-24八年级上·湖南株洲·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 （1）例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； （2）已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； （3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】（1）>；（2）；（3）小王的加油方式平均单价更低 【分析】本题考查了分式的减法及利用作差法比较两个分式的大小． （1）由可得． （2）先将化简，再求出，将结果化简成最简分式，再判断结果的符号，即可比较A与的大小； （3）先分别用代数式表示出小王和小张平均每次加油的单价，再利用作差法比较大小即可． 熟练掌握异分母分式的相加减，并且能正确的列出代数式是解题的关键． 解：（1）∵， ∴． 故答案为：> （2）， ， ， ， ， ， ． （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$