13 分式的加减 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

７３　 ∴EF与DG 平行且相等． ８．证 明:如 图,取AC 的中点N,连接 MN、DN．∵M 是BC 的中点,N 是AC 的中点,∴MN∥ AB,MN＝１２AB ,∴∠B＝∠NMC．∵AD 是△ABC的高,N 是 AC的中点,∴DN＝CN,∴∠C＝∠NDC．∵∠NMC＝∠NDC＋ ∠MND,∠B＝２∠C,∴ ∠MDN＝ ∠MND＝ ∠C,∴MD＝ MN,∴MD＝ １２AB． ９． (１)３　(２)１２a １ ４S (３)１２na　 １ ４nS　１０． (１)相等　６０°　(２)△MNP是等边三角形．理由如 下:由 旋 转 可 得 ∠BAD＝ ∠CAE．又 AB＝AC,AD＝AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD＝CE,∠ABD＝∠ACE．∵M、N 分别为DE、BE的中点,∴MN 是△EBD 的中位线,∴MN＝ １ ２BD ,且 MN∥BD．同理可证 PN＝ １２CE ,且 PN∥CE, ∴MN＝PN,∠MNE＝∠DBE,∠NPB＝∠ECB．∴∠MNE＝ ∠DBE＝ ∠ABD＋ ∠ABE＝ ∠ACE＋ ∠ABE,∠ENP＝ ∠EBP＋∠NPB＝∠EBP＋∠ECB．∵∠MNP＝∠MNE＋ ∠ENP＝ ∠ACE＋ ∠ABE＋ ∠EBP＋ ∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝６０°,∴△MNP 是等边三角形．　(３)根据题意得 BD≤AB＋AD,即 BD≤４,∴MN≤２,△MNP 的 面 积 ＝ １ ２MN 􀅰 ３ ２MN＝ ３ ４MN ２,∴△MNP 面积的最大值为 ３． １１．C　１２．６ １１　矩形、菱形、正方形 １．D ２．B ３．９０° ４．２０ ５．D ６．不会 ７．１１ ８．(２,４) 或(３,４)或(８,４) ９．EF＝PD．理由如下:连接BP、BD．在正 方形ABCD 中,AC 垂直平分BD,∴BP＝PD．∵PE⊥AB, PF⊥BC,∠ABC＝９０°,∴四边形EBFP 是矩形,∴PB＝EF, ∴EF＝PD． １０．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CF∥ED,∴∠FCG＝∠EDG．∵G 是CD 的中点,∴CG＝ DG．又 ∠CGF＝ ∠DGE,∴ △FCG≌ △EDG,∴FG＝EG． ∵CG＝DG,∴四边形CEDF 是平行四边形．　(２)①３．５　 ②２　１１．(１)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB＝AD, ∴∠ABD＝∠ADB,∴∠ABE＝∠ADF．在△ABE 和△ADF 中, AB＝AD, ∠ABE＝∠ADF, BE＝DF, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△ADF(SAS)．　(２)四边 形AECF是菱形．理由如下:连接AC,交BD 于点O．∵四边 形ABCD为正方形,∴OA＝OC,OB＝OD,AC⊥EF．∵BE＝ DF,∴OB＋BE＝OD＋DF,即OE＝OF．又OA＝OC,∴四边 形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形． １２．(１)证明:∵DE是△ABC 的中位线,∴D、E 分别是AB、 AC的中点,∴AD＝１２AB．∵E 是AC 的中点,F 是BC 的中 点,∴EF 是 △ABC 的 中 位 线,∴EF∥AB,EF＝ １２AB , ∴EF＝AD,EF∥AD,∴四边形ADFE 是平行四边形,∴AF 与DE 互相平分．　(２)当AF＝１２BC 时,四边形ADFE 为矩 形．理由如下:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE＝１２BC． ∵AF＝１２BC ,∴AF＝DE．由(１)知四边形ADFE是平行四边 形,∴四边形ADFE 为矩形． １３．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC．∵DE＝AD,∴DE＝BC． ∵点E在AD 的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE 是平 行四边形．∵BE⊥DC,∴四边形DBCE 是 菱形．　(２)如图,作点 N 关于BE 的对称 点N′,过点 D 作DH ⊥BC 于点 H．由菱 形的对 称 性 知 点 N′在 DE 上,∴PM＋ PN＝PM＋PN′,∴当P、M、N′三点共线 时,PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′．∵DE∥ BC,∴MN′的最小值为平行线间的距离DH 的长,即PM＋ PN 的最小值为DH 的长．在 Rt△DBH 中,∠DBH＝６０°, DB＝２,∴DH＝２× ３２＝ ３ ,∴PM＋PN 的最小值为 ３． １２　分式　分式的基本性质 １．B ２．C ３．D ４．C ５．D ６．３　７．２０x－３y５０x＋２０y　 ８．１５００２x＋３５ ９．A １０．D １１．D １２．C １３． ６０ m (答案不 唯一) １４．３２ １５．２０２１．５ １６．０＜x＜ ３ ２ １７． 选取①② 得a ２－２ab＋b２ ３a－３b ＝ (a－b)２ ３(a－b)＝ a－b ３ ． 当a＝６,b＝３时,原式＝ ６－３ ３ ＝１． (答案不唯一) １８．A １９．x≠－１ １３　分式的加减 １．C ２．A ３．x ４．２３ ５． (１)１ab＝ ９ab ９a２b２ ,a ３b２＝ ３a３ ９a２b２ , ３ ９a２b＝ ３b ９a２b２ (２) ３a２a－２b＝ ３a ２a－２b ,２b b－a＝ － ４b ２a－２b　 (３)１a＋１＝ a－１ a２－１ ,３ １－a＝－ ３a＋３ a２－１ , ５ a２－１＝ ５ a２－１ ６． (１)原 式＝a＋b (２)原式＝ １x＋３ ７．－６ ８． 原式＝x－１x＋１ ９． 原 式＝ ３x(x＋３) １０．A＝２ ,B＝１ １１．１ １２．(１)A＝ (x＋１)２ (x＋１)(x－１)－ x x－１＝ x＋１ x－１－ x x－１＝ １ x－１． (２)解不等式 x－１≥０,得x≥１,解不等式x－３＜０,得x＜３,∴不等式组的 解集为１≤x＜３．又x为整数∴x＝１或２．∵x≠±１,∴x＝２, ∴A＝ １２－１＝１． １３． (１)１００(x＋y) (１００x ＋ １００ y ) x＋y ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４　 ２xy x＋y (２)乙 １４．A １５．因式分解　三　 １x－２ １４　分式的乘除 １．B ２．B ３．(１)axy (２)－２b９x (３)x＋３x－１　 (４)－m２n　 ４． １a－b ５． 原 式 ＝ １a＋１ ６．A ７．B ８．A ９． ５ ２ １０．原式＝ ２x＋１　１１． 原式＝x３ ,当x＝２时,原式＝２３． １２．原式＝ ３aa－１ ,当a＝４时,原式＝３×４４－１＝４． １３． 原式＝ ４ a ,∵a≠±１,∴当a＝ ２时,原式＝２ ２． １４．(A－B)÷ C＝ １x－２ ,当x＝３时,原式＝１．(或 A－B÷C＝ １x ,当x＝３ 时,原式＝１３ ) １５．原式＝ x ２ x＋１ ,∵x２－x－１＝０,∴x２＝x＋ １,∴ 原 式 ＝x＋１x＋１＝１． １６． 原 式 ＝ [ ab(a＋b)－ ２ a＋b＋ b a(a＋b)] 􀅰 ab a－b＝ a２－２ab＋b２ ab(a＋b) 􀅰 ab a－b＝ (a－b)２ ab(a＋b) 􀅰 ab a－b＝ a－b a＋b．　１７． 原式＝ (m－１m－１＋ １ m－１) 􀅰 (m＋１)(m－１) m ＝ m m－１ 􀅰 (m＋１)(m－１) m ＝m＋１ ,当 m＝２时,原式＝２＋１＝３． １８．原 式＝１． １５　分式方程 １．D ２．D ３．D ４．－１ ５．±１ ６．(１)x＝１２ (２)x＝ －３２ ７．D ８．x＝５ ９．１ １０．m＞－６ 且 m≠ －４　 １１．(１)x＝３２ (２)无解 １２．x＝７ １３．(１)略 (２)x＝a 或x＝ aa－１ １４．D １５．A １６．x＝ ３ ２ １６　分式方程的实际应用 １．A ２．B ３．１２０x ＋ ３００－１２０ (１＋２０％)x＝３０ ４． １５ x － １５ x＋１＝ １ ２ ５．设第一批花每束的进价为x元,则第二批花每束的进价为 (x－５)元．由题意得４５００x－５＝１．５× ４０００ x ,解得x＝２０．经检验, x＝２０是原方程的解,且符合题意．　６．设原计划每天种x棵 树,则 实 际 每 天 种 (１＋２０％)x 棵 树,根 据 题 意 得４０００x － ４０００＋８０ (１＋２０％)x＝３ ,解得x＝２００．经检验,x＝２００是原方程的 解,故原计划植树天数为４０００÷２００＝２０． ７．设每个小组有 学生x名．由题意得３６０３x－ ３６０ ４x＝３ ,解得x＝１０,经检验,x＝１０ 是原方程的解,且符合题意．　８．设该景点在设施改造后平 均每天用水xt,则在改造前平均每天用水２xt．由题意得 ２０ x－ ２０ ２x＝５ ,解得x＝２．经检验,x＝２是原方程的解,且符合 题意． ９．(１)设一等奖奖品的单价为４x元,则二等奖奖品 的单价为３x 元．由题意得６００４x ＋ １２７５－６００ ３x ＝２５ ,解得x＝ １５．经检验,x＝１５是原方程的解,且符合题意．４x＝６０,３x＝ ４５．故一等奖奖品的单价为６０元,二等奖奖品的单价为４５元． (２)设购买一等奖奖品m 件,购买二等奖奖品n件．由题意得 ６０m＋４５n＝１２７５,∴n＝８５－４m３ ．∵m ,n均为正整数,且４≤ m≤１０,∴ m＝４, n＝２３{ 或 m＝７, n＝１９{ 或 m＝１０, n＝１５,{ ∴共有３种购买方 案．方案一:购买４件一等奖奖品,２３件二等奖奖品;方案二: 购买７件一等奖奖品,１９件二等奖奖品;方案三:购买１０件一 等奖奖品,１５件二等奖奖品． １７　反比例函数　反比例函数的图像与性质(１) １．A ２．C ３．C ４．D ５．(１)第三象限 n＞２ (２)n＝ ３􀆰５ (３)b１＞b２　６．A ７．B ８．D ９．C １０．－１０ １１．６ １２．B　１３．３４ １４． (１)在．理由如下:设点A的坐标为 (a,８a ) ． ∵AD⊥x 轴,CB＝CD,∴ ∠CBD＝ ∠CDB．∵ ∠CAD＋ ∠CBD＝９０°,∠CDA＋ ∠CDB＝９０°,∴ ∠CAD＝ ∠CDA． ∴CD＝CA,∴CA＝CB,∴点C的坐标为 (０,４a ) ,∴点B的坐 标为(－a,０)．∵点C、E 关于直线AD 对称,∴点E 的坐标为 (２a,４a ) ．∵２a􀅰 ４ a＝８ ,∴点E 在y＝ ８x (x＞０)的图像上． (２)①∵四边形ACDE 为正方形,∴∠ACD＝９０°,∴∠CBD＝ ４５°,∴∠OCB＝４５°,∴OC＝OB,即 ４a ＝a．∵a＞０ ,∴a＝２． ∴点B的坐标为(－２,０),点C的坐标为(０,２)．将B(－２,０)、 C(０,２)代入y＝kx＋b,得 －２k＋b＝０, b＝２,{ 解得 k＝１, b＝２．{ 　②由① 得点B、D 关于y 轴对称,∴|PE－PB|＝|PE－PD|．根据三 角形三边关系可知,|PE－PD|≤DE,故当P、E、D 三点在同 一条直线上时,|PE－PB|最大．由(１)可知点 D 的坐标为 (２,０),点E的坐标为(４,２)．∴直线 DE 的表达式为y＝x－ ２,当x＝０时,y＝－２,∴点P 的坐标为(０,－２)． １８　反比例函数的图像与性质(２) １．A ２．D ３．＞ ４．图像都经过第一、三象限(答案不唯 一)　一次函数y＝２x＋１的图像是一条直线,反比例函数y＝ ３ x 的图像是双曲线(答案不唯一) ５．(１)y＝－１２x ,y＝－１２x＋ １　(２)５ ６．D ７．C ８．３ ９．１≤k≤４　１０．(１)y１＝ ４x , y２＝２x＋２ (２)x＜－２或０＜x＜１ (３)１２ １１．y１＝ ２x , y２＝－３x １２．１２ １３．８ １４． (１)把C(－４,０)代入y＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２　 　 　分式的加减 １．化简 １a－１－ a a－１ 的结果为 (　　) A．１＋aa－１ B．－ a a－１ C．－１ D．１－a ２．化简 x ２ x－１＋ １ １－x 的结果是 (　　) A．x＋１　 B． １x＋１ C．x－１ D． x x－１ ３．化简 x ２ x－２－ ２x x－２ 的结果是　　　　． ４．若a＝１２ ,则 a(a＋１)２＋ １ (a＋１)２ 的值为　　　　． ５．把下列各组分式通分: (１)１ab ,a ３b２ ,３ ９a２b ;　　 　　(２) ３a２a－２b ,２b b－a ;　　　　(３)１a＋１ ,３ １－a , ５ a２－１． ６．化简: (１)a ２ a－b－ b２ a－b ; (２)１x－３－ ６ x２－９． ７．已知ab＝－１,a＋b＝２,求式子ba＋ a b 的值． ３３　 　　８．化简:１x－１＋ x２－３x x２－１． ９．化简: １x(x＋１)＋ １ (x＋１)(x＋２)＋ １ (x＋２)(x＋３)． １０．如果 A(x－２)＋ B (x＋１)＝ ３x (x－２)(x＋１) ,且A、B 都是常数,求A、B 的值． １１．已知abc＝１,求 aab＋a＋１＋ b bc＋b＋１＋ c ca＋c＋１ 的值． １２．已知A＝x ２＋２x＋１ x２－１ － x x－１． (１)化简A． (２)当x满足不等式组 x－１≥０, x－３＜０{ 且x为整数时,求A 的值． ３４　 　　１３．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不同),甲每次购买粮 食１００kg,乙每次购买粮食用去１００元,设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元/kg, 第二次购买粮食的单价为y元/kg． (１)甲两次购买粮食共要付　　　　　元,乙两次共购买　　　　　kg粮食,若甲两次 购粮的平均单价为Q１元/kg,乙两次购粮的平均单价为Q２ 元/kg,则Q１＝　　　　, Q２＝　　　　．(用含x、y的代数式表示) (２)若规定两次购粮的平均单价低的购粮方式划算,则甲、乙两人的购粮方式哪一个 划算? １４．化简 ３aa－b－ ３b a－b 的结果是 (　　) A．３ B．３a＋３b C．１ D．６aa－b １５．按要求填空． 小王计算 ２x x２－４－ １ x＋２ 的过程如下: 解:２x x２－４－ １ x＋２ ＝ ２x(x＋２)(x－２)－ １ x＋２ 􀆺􀆺第一步 ＝ ２x(x＋２)(x－２)－ x－２ (x＋２)(x－２) 􀆺􀆺第二步 ＝ ２x－x－２(x＋２)(x－２) 􀆺􀆺第三步 ＝ x－２(x＋２)(x－２) 􀆺􀆺第四步 ＝ １x＋２． 􀆺􀆺第五步 小王计算的第一步用到了　　　　　　(填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 　　　　步出现错误．正确的计算结果是　　　　．