精品解析：上海市第八中学2024-2025学年高二下学期数学阶段性习练一（2025.3）

上海市第八中学高二第二学期数学阶段性习练一 2025.3 一、填空题（每题4分，满分48分） 1. 名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有_______不同的结果. 2. 经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直直线l的方程为________． 3. 已知多项式，则___________. 4. 、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有__________种． 5. 若的展开式中的系数为，则_________ 6. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 7. 已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______. 8. 已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______. 9. 直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是_________. 10. 已知集合}，若，则 k的值为______. 11. 已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数取值所构成的集合为________． 12. 已知函数的定义域， 值域， 则函数为增函数排法共有______种. 二、选择题（每题4分，满分16分） 13. 直线的倾斜角是（ ） A B. C. D. 14. 的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 15. 数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（ ） A. 147 B. 112 C. 65 D. 50 16. 已知实数满足， ， 则的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分36分， 8+8+10+10） 17. 设且. （1）求、的值; （2）求展开式中各项系数和； 18. 解下列方程 （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中， 已知矩形长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. （1）若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； （2）若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离 其 中 （为坐标原点）. （1）若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; （2）若点，， 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市第八中学高二第二学期数学阶段性习练一 2025.3 一、填空题（每题4分，满分48分） 1. 名运动员争夺个运动项目的冠军（不能并列），那么冠军奖杯的归属有_______不同的结果. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意每个运动项目的冠军均有种可能， 所以个运动项目的冠军奖杯的归属有种不同的结果. 故答案为： 2. 经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________． 【答案】x-2y=0 【解析】 【分析】解法1：根据已知条件可以求出与之垂直的直线的斜率，然后代入点斜式求出直线方程，解法2：根据两直线位置关系，直接设出直线方程，代入经过点坐标即可求出结果. 【详解】解法1：已知直线的斜率=-2， 所求直线与已知直线垂直， 故所求直线的斜率， 根据点斜式得所求直线的方程是，即 解法2：因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点 A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是， 故答案为： 3. 已知多项式，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用二项式定理直接求解. 【详解】多项式的展开式中， 含的项为： 所以. 故答案为：8. 4. 、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有__________种． 【答案】36 【解析】 【分析】先计算站在的右边的排法，再减去、相邻且站在的右边的排法可得答案. 【详解】站在的右边的排法有， 、相邻且站在的右边的排法有， 所以必须站在的右边，且、不相邻， 则不同的排法共有种. 故答案为：36. 5. 若的展开式中的系数为，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，求出，再代入计算即可得解. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，解得. 故答案为： 6. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 7. 已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，求出直线的方程，令可得的坐标. 【详解】 作出关于轴的对称点, 连接 ,与轴交于 ,即为所求， 此时取最小值， 由的斜率为， 可得方程， 令，可得， 即为，故答案为. 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 8. 已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【详解】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 9. 直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断直线过定点，分别求得和的斜率，结合图形，由题意只需使直线的斜率满足：或，求解即得参数a的取值范围. 【详解】因直线经过定点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 由图知，要使直线与过两点的线段不相交， 则直线的斜率满足：或， 解得或，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知集合}，若，则 k的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【详解】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 11. 已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 12. 已知函数的定义域， 值域， 则函数为增函数排法共有______种. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域的对应关系和函数的单调性的特征，依题列举即得. 【详解】依题意，使函数为增函数情况有： ①； ②； ③共三种，即排法有3种. 故答案为：3. 二、选择题（每题4分，满分16分） 13. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角． 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，设直线倾斜角为，则为钝角， 所以． 故选：A． 14. 的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式系数最大项只有第5项求出n,再应用通项公式求常数项即可. 【详解】的展开式中系数最大项也是二项式系数最大项只有第5项，则 . 则常数项为. 故选:B. 15. 数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（ ） A. 147 B. 112 C. 65 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 16. 已知实数满足， ， 则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 三、解答题（本大题满分36分， 8+8+10+10） 17. 设且. （1）求、的值; （2）求展开式中各项系数和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； 【小问1详解】 因为展开式的通项为，可知， 又因为，解得； 所以，令，可得. 【小问2详解】 由（1）可知， 令，可得， 所以展开式中各项系数和. 18. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由排列组合公式求解即可； （2）由排列组合公式求解即可； 【小问1详解】 解：由， 可得, 所以， 解得； 【小问2详解】 解：由， 可得， 化简得， 解得或， 由题意可知， 所以. 19. 在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. （1）若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； （2）若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围． 【小问1详解】 ①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 3 种.设 ，则欧几里得距离 曼哈顿距离， 余 弦 距 离 其 中 （为坐标原点）. （1）若，， 求，之间的曼哈顿距离和余弦距离; （2）若点，， 求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的公式，直接计算，可得答案； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，，所以，，， 所以， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即， 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 当时可化为； 而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $