精品解析：江苏省海安市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年高二下学期第一次学情检测 数学试题 一､单选题 1. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A. 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中一本，则有（ ）种购书方法 A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 分析】应用分类加法原理结合组合数计算即可. 【详解】该同学决定至少购买一本书，则他可能购买本 购买1本时：有3种可能 购买2本时：有种可能 购买3本时：有1种可能 所有共有7种可能. 故选：C. 3. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的极限定义计算可得. 【详解】由导数的定义可知，. 故选：D. 4. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 5. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案. 【详解】由图象可得， 当时，由得，在上单调递增， 当时，由得，在上单调递减， 当时，由得，在上单调递减， 综上，函数 的增区间为. 故选：B. 6. 函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用导数分析其单调性，求解不等式即可. 【详解】因为，其定义域为：， 由，故是奇函数， 由，得， ，故在上单调递减， 所以，故或， 故选：D 7. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】对特殊车辆货车甲的停放方法分类讨论，再停入乙车，最后停入其它车即可得. 【详解】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法； 若货车甲靠边，共有种停法，则乙车有种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种， 故共有种停放方法 故选：A. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案. 【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示： 若使得函数有3个零点，则. 故选：A. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 设函数的导函数为，且，则 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数有两个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】求出导数判断AB；求出单调递减区间判断C；确定极值点判断D. 【详解】对于A，常数的导数为0，则，A错误； 对于B，由，求导得， 令，解得，B正确； 对于C，的定义域为，求导得， 由，得，函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，，的变号零点为，函数有两个极值点，D正确. 故选：BD 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有45种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，根据不同的放法，可得A的正误；根据分组分配的计算方法，可得B的正误；根据分步乘法原理以及分类加法原理，可得C的正误；利用隔板法，可得D的正误. 【详解】对于A，每个球都有个选择，则情况数为，故A错误； 对于B，先选出一个盒子不放球，其情况数为， 将五个球分成四组，其情况数为， 将分好的四组球分配到剩下四个不同的盒子里，其情况数为， 所以总共的情况数为，故B正确； 对于C，先选出一个球放在编号相同的盒子里，其情况数为， 对于剩下的四个球中，符合题意的情况数为， 所以总的情况数为，故C正确； 对于D，先选出一个盒子作为空盒，则其情况数为， 五个相同的球分为四组，必有一组为两个球， 则从剩下的四个盒子中选出一个，放两个球，则其情况数为， 所以总共情况数为故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则最大值大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可. 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 三､填空题 12. 【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________. 【答案】18 【解析】 【详解】由题意，要使小明从街道的处出发到处最短，小明需走两纵两横四段路，共有条不同的路，再从处到处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故答案为. 13. 定义在上的函数，若对任意的两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，给出下列函数： ① ② ③ ④ 其中为“D函数”的所有序号__________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由题设可等价于函数在上是减函数，进而结合各选项即可. 【详解】由题意，对任意的两个不相等的实数，都有， 可化为，这表明函数在上是减函数. ①对于函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数不“函数”； ②对于， 求导得， 因为，所以恒成立， 则函数在上单调递减，是“函数”. ③对于，求导得恒成立， 则函数在上单调递减，是“函数”. ④对于，当时， ，则函数在上不为减函数，不是“函数”. 故答案为：②③. 14. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出的取值范围. 【详解】由.可得， 因为，所以，所以在单调递减， 所以， ，所以在上单调递增， ，对任意的，都有成立， 所以，所以， 故答案为：. 四､解答题 15. （1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】由排列数公式与组合数公式及组合数的性质逐个求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，故. （2）. （3） . 16. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值是，最大值是； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值. （2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 的定义域为，，，则， 解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 【小问2详解】 在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数取值范围为． 17. 某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在五百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？ （2）现在该商场准备投入五百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大. 【答案】（1）百万元 （2）三百万元用于技术改造，两百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为8百万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知列出收益函数，再应用二次函数的性质计算最值即可； （2）先计算两项增加的收益函数，再对函数求导，再根据导函数的正负得出单调性进而得出最大值即可. 【小问1详解】 设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元）， 则. 所以当时，， 即当商场投入百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大. 【小问2详解】 设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元）， 两项增加的收益为. 对求导，得，令，得或（舍去）. 当时，，即在上单调递增；当时，， 即在上单调递减，当时，. 故在五百万资金中，三百万元用于技术改造，两百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为8百万元. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性； （2）结合（1）由分析可得要证明原结论只需证明，设，利用导数求其最大值即可. 【小问1详解】 由，得， ①当时，，在上单调递减； ②当时，令，得， 当时，，单调递增； ，，单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 要证：当时，， 可证：， 因为，即证：， 设，， 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ，所以， 即， 所以当时，． 19. （1）若函数，求. （2）设函数， （i）证明：； （ii）证明： 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，由求出. （2）（i）求出的导数，确定范围，结合极值点偏移构造函数，利用导数证得不等式. （ii）利用（i）的结论，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，利用导数推理得到结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 对任意的，且，有， 即，因此， 所以. （2）（）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由，得， 不等式， 令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，而，因此， 所以. （ii）由（i）知，当时，，而， 当时，令 ， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，即， 又，且函数在上单调递减，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期第一次学情检测 数学试题 一､单选题 1. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中一本，则有（ ）种购书方法 A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 3. 设函数在处存在导数2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 5. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法． A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 设函数的导函数为，且，则 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数有两个极值点 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的放法 B 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有45种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 三､填空题 12. 【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________. 13. 定义在上函数，若对任意的两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，给出下列函数： ① ② ③ ④ 其中为“D函数”的所有序号__________. 14. 已知函数，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题 15. （1）解方程：； （2）计算：； （3）计算. 16. 已知函数． （1）若为一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 17. 某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在五百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？ （2）现在该商场准备投入五百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大. 18 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. （1）若函数，求. （2）设函数， （i）证明：； （ii）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$