重难点04 二次函数解答题（4大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点04 二次函数解答题 北京中考数学中，二次函数通常以综合题的形式出现，尤其是在试卷的倒数第三题或压轴题中。这类题目不仅考查二次函数的基本知识（如开口方向、对称轴、顶点坐标等），还结合几何图形或其他数学知识进行综合分析，要求学生具备较强的数形结合能力和逻辑推理能力。例如，2021年北京中考第26题就涉及二次函数的对称性和单调性，并结合几何图形进行分析。北京中考二次函数题目不仅考查学生对基础知识的掌握，还注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，2024年北京中考第26题要求学生综合运用二次函数的知识解决实际问题，并通过分类讨论的方法得出结论。这种题目设计旨在培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。 【题型1 求对称轴】 考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。 1．（2024年北京市陈经纶中学中考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 2．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 4．（2024年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 5．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由． 【题型2 比较函数值的大小】 主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。 6．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 7．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 8．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，． (1)当时，比较，的大小关系，并说明理由； (2)若存在，，满足，求的取值范围． 9．（北京市第二十七中学2022一2023学年九年级上学期12月）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)求点A，B的坐标及抛物线顶点坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． (3)已知点向右平移两个单位再向下平移一个单位得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 10．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． (1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； (2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； (3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 【题型3 求参数的范围】 考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得． 11．（北京市三帆中学2021-2022学年九年级下学期一模）在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上． (1)若，，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小； (2)已知抛物线的对称轴为，若，求t的取值范围． 12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 14．（2024年北京市燕山区中考一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 15．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)___________，m的取值范围是__________； (2)点在抛物线上，若对于，都有，求m的取值范围． 【题型4 最值问题】 二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 16．（2024年北京市广渠门中学中考二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 17．（2022年北京市一零一教育集团九年级下学期零模）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是___________； (2)若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值： (3)若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值． 18．（北京师范大学实验中学2022-2023学年九年级下学期二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 19．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值； （3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 20．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）当时， ①若，求该函数最小值； ②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值； （2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值． （建议用时：30分钟） 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)，为该抛物线上的两点，若，，且，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)若对于，有，求的值： (2)若对于，都不存在，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； (2)抛物线经过点 ①当时，若，则的值为________； ②若对于任意的都满足，求的取值范围． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 二次函数解答题 北京中考数学中，二次函数通常以综合题的形式出现，尤其是在试卷的倒数第三题或压轴题中。这类题目不仅考查二次函数的基本知识（如开口方向、对称轴、顶点坐标等），还结合几何图形或其他数学知识进行综合分析，要求学生具备较强的数形结合能力和逻辑推理能力。例如，2021年北京中考第26题就涉及二次函数的对称性和单调性，并结合几何图形进行分析。北京中考二次函数题目不仅考查学生对基础知识的掌握，还注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，2024年北京中考第26题要求学生综合运用二次函数的知识解决实际问题，并通过分类讨论的方法得出结论。这种题目设计旨在培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。 【题型1 求对称轴】 考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。 1．（2024年北京市陈经纶中学中考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，，对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，； 当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 2．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为， （2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； （3）∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． 3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴是：直线， ②，理由如下： ∵， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 即点比点离对称轴更近， ∴， 当时， ∵ ∴， 即点比点离对称轴更近， ∴， 综上所述：． （2）∵即，开口向上， ∴， ∴ ， ∵， ∴随着m的增大而增大， 要使得存在实数，当时，都有， 只需保证， 即当时，， ∴的取值范围是． 4．（2024年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的图象开口朝上， 无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， ∵对称轴为， ∴， 得，则有：，， 此时代入，解得， ∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小， ∴此时； 综上所述，． 5．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)①证明见解析；②存在，，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可知，点在抛物线上， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①方法一： 令，则， 解得：或， 抛物线与轴交于点，， ， 抛物线开口向上， （i）当时，， 当时，；当或时，， 当时，总有， ， ， ， （ii）当时，， 当时，；当或时，， 当时，，不符合题意， 综上，， 方法二： 由题意可知，． 若，则． ， ． ， ． 当时，． 当时，总有． ． ， ， ②存在， 设抛物线的对称轴为，则， ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ， ，， （i）当时， ， ，符合题意， （ii）当时， 当时， ， ， 当时， 设点关于抛物线对称轴的对称点为点， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，符合题意， （iii）当时， 令，，则，不符合题意， （iv）当时， 令，则， ，不符合题意， （v）当时， ， ，不符合题意， 当，即时，符合题意， ， ， 由（1）可得， ． 【题型2 比较函数值的大小】 主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。 6．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 7．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线， 即． （2）解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 8．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，． (1)当时，比较，的大小关系，并说明理由； (2)若存在，，满足，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线，二次函数图像的开口向下，在对称轴的左边随的增大而增大，在对称轴的右边随的增大而减小， ∵当时，时，的值最小， ∴，即， 当时，， 则当时，时，有最大值， ∴，即， ∴当时的最小值大于时的最大值， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵存在，，满足，且， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围． 9．（北京市第二十七中学2022一2023学年九年级上学期12月）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)求点A，B的坐标及抛物线顶点坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． (3)已知点向右平移两个单位再向下平移一个单位得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)当时，，当时， (3)或 【详解】（1）解：令时，则有， 解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）可知该二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在该抛物线上， ∴它们到二次函数对称轴的距离分别为， ∴当时，二次函数图象的开口向上，则有； 当时，二次函数图象的开口向下，则有； （3）解：由题意得点，则可分： ①当时，且二次函数的图象恰好经过点C，则把代入二次函数解析式得： ， ∴，符合题意， 假设二次函数的图象经过点，则有， 解得：，不符合， 根据二次函数的开口越小，则越大， ∴当抛物线与线段CD只有一个公共点，则； ②当时，由①可知抛物线只能经过点D，即， ∴当抛物线与线段CD只有一个公共点，则， 综上所述：当抛物线与线段CD只有一个公共点，则或． 10．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2． (1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）； (2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； (3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)a的取值范围是 【详解】（1）解：； （2）当时， 这三个点分别为（，），（0，），（2，）， ∵ ， ∴ （，）与（2，）关于对称轴对称， ∴ 抛物线的对称轴为， 即． ∴函数解析式为 ∴ （0，）为抛物线的顶点． ∵ 抛物线的开口向上， ∴ 当时，为函数的最小值． ∴ ． （3）将，和分别代入，得： ， ， ． 则有：， ， 于是成立，即为和同时成立， 也即为和同时成立． ① 当时，， 故，不存在大于1的实数m； ② 当时，， 要使，则，也不存在大于1的实数m； ③ 当时，，不符合题意； ④ 时， 只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立， 即成立． 综上所述，a的取值范围是． 【题型3 求参数的范围】 考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得． 11．（北京市三帆中学2021-2022学年九年级下学期一模）在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上． (1)若，，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小； (2)已知抛物线的对称轴为，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 该抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当x=-1时，y取最大值，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 （2）解：当x=0时，y=c， ①当时，若， 则函数图象如图所示： 当时， 当时， ②当时，抛物线开口向下 时，y随x的增大而减小 ，与不符合 故不存在此种情况 综上，t的取值范围为． 12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为 （2）解：由（1）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 对于该抛物线上的三个点，，，总有， 点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离， ， 解得：， 实数的取值范围为． 14．（2024年北京市燕山区中考一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； ②当时， （i）当时， ∵， ∴， ∴，符合题意； （ii）当时， 设点关于的对称点为，则点的坐标为， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴，符合题意； ③当时，令，则， ∴，不符合题意； ④当时，令，则， ∴，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 15．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)___________，m的取值范围是__________； (2)点在抛物线上，若对于，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：把代入，得：； 把，代入解析式，得：， ，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）设抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵对于，都有， ∴的中点在对称轴右侧， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 故． 【题型4 最值问题】 二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 16．（2024年北京市广渠门中学中考二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； (2)已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②6 (2) 【详解】（1）解：①当时，对称轴为直线． ， ； ②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值， 对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为， 与点重合，与点重合时，取最小值， 最小值为：． （2）解：， 抛物线开口下上， ，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ， 解得， ， ， ． 17．（2022年北京市一零一教育集团九年级下学期零模）已知二次函数． (1)该二次函数图象的对称轴是___________； (2)若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值： (3)若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)4 【详解】（1）解：对称轴． （2）解：该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线， 当时，取到在上的最大值为2． ． ，， 当时，随的增大而增大， 当时，取到在上的最小值0． 当时，随的增大而减小， 当时，取到在上的最小值． 当时，的最小值为． （3）解：当，时，均满足， 当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件， 且 ， 的最大值为4． 属于中考常考题型． 18．（北京师范大学实验中学2022-2023学年九年级下学期二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①1；②或 【详解】（1）解：把点代入得： ， ； （2）解：由（1）知抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 而关于直线的对称点是， 由抛物线对称性得：点坐标； （3）解：①如图： 当时，， 抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为， 由图象知：当图象为对称图形时有最小值， 又，，， ， ， 过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 顶点坐标为， 的最小值为； ②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， 由（1）知抛物线为， ，，， 又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值： （Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ； （Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ， （Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， ； （Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， 综上所述，当时，， 同理可得：当时，也符合条件， 的取值范围为或． 19．（2021·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值； （3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）或． 【详解】解：（1）令x＝0则y＝2， ∴．点A坐标为（0，2）． ∵＝＝， ∴二次函数图象的对称轴是x＝2； （2）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2， ∴2－4a＝－2， 解得a＝1. ∴二次函数表达式为， ∴在时，当x＝5时，y有最大值，； （3）∵点 P（，），Q（，），且，，都有， ∴①当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，，此时t+3≤2，解得t≤-1； ②当点P、Q都在对称轴x=2右侧时，，此时t≥2； ③当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且， 此时2-（t+1）≥（t+3）-2或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1， 综上所述，或． 20．（2021·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）当时， ①若，求该函数最小值； ②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值； （2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值． 【答案】（1）①3；②5；（2）或者 【详解】解：（1）①当b=-2，c=4时，二次函数变形为： ， 当时函数的最小值为3； ②∵抛物线为． 此时抛物线开口向上，对称轴为． ∴当时，随增大而增大． ∵1＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当时，， ∴． ∴． （2）当b≥0时， ∵二次函数的对称轴为x=， ∴＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当x=b时，函数有最小值， ∴， 解得b=2或b=-3（舍去）； 当b＜0时， ∵二次函数的对称轴为x=， 当对称轴位于取值范围内时，， ∴x=时，函数有最小值， ∴，此时无解； 当对称轴不位于取值范围内时，， ∴位于对称轴的左侧， ∵随增大而减小， ∴x=b+2时，函数有最小值， ∴， 整理，得； 解得b=或b=（舍去）； ∴或者． （建议用时：30分钟） 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)，为该抛物线上的两点，若，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）分和，分别讨论，根据列出不等式，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧， ∵，， ∴ ∵， ∴ 即， 解得： ∵ ∴，即 ∵ ∴，解得： ∴ 当时，抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧，在对称轴的右侧随的增大而减小， ∵ ∴， 即 解得： 又∵ ∴，即 ∵， ∴， ∴或（舍去） ∴无解； 综上所述， 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)若对于，有，求的值： (2)若对于，都不存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可； （2）根据不存在不存在，则恒在对称轴的一边，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴，关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵对于，都不存在，抛物线对称轴为直线， ∴或， 解得或． 3．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； (2)抛物线经过点 ①当时，若，则的值为________； ②若对于任意的都满足，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可； （2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解； ②由题意可知，,分别求出当，和，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （2）解：①当时，点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 故答案为：； ②由题意得，， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵且，． 由题意可知，, 当的情况，因为此时C点可能取到函数的最低点，不满足对于任意的都满足， 当时，∵ ∵关于对称轴的对称点坐标为， 则有，解得：; 当时，∵ ∵关于对称轴的对称点坐标为， 则有无解； 综上所述：对于任意的都满足，时，． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$