期中复习（易错题50题23个考点）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（易错题50题23个考点） 范围：第一章-第三章 一．不等式的性质（共3小题） 1．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．﹣2a＞﹣2b B．a+1＜b+1 C．﹣a＜﹣b D． 2．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+1＞b+1 B．﹣2a＜﹣2b C． D．a﹣b＞0 3．若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的是（　　） A．﹣2x＜﹣2y B．1+x＜1+y C．3x＜3y D．5﹣x＞5﹣y 二．一元一次不等式的定义（共1小题） 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣y＞1 B．6+3＞5 C．2 D．y+2＜﹣5 三．解一元一次不等式（共2小题） 5．定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝（a+3b）﹣ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝（2+15）﹣2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为 　 　． 6．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式x+y＜1，则m的取值范围是 　 　． 四．一元一次不等式的整数解（共1小题） 7．不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．一元一次不等式的应用（共2小题） 8．某校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元． （1）A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买A型和B型两种笔记本共80本，费用不超过500元，A型笔记本最多买多少本？ 9．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题． （1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？ （2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？ 名称 A种头盔 B种头盔 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 80 50 六．解一元一次不等式组（共3小题） 10．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程x﹣3＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以方程x﹣3＝0为不等式组的关联方程．若方程2x﹣2＝x﹣1与2（x+1）＝3x﹣1都是关于x的不等式组的关联方程，则满足题意的m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜1 B．﹣1＜m≤1 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m≤2 11．已知不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则（a+b）2022的值为 　 　． 12．解不等式组：，并用数轴确定不等式组的解集． 七．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 13．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　 　． 八．一元一次不等式组的应用（共2小题） 14．某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品m件，请问该商场共有哪几种进货方案？ （3）根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按（2）中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？ 15．第15届中国一一东盟博览会2018年9月在南宁如期学行，东盟各国客商齐聚南宁．一个商户看中了国内瓷器经销商的工艺品茶具，并得到如下信息： ①每个茶壶的进货价比茶杯多35元； ②一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯，一套茶具的进货价为160元； （1）求茶壶和茶杯的进货价； （2）若该商户计划购进一批茶壶茶杯回国销售并以此评估本国市场对中国工艺茶具的喜爱程度． 本次采购的茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个，茶壶茶杯的总数不超过200个．在销售中将一半的茶壶按每套360元成套销售，其余按每个茶壶150元，每个茶杯60元零售，计划此次销售获利不低于7700元，则有多少种采购方案，哪个方案获利最大？ 九．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 16．函数y1＝x+1与y2＝ax+b（a≠0）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使y1＞y2的x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＞1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜2 17．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　 　． 一十．角平分线的性质（共2小题） 18．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 19．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 一十一．等腰三角形的性质（共4小题） 20．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 21．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 22．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 23．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　． 一十二．等腰三角形的判定（共1小题） 24．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 一十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 25．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　 　． 一十四．等边三角形的性质（共2小题） 26．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，一个等边三角形ECG如图摆放，EG交AD于点F．若BC＝7，EF＝2，则等边三角形ECG的边长为 　 　． 27．如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD＝CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：∠CBE＝1：2，则∠BDP＝　 　度． 一十五．勾股定理（共2小题） 28．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　 　时，能使DE＝CD？ 29．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 一十六．勾股定理的逆定理（共3小题） 30．下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（　　） A． B．3，4，5 C．6，8，10 D． 31．在△ABC中，已知AB＝6cm，AC＝10cm，BC＝8cm，则△ABC的面积等于（　　） A．40cm2 B．25cm2 C．24cm2 D．48cm2 32．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　 　°． 一十七．生活中的平移现象（共3小题） 33．如图，这是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝am，宽BC＝bm，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽均为1m，则小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为（　　） A． （a+2b）m B．（a+2b﹣1）m C．（a+2b﹣2）m D．（a+2b﹣4）m 34．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是　 　m2． 35．如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 　 　平方米． 一十八．平移的性质（共1小题） 36．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝12，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分的面积为 　 　． 一十九．旋转的性质（共9小题） 37．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 38．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠DBC＝30°，则α的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．36° 39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（　　） A．30° B．60° C．90° D．150° 40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，使点B'在AC的延长线上，则B'C的长为 　 　． 41．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为 　 　． 42．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 　 　． 43．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角．如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数为 　 　． 44．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为　 　． 45．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 二十．旋转对称图形（共1小题） 46．要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为 　 　． 二十一．中心对称图形（共2小题） 47．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 48．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 二十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 49．若点A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称，则m＝　 　． 二十三．作图-旋转变换（共1小题） 50．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1． （2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1． （3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　 　． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题50题23个考点） 范围：第一章-第三章 一．不等式的性质（共3小题） 1．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．﹣2a＞﹣2b B．a+1＜b+1 C．﹣a＜﹣b D． 【答案】C 【解答】解：A、∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b， 故A不符合题意； B、∵a＞b， ∴a+1＞b+1， 故B不符合题意； C、∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， 故C符合题意； D、∵a＞b，c＞0， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 2．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　） A．a+1＞b+1 B．﹣2a＜﹣2b C． D．a﹣b＞0 【答案】C 【解答】解：A、∵a＜b， ∴a+1＜b+1， 故A不符合题意； B、∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， 故B不符合题意； C、∵a＜b， ∴， 故C符合题意； D、∵a＜b， ∴a﹣b＜b﹣b， ∴a﹣b＜0， 故D不符合题意； 故选：C． 3．若x+2023＞y+2023，则下列不等式一定成立的是（　　） A．﹣2x＜﹣2y B．1+x＜1+y C．3x＜3y D．5﹣x＞5﹣y 【答案】A 【解答】解：∵x+2023＞y+2023， ∴x＞y， A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故A符合题意； B、∵x＞y，∴1+x＞1+y，故B不符合题意； C、∵x＞y，∴3x＞3y，故C不符合题意； D、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴5﹣x＜5﹣y，故D不符合题意； 故选：A． 二．一元一次不等式的定义（共1小题） 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣y＞1 B．6+3＞5 C．2 D．y+2＜﹣5 【答案】D 【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不合题意； B．不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不合题意； C．未知数的次数不是1次，不是一元一次不等式，故本选项不合题意； D．是一元一次不等式，故本选项符合题意． 故选：D． 三．解一元一次不等式（共2小题） 5．定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝（a+3b）﹣ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝（2+15）﹣2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为 　x＞﹣4　． 【答案】x＞﹣4． 【解答】解：∵5*x＜13， ∴5+3x﹣5x＜13， 3x﹣5x＜13﹣5， ﹣2x＜8， x＞﹣4， 故答案为：x＞﹣4． 6．关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式x+y＜1，则m的取值范围是 　m＜0　． 【答案】m＜0． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝3m+3， 解得：x+y＝m+1， ∵x+y＜1， ∴m+1＜1， 解得：m＜0， 故答案为：m＜0． 四．一元一次不等式的整数解（共1小题） 7．不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：4﹣3x＞2x﹣6， ﹣3x﹣2x＞﹣6﹣4， ﹣5x＞﹣10， x＜2， ∴不等式的非负整数解为：1，0， ∴不等式的非负整数解有2个， 故选：B． 五．一元一次不等式的应用（共2小题） 8．某校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元． （1）A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买A型和B型两种笔记本共80本，费用不超过500元，A型笔记本最多买多少本？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（8分）（1）设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元， 根据题意得， 解得． 答：A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元． （2）设购买A型笔记本m本， 根据题意得8m+5（80﹣m）≤500． 解得m， ∵m是正整数， ∴m最大取33， 答：A型笔记本最多买33本． 9．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，进价和售价如表所示，请根据表格信息下列问题． （1）该商店购进A，B两种头盔共100个，用去4600元钱，求A，B两种头盔各购进了多少个？ （2）经过几天销售后商店发现销量较好，于是又用5400元钱购进这两种头盔若干个，要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元，则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个？ 名称 A种头盔 B种头盔 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 80 50 【答案】（1）A种头盔购进了30个，B种头盔购进了70个； （2）该商店第二次至少应购进A种头盔70个． 【解答】解：（1）设A种头盔购进了m个，B种头盔购进了n个， 依题意得：， 解得：． 答：A种头盔购进了30个，B种头盔购进了70个． （2）设该商店第二次购进A种头盔a个，则购进B种头盔个， 依题意得：（80﹣60）（30+a）+（50﹣40）（70）≥3000， 解得：a≥70， 又∵a，均为整数， ∴a的最小值为70． 答：该商店第二次至少应购进A种头盔70个． 六．解一元一次不等式组（共3小题） 10．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程x﹣3＝0的解为x＝3，不等式组的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以方程x﹣3＝0为不等式组的关联方程．若方程2x﹣2＝x﹣1与2（x+1）＝3x﹣1都是关于x的不等式组的关联方程，则满足题意的m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜1 B．﹣1＜m≤1 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m≤2 【答案】A 【解答】解：2x﹣2＝x﹣1， 解得：x＝1， 2（x+1）＝3x﹣1， 解得：x＝3， ， 解得：m＜x＜m+4， ∵方程2x﹣2＝x﹣1与2（x+1）＝3x﹣1都是关于x的不等式组的关联方程， ∴x＝1，x＝3在m＜x＜m+4内， ∴， ∴﹣1＜m＜1， 故选：A． 11．已知不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则（a+b）2022的值为 　1　． 【答案】1． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1﹣a， 解不等式②得：x， ∴原不等式组的解集为：1﹣a＜x， ∵该不等式组的解集为﹣2＜x＜3， ∴1﹣a＝﹣2，3， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2022＝（3﹣4）2022 ＝（﹣1）2022 ＝1， 故答案为：1． 12．解不等式组：，并用数轴确定不等式组的解集． 【答案】数轴表示见解答，﹣3＜x≤2． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤2， 把不等式①②的解集在数轴上表示如图所示： ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 七．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 13．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　5　． 【答案】m的值是5． 【解答】解：由二元一次方程组，得 ， ∵二元一次方程组解是正整数， ∴， 解得，m， ∴m＝5或6， m＝5时，x＝3，y＝2， 当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去； ∴m＝5． 由不等式组得x≤6， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴45， 解得，5≤m， ∴m的值是5． 故m的值是5． 八．一元一次不等式组的应用（共2小题） 14．某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品m件，请问该商场共有哪几种进货方案？ （3）根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按（2）中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲商品的进价为每件x元，乙商品的进价为每件y元， 根据题意得：解得： 答：甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元． （2）由题意得：1350≤（120﹣100）m+（140﹣110）（50﹣m）≤1375， 解得：12.5≤m≤15， ∵m为正整数， ∴m＝13、14、15， ∴共有三种方案： 方案①：购进甲种商品13件，乙种商品37件；方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件； 方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件． （3）设“双11”当天商场卖出甲种商品a件，乙种商品b件， ∴（120﹣100）a+（140﹣110）b＝1220，即2a+3b＝122， ∴， 又∵a+b＜46， ∴，即b＞30， ∵a，b为正整数， ∴当b＝31时，a＝14.5，不符合题意； 当b＝32时，a＝13， ∴“双11”当天商场至少卖出乙种商品32件． 15．第15届中国一一东盟博览会2018年9月在南宁如期学行，东盟各国客商齐聚南宁．一个商户看中了国内瓷器经销商的工艺品茶具，并得到如下信息： ①每个茶壶的进货价比茶杯多35元； ②一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯，一套茶具的进货价为160元； （1）求茶壶和茶杯的进货价； （2）若该商户计划购进一批茶壶茶杯回国销售并以此评估本国市场对中国工艺茶具的喜爱程度． 本次采购的茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个，茶壶茶杯的总数不超过200个．在销售中将一半的茶壶按每套360元成套销售，其余按每个茶壶150元，每个茶杯60元零售，计划此次销售获利不低于7700元，则有多少种采购方案，哪个方案获利最大？ 【答案】（1）茶杯的批发价为25元/个，则茶壶的批发价为35元/个 （2）共有三种方案，当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为8200元． 【解答】解：（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为（x+35）元/个， 根据题意得：x+35+4x＝160， 解得：x＝25， ∴x+35＝60． 答：茶杯的批发价为25元/个，则茶壶的批发价为35元/个． （2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯（5m+20）个， 根据题意得：m+5m+20≤200， 解得：m≤30． ∴wm（360﹣160）m×（150﹣60）+（5m+204m）×（60﹣25）＝250m+700 根据题意可得，w≥7700， 解得m≥28， ∴28≤m≤30， ∴x可取28，29，30，即共有三种方案； ∵250＞0， ∴w随着m的增大而增大， ∴当m取最大值时，利润w最大， 当m＝30时，w＝8200． ∴当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为8200元． 九．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 16．函数y1＝x+1与y2＝ax+b（a≠0）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使y1＞y2的x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＞1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜2 【答案】A 【解答】解：由图可得，当x＞0时，函数y1＝x+1的图象在函数y2＝ax+b（a≠0）的图象的上方， ∴使y1＞y2的x的取值范围是x＞0， 故选：A． 17．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　x＞1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1得：2＝a﹣1， 解得：a＝3， ∴y＝3x﹣1＞2， 解得：x＞1， 方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2的x的范围是x＞1， 即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1， 故答案为：x＞1． 一十．角平分线的性质（共2小题） 18．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 19．如图：一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【解答】解：如图所示：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 一十一．等腰三角形的性质（共4小题） 20．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 21．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm； 当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 故选：A． 22．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．11 D．7或10 【答案】B 【解答】解：根据题意， ①当ACAC＝15，解得AC＝10， 所以底边长＝1210＝7； ②当ACAC＝12，解得AC＝8， 所以底边长＝158＝11． 所以底边长等于7或11． 故选：B． 23．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 一十二．等腰三角形的判定（共1小题） 24．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求； 作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求； 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 一十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 25．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝5，AC＝7， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝5+7 ＝12， 故答案为：12． 一十四．等边三角形的性质（共2小题） 26．在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，一个等边三角形ECG如图摆放，EG交AD于点F．若BC＝7，EF＝2，则等边三角形ECG的边长为 　5　． 【答案】5． 【解答】解：设DG＝x， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴CD＝BDBC＝3.5，∠ADB＝90°， ∵△ECG是等边三角形， ∴EG＝CG，∠EGC＝60°， ∴∠DFG＝90°﹣∠EGC＝30°， ∴FG＝2DG＝2x， ∵EG＝CG， ∴2+2x＝3.5+x， 解得：x＝1.5， ∴CG＝CD+DG＝3.5+1.5＝5， ∴等边三角形ECG的边长为5， 故答案为：5． 27．如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD＝CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：∠CBE＝1：2，则∠BDP＝　100　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵等边△ABC ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC ∵∠ABE：∠CBE＝1：2 ∴∠CBE∠ABC＝40° 又∵AD＝CE ∴△ADC≌△CEB（SAS） ∴∠ACD＝∠CBE＝40° ∴∠BDP＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+40°＝100°． 故答案为100°． 一十五．勾股定理（共2小题） 28．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　5或11　时，能使DE＝CD？ 【答案】在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD． 【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示： 则∠AED＝∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ACB＝90°， ∴PD平分∠APC， ∴∠EPD＝∠CPD， 又∵PD＝PD， ∴△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2， 解得：t＝5； ②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示： 同①得：△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2， 解得：t＝11． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD． 29．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2π2，S3π（）2，S1π（）2， ∵， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 一十六．勾股定理的逆定理（共3小题） 30．下列各组线段中，不能围成直角三角形的一组是（　　） A． B．3，4，5 C．6，8，10 D． 【答案】D 【解答】解：A、∵12+（）2＝7，（）2＝7， ∴12+（）2＝（）2， ∴能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵62+82＝100，102＝100， ∴62+82＝102， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5， ∴（）2+（）2≠（）2， ∴不能构成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 31．在△ABC中，已知AB＝6cm，AC＝10cm，BC＝8cm，则△ABC的面积等于（　　） A．40cm2 B．25cm2 C．24cm2 D．48cm2 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，BC＝8cm， ∵AB2+BC2＝62+82＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积AB•BC6×8＝24（cm2）， 故选：C． 32．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　45　°． 【答案】45． 【解答】解：连接AC， 由题意得：AC2＝12+22＝5， BC2＝12+22＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， 故答案为：45． 一十七．生活中的平移现象（共3小题） 33．如图，这是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝am，宽BC＝bm，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），若小路的宽均为1m，则小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为（　　） A．（a+2b）m B．（a+2b﹣1）m C．（a+2b﹣2）m D．（a+2b﹣4）m 【答案】C 【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于2（BC﹣1）， ∵AB＝am，BC＝bm， ∴小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中P虚线）长为a+2（b﹣1）＝（a+2b﹣2）m． 故选：C． 34．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是　880　m2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）． 故答案为：880． 35．如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 　900　平方米． 【答案】900． 【解答】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（37﹣1）（26﹣1）＝900m2． 答：种植花草的面积是900m2． 一十八．平移的性质（共1小题） 36．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝12，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分的面积为 　60　． 【答案】60． 【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝12， ∴OE＝DE﹣DO＝12﹣4＝8， ∵△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO， 故答案为：60． 一十九．旋转的性质（共9小题） 37．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠AFC＝90°， 由旋转得：∠BAD＝60°，∠C＝∠E＝70°， ∴∠CAF＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAF＝80°， 故选：D． 38．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠DBC＝30°，则α的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．36° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转到△DBE，∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝BD，∠E＝∠C， ∴∠ABC＝∠DBE＝α+30°，∠A＝∠ADB， ∵BE∥AC， ∴∠ADB＝∠DBE＝α+30°， ∴∠A＝∠ADB＝α+30°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+30°+α+30°+α＝180°， 解得α＝40°， 故选：B． 39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（　　） A．30° B．60° C．90° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， ∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上， ∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角， ∴△ACA′为等边三角形， ∴∠ACA′＝60°， 即旋转角度为60°． 故选：B． 40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，使点B'在AC的延长线上，则B'C的长为 　1　． 【答案】1． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝3， ∴， 由旋转可知：A'B＝AB＝5， ∴B'C＝AB'﹣AC＝5﹣4＝1． 故答案为：1． 41．如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，CD⊥AB，点E是线段CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接DP，则DP长的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：取AC的中点K，连接DK，EK，如图： ∵△ABC是等边三角形，AC＝6，CD⊥AB， ∴∠BAC＝60°，AD＝3＝AK， ∵将线段AE绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP， ∴∠PAE＝60°，AE＝AP， ∴∠PAE＝∠BAC＝60°， ∴∠PAD＝∠EAK， 在△APD和△AEK中， ， ∴△APD≌△AEK（SAS）， ∴DP＝EK， ∴当EK最小时，DP最小，此时EK⊥CD， 而CD⊥AB， ∴EK∥AD， ∴EK是△ACD的中位线， ∴EKAD， ∴DP长的最小值为， 故答案为：． 42．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠BCQ＝120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD＝3， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ＝30°， ∴CQCD， ∴DQ， ∴DQ的最小值是， 故答案为：． 43．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角．如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数为 　72°　． 【答案】72°． 【解答】解：设∠O＝x， ∵OC＝CD， ∴∠O＝∠CDO＝x， ∴∠DCE＝2x， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°， ∴x＝27°， ∴∠ECD＝∠CED＝2x＝54°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣54°×2＝72°， 故答案为：72°． 44．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． ∴∠APF＝30°， ∴在直角△APF中，AFAP，PFAP． ∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4）2+（）2＝25+12， 则△ABC的面积是•AB2（25+12）＝9， 故答案为：9． 45．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 二十．旋转对称图形（共1小题） 46．要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为 　30°　． 【答案】30°． 【解答】解：∵正十二边形的中心角＝360°÷12＝30°， ∴要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转30°． 故答案为：30°． 二十一．中心对称图形（共2小题） 47．下列博物馆图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 48．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 二十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 49．若点A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称，则m＝　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称， ∴m＝3． 故答案为：3． 二十三．作图-旋转变换（共1小题） 50．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1． （2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1． （3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　（0，1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； ； （2）如图，△D1EF1即为所求； （3）根据旋转的性质可得，旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心， ∴P（0，1）， 故答案为：（0，1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/20 16:42:21；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$