精品解析：辽宁省大连市三校联考2024-2025学年高三下学期模拟考数学试卷

2025年高考三校联合模拟考试数学试卷 命题学校：大连育明高级中学 命题人：高三备课组 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某教学楼从二楼到三楼楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 墙上挂着一幅高为1m画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 10. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的正弦值为 B. 若点满足，则的最小值为 C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D. 点在底面内，且，则点轨迹的长度为 11. 设数列满足，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数，写出一个使得不等式成立自然数的值__________. 13. 点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为__________. 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 18. 如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 （1）求抛物线的标准方程； （2）线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 19. 已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； （1）若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； （2）若，数列同时满足条件①②，且，求数列通项公式； （3）若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考三校联合模拟考试数学试卷 命题学校：大连育明高级中学 命题人：高三备课组 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数运算得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为， 又因为集合， 则. 故选：B. 2. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知：M后面是数字7就违反规则，即可得结果. 【详解】根据题意可知：数字7后面一定是字母H，H后面可以不是数字7， 即M后面是数字7就违反规则， 所以只用看7和M，其他卡牌无此顾虑. 故选：B. 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式结合组合数计算可得. 【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共， 所以第二步走两级台阶的概率为. 故选：C 6. 墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即可. 【详解】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大， 且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 7. 已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】解：设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：B. 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，若及其导函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象，结合函数的单调性与其导函数正负的关系，先判断两个图象 中哪个是的图象，哪个是的图象，进而列出关于的方程组 求解，再结合特殊点求解参数，由此确定函数和的解析式， 再判断各个选项的正误即可． 【详解】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 10. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的正弦值为 B. 若点满足，则的最小值为 C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为 D. 点在底面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查正四棱锥的性质、空间向量、正方体与四棱锥的内切关系以及点的轨迹问题.对于A，可以利用正四棱锥的性质以及线面角的定义求解；对于B，根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理，再利用垂线段的性质求解即可；对于C，根据正四棱锥和正方体的性质进行求解；对于D，根据平面向量的模长运算，再利用圆的定义进行求解即可. 详解】如图， 对于A，∵正四棱锥的棱长为2，∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小， 此时根据等体积法可求出，即 可求得，即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵， ∴，即， 化简整理可得，∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断动点的轨迹形状，进而求解. 11. 设数列满足，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，，因为， 根据二次函数的性质，所以，所以，故A正确； 对于B，， 所以， ，，所以，故B正确； 对于C，， ， 所以，累乘可得：， 所以， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是通过由放缩法得到，对不等式两边取对数可得，再由累乘法得到，进而证得. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值__________. 【答案】3或4（写对一个即可） 【解析】 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 13. 点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设点，即可求出，，再由在方向上的投影数量为及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为点为圆上的一个动点， 所以设点，则, 又， 所以，， 所以在方向上的投影数量为， 又，所以在方向上的投影数量的取值范围为， 即在方向上的投影数量的最大值为. 故答案为：. 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数的值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端三等分点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的坐标运算可得线面平行； （2）利用空间向量坐标运算分别得到平面与平面一个法向量，计算面面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，点是棱上靠近端的三等分点 则. ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 又，可得， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数b的最大值； （3）若为函数的极值点，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，然后对分类讨论求解函数的单调区间； （2）由题意得即可求得，得到的解析式．对任意恒成立，即对任意恒成立，令，问题转化为求的最小值，利用导数求解即可； （3）因为为函数的极值点，所以．要证明不等式成立，只需证．令，证得，．分两种情况证明：当时，由即证得结论；当时，得，只需证，即证对成立，构造函数，结合函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 ，定义域为， 所以， 当时，，故在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为，曲线在处的切线垂直于直线， 则在处的切线的斜率为，即，解得：， 则. 对任意恒成立，即对任意， 即对任意恒成立， 令， ，令，得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； ， ，则实数b的最大值． 【小问3详解】 函数， 因为为函数的极值点，所以，所以， 要证明不等式：成立，只需证， 令， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以， 当时，因为，所以． 当时，因为，所以，所以， 要证成立，只需证， 即证对成立． 令，因为， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即时，成立． 综上所述，原不等式成立． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个，其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得不等式；其三先利用放缩、等量代换等方法做适当的变换后再做差构造函数，利用导数证明. 18. 如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 （1）求抛物线的标准方程； （2）线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2）①证明见解析;②9 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出即可； （2）①设分别求得的方程，求得和，根据，得到，再由的方程，求得的表达式，即可得证； ②由①，得到和，由和，分别求得和，两式相减得，结合和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线焦点为， 则，即， 所以直线， 代入抛物线方程可得：， 即， 则，由题意，解得， 所以所求抛物线方程为. 【小问2详解】 ①证明：设. 若，则直线斜率不存在， 由对称性，可知均在轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：方程：， 方程：.设， 因，则. 则直线与轴平行，设直线与线段交点为. 将代入直线方程， 则； 将代入直线方程， 则. 注意到 ，又，则两点重合， 即为线段与交点，且点三点共线； ②由（2），直线与轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 如图， 过作平行线，交为，则四边形为平行四边形， 结合，则. 因，则，结合， 则，又M为中点，则E为NC中点.则， 则四边形的面积 19. 已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； （1）若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； （2）若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； （3）若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 【答案】（1）不恒满足条件②，理由见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，求得，令取特殊值验证即可说明； （2）由②可得，可推得数列是等差数列，求出和，即可求得的通项公式； （3）由已知，通过条件③可得，进行递推，即可证得数列为常数列. 【小问1详解】 ，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， ， 不防令， 则， ， 则， 所以数列不恒满足条件②. 【小问2详解】 若，由②得，即， 当时，， 两式相减得， 即，， 两式相减得，即，，又， 时，，即， 数列是等差数列， 设数列的公差为， 是无穷数列，， 或， 或. 【小问3详解】 当时，由③得， 即， 所以， 若，由①不妨设，则，则数列为常数列. 若，当时，，与矛盾. 当时，令， 则， ， ， 则， 各式相加得. 当时，，与矛盾. 综上所述，只有当，即，且时满足①③， 所以数列为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$