2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷01（考试版A4+全解全析+参考答案）【考试范围：第16-19章】

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷01 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-19章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D C C A A D A 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）． 12．（3分）7． 13．（3分）． 14．（3分）． 15．（3分）． 16．（3分）． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（6分）解：原式 ． 18．（6分）解：原式 ， 当时， 原式 ． 19．（6分）证明：，分别是边，的中点， 是的中位线． ，且． ，且， ，且． 四边形是平行四边形． ． 20．（8分）解：（1）在△中，千米，千米， 千米， 千米， 千米， 在△中， 千米； （2）， ， ， 解得：千米， 修建公路的费用为（万元）． 21．（8分）解：（1）交轴于点， ， 直线解析式为， 令，， 则； （2），， ，， ， ， ， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 在直线上， 设点， 轴， 且点在上， ， 22．（9分）（1）证明：四边形是菱形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ． 23．（9分）解：（1）设每个甲品牌书包的销售利润为元，每个乙品牌书包的销售利润为元， 根据题意得：， 解得， 每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元； （2）①根据题意得：； 关于的函数关系式为； ②乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍， ， 解得， 为整数， 最小取67， 又中，随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 购进67个甲品牌书包，133个乙品牌书包，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元． 24．（10分）（1）证明：四边形是矩形， ， ， 矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：点的坐标是， ，， ， 矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处， ，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为； （3）解：存在以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 过作轴于，如图： 由（2）知， ，， ， ，即， ，， ，， 设，，则， 又， ①若，是对角线，则，的中点重合，且， ， 解得（此时，，共线，舍去）或， ，， ②若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得不在线段上，舍去）或， ； ③若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ，， 综上所述，的坐标为，或或，． 25．（10分）解：（1）如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （1）中的结论：，仍然成立； ②如图所示， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， 平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷01 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-19章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（3分）下列曲线中不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）已知，，为△的三边长，在下列条件中不能判定△是直角三角形的是　　 A． B．，， C． D． 4．（3分）如图，、分别为、边上的中点，点在上，且，若，，，则的长为　　 A．7 B．3 C．2.5 D．2 5．（3分）平行四边形中，若，则的度数为　　 A． B．60 C． D． 6．（3分）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（3分）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条，，，搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是　　 A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为　　 A．48 B．72 C．96 D．108 9．（3分）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度和所挂物体质量的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是　　 1 2 3 4 10.5 11 11.5 12 A．，都是变量，是的一次函数 B．弹簧不挂物体时的长度是 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．物体质量由增加到，弹簧的长度增加 10．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结并延长交于点，若是中点，则的值为　　 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）因式分解：　　． 12．（3分）若一次函数的图象经过点和点，则的值为 　　． 13．（3分）若二次根式有意义，则实数的取值范围是 　　． 14．（3分）如图，将放在平面直角坐标系中，点为坐标原点，边与轴重合，边与轴正半轴相交于点．若，，且，则点的坐标为 　　． 15．（3分）方程的解为　　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 　　． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（6分）计算： 18． （6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：． 20．（8分）某地投资修建几条崭新的公路．如图，现从地分别向、、三地修了三条笔直的公路，和，（其中、、在同一笔直公路上，，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且，已知千米，千米，千米． （1）求公路、的长度； （2）若修公路每千米的费用是2万元，请求出修建公路的费用． 21．（8分）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 22．（9分）如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23．（9分）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元． （1）求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润； （2）该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包个，本次购进的200个书包全部出售的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 24．（10分）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、． （1）求证：是等腰三角形； （2）求直线的解析式； （3）若点是平面内任意一点，点是线段上的一个动点，过点作轴，垂足为点．在点的运动过程中是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　； （2）①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②连接，若，，直接写出的长 　　； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 　　． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷01 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-19章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（3分）下列曲线中不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【规范解答】解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数， 因此不能表示是的函数的是选项中的曲线，故符合题意； 能表示是的函数的是选项、、中的曲线，故、、不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 2．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用二次根式的性质，二次根式的加减法则，分式的加减法，幂的乘方逐项判断即可． 【规范解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减，分式的加减法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（3分）已知，，为△的三边长，在下列条件中不能判定△是直角三角形的是　　 A． B．，， C． D． 【思路点拨】根据三角形内角和定理可得、选项；根据勾股定理逆定理可判断出、选项． 【规范解答】解：、，且， ， △为直角三角形，不符合题意； 、， △为直角三角形，不符合题意； 、， △为直角三角形，不符合题意， 、，且， 最大角， △不是直角三角形，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟知三角形内角和是；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（3分）如图，、分别为、边上的中点，点在上，且，若，，，则的长为　　 A．7 B．3 C．2.5 D．2 【思路点拨】根据含30度的直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出． 【规范解答】解：在中，，，， 则， 在中，，为边上的中点， 则， 、分别为、边上的中点， 是的中位线， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 5．（3分）平行四边形中，若，则的度数为　　 A． B．60 C． D． 【思路点拨】由平行四边形的性质可直接求解． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 6．（3分）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用一次函数的性质进行判断． 【规范解答】解：若，，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，选项符合条件； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与性质是关键． 7．（3分）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条，，，搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是　　 A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【思路点拨】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【规范解答】解：有三个角是直角的四边形是矩形， 要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：． 【考点评析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 8．（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为　　 A．48 B．72 C．96 D．108 【思路点拨】由菱形的性质得，，，由于点，得，因为，，所以，，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是菱形，对角线、相交于点， ，，， 于点， ， ，， ，， ， 故选：． 【考点评析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出的长及的长是解题的关键． 9．（3分）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度和所挂物体质量的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是　　 1 2 3 4 10.5 11 11.5 12 A．，都是变量，是的一次函数 B．弹簧不挂物体时的长度是 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．物体质量由增加到，弹簧的长度增加 【思路点拨】．根据变量的定义及“所挂物体的质量增加，弹簧的长度伸长”判断即可； ．利用待定系数法求出与之间的函数关系式，将代入该函数求出对应的值即可； ．将代入该函数求出对应的值即可； ．分别将和代入与之间的函数关系式，求出对应的值并求差即可． 【规范解答】解：，都是变量，且所挂物体的质量增加，弹簧的长度伸长， 弹簧的长度和所挂物体质量的一次函数， 正确，不符合题意； 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 把，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为， 当时，， 弹簧不挂物体时的长度是， 正确，不符合题意； 当时，， 当所挂物体的质量为时，弹簧长度是， 正确，不符合题意； 当时，， 当时，， ， 物体质量由增加到，弹簧的长度增加， 不正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的应用，掌握变量的定义、一次函数的判断方法是解题的关键． 10．（3分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．连结并延长交于点，若是中点，则的值为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设，，根据正方形的性质得出，进而利用勾股定理解得即可． 【规范解答】解：设，，根据题意可知：，， ， 四边形是正方形， ， 是中点， ， 在△中，， ， 整理得：， ， 四个三角形全等，且四边形是正方形， ， 即， ， 两边平方得：， ， ， 令，则， ， 解得：， 即， ， 法二，选用建析法解答； 故选：． 【考点评析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出解答． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）因式分解：　　． 【思路点拨】利用提公因式法与公式法，即可解答． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，解决本题的关键是熟记提公因式法与公式法． 12．（3分）若一次函数的图象经过点和点，则的值为 　7　． 【思路点拨】将，两点代入的二元一次方程组求解得到、的值，然后代数求解即可． 【规范解答】解：由条件可得：， 解得：， 所以． 故答案为：7． 【考点评析】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法成为解题的关键． 13．（3分）若二次根式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件，先列出不等式，求解即可． 【规范解答】解：， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次根式，掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键． 14．（3分）如图，将放在平面直角坐标系中，点为坐标原点，边与轴重合，边与轴正半轴相交于点．若，，且，则点的坐标为 　　． 【思路点拨】由平行四边形的性质得轴，，由，得，则，求得，则，，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是平行四边形，边与轴重合，， 轴，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、勾股定理等知识，由求得是解题的关键． 15．（3分）方程的解为　　． 【思路点拨】方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【规范解答】解：两边同时乘以，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 　　． 【思路点拨】不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围． 【规范解答】解：如图， 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 ，则关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（6分）计算： 【思路点拨】根据二次根式化简、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数幂和绝对值的性质． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】先展开，再合并同类项，化简后将的值代入计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【考点评析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 19．（6分）如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：． 【思路点拨】欲证明，只需推知四边形是平行四边形即可． 【规范解答】证明：，分别是边，的中点， 是的中位线． ，且． ，且， ，且． 四边形是平行四边形． ． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理．若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 20．（8分）某地投资修建几条崭新的公路．如图，现从地分别向、、三地修了三条笔直的公路，和，（其中、、在同一笔直公路上，，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且，已知千米，千米，千米． （1）求公路、的长度； （2）若修公路每千米的费用是2万元，请求出修建公路的费用． 【思路点拨】（1）根据勾股定理得出千米，再求出千米，然后根据勾股定理即可得出答案； （2）根据面积公式得出，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）在△中，千米，千米， 千米， 千米， 千米， 在△中， 千米； （2）， ， ， 解得：千米， 修建公路的费用为（万元）． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21．（8分）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为线段上一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 【思路点拨】（1）由于交轴于点，解方程于是得到结论； （2）根据勾股定理得到，得到点，设直线解析式为，解方程组得到直线解析式为，由于在直线上，可设点，即可得到结论； 【规范解答】解：（1）交轴于点， ， 直线解析式为， 令，， 则； （2），， ，， ， ， ， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 在直线上， 设点， 轴， 且点在上， ， 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象和性质，勾股定理，正确求得函数解析式是解题的关键． 22．（9分）如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是菱形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 23．（9分）某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元． （1）求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润； （2）该商场购进甲、乙两种品牌的书包共200个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，设购进甲品牌书包个，本次购进的200个书包全部出售的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）设每个甲品牌书包的销售利润为元，每个乙品牌书包的销售利润为元，根据销售10个甲品牌书包和20个乙品牌书包的利润为400元；销售20个甲品牌书包和10个乙品牌书包的利润为350元得：，可解得每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元； （2）①根据题意得； ②由乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍，可得，，故最小取67，再由一次函数性质可得答案． 【规范解答】解：（1）设每个甲品牌书包的销售利润为元，每个乙品牌书包的销售利润为元， 根据题意得：， 解得， 每个甲品牌书包的销售利润为10元，每每个乙品牌书包的销售利润为15元； （2）①根据题意得：； 关于的函数关系式为； ②乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的2倍， ， 解得， 为整数， 最小取67， 又中，随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 购进67个甲品牌书包，133个乙品牌书包，才能使销售总利润最大，最大利润是2665元． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 24．（10分）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、． （1）求证：是等腰三角形； （2）求直线的解析式； （3）若点是平面内任意一点，点是线段上的一个动点，过点作轴，垂足为点．在点的运动过程中是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由四边形是矩形，得，根据矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，得，即得，从而是等腰三角形； （2）由点的坐标是，得，根据矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，可得，设，则，可得，解得，，，再用待定系数法即得直线解析式为； （3）过作轴于，由，得，，，，设，，则，①若，是对角线，则，的中点重合，且，，解得，，②若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得；③若，为对角线，则，的中点重合，且，，解得，． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：点的坐标是， ，， ， 矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处， ，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为； （3）解：存在以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 过作轴于，如图： 由（2）知， ，， ， ，即， ，， ，， 设，，则， 又， ①若，是对角线，则，的中点重合，且， ， 解得（此时，，共线，舍去）或， ，， ②若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得不在线段上，舍去）或， ； ③若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ，， 综上所述，的坐标为，或或，． 【考点评析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的判定，菱形的性质及应用等知识，解题的关键是分类思想和方程思想的应用． 25．（10分）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 　　，与的位置关系是 　　； （2）①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②连接，若，，直接写出的长 　　； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 　　． 【思路点拨】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）①（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； ②根据已知得出，进而根据①可得，根据，勾股定理，即可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【规范解答】解：（1）如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （1）中的结论：，仍然成立； ②如图所示， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， 平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得， ． 【考点评析】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$