2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《平行四边形》18.2.1矩形的性质判定十二大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.1矩形的性质判定十二大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、矩形的判定定理1 1. 定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点2、矩形的判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。 注意：矩形的判定定理1可以拓展为①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，②两组对边平行且对角线相等的四边形是矩形。 知识点3、矩形的性质 （1） 角：矩形的四个角都是直角。 （2） 对角线：矩形的对角线相等。 （3） 对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 题型归纳 【题型1 利用矩形性质求角度】 【题型2 利用矩形性质求线段长度】 【题型3 利用矩形性质求面积】 【题型4 利用矩形性质进行证明】 【题型5 利用矩形性质求坐标】 【题型6 矩形与折叠问题】 【题型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【题型8添加条件使四边形是矩形】 【题型9证明四边形是矩形】 【题型10根据矩形性质判定求角度】 【题型11根据矩形性质判定求线段长度】 【题型12 根据矩形性质判定求面积】 典例精析专练 【题型1 利用矩形性质求角度】 【例1-1】．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，过点A作， ∴， 矩形中，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：C 【分析】 过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【变式1-1】．如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是　 　用的代数式表示． 【答案】 【知识点】平行线的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，设与交于点， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】设AC与EF交于点O，由作图可得：AF平分∠CAD，EF垂直平分AC，从而得出，∠AOF=90°，由矩形的性质即可求解． 【变式1-2】．如图， 在矩形 中， 是 边上的一点， 且 ， 则 　 　度． 【答案】25 【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC， ∵∠ABE＝40°， ∴∠AEB＝50°， ∴∠EBC＝∠AEB＝50°， ∵BC＝BE， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°-50°）＝65°， ∴∠ECD＝∠BCD-∠ECB＝90°-65°＝25°． 故答案为：25． 【分析】先根据矩形的性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD∥BC，再利用已知条件和平行线的性质求出∠EBC＝∠AEB，再根据等腰三角形的判定和性质即可得出答案． 【变式1-3】．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】如图，以AB为边作等边△ABF，连接EF、FO，知∠ABF=60°，得∠OBF=20°=∠BOE，由BF=AB，OE=AB得BF=OE，BO=OB，得△BOF≌△OBE，得∠BOF=∠OBE 由OB=OA，OF=OF，FA=FB得△OFA≌△OFB，∠AOF=∠BOF=10°， 故∠OBE=∠BOF=10°，于是∠AEB=∠EBO+∠BOE=30° 答案：B. 【分析】作等边△ABF，得△BOF≌△OBE得∠BOF=∠EBO，结合△OFA≌△OFB得∠BOF=10°，即可得∠AEB的度数. 【题型2 利用矩形性质求线段长度】 【例2-1】．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 ，BC＝8 ．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点F处，折痕与边BC交于点E，则CF的长为（　　） A．3 B．2 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】∵ ， ， ∴四边形 为矩形． ∵ ， ∴四边形 为正方形， ∴ ， ∴ ， ∴在 中， ． 故答案为：B． 【分析】由折叠知，得出DF的长度，利用勾股定理即可求出CF的长。 【变式2-1】．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是　 　. 【答案】6 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：由折叠可得：AB=AF，BE=FE=3，∠AFE=∠B=90°， ∴Rt△CEF中，CF4． 设AB= x，则AF=x ，AC=x+4． ∵Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴x2+82=（x+4）2， 解得：x=6， ∴AB=6． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6． 故答案为：6． 【分析】由折叠可得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=FE=3，在Rt△CEF中，依据勾股定理算出CF，设AB= x，则AF=x ，AC=x+4，进而在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程可求出AB的长，最后根据矩形的对边相等即可得出答案． 【变式2-2】．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 【答案】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于． 四边形是矩形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 到的距离为8． 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解得，； （2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，则，即到的距离为8． （1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于． 四边形是矩形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 到的距离为8． 【变式2-3】．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是等边三角形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形， ，则， ． 【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质 【解析】【分析】(1)由AOB为等边三角形知OA=AB=OB，得AC=BD，即可得ABCD为矩形； (2)矩形的性质知AC=10，再由勾股定理得BC的长. 【题型3 利用矩形性质求面积】 【例3-1】．如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则　 　． 【答案】6 【知识点】三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】解：如图，作于，于， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：6． 【分析】作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，由平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，AO=CO，由平行线性质得∠BAN=∠DCE，从而用AAS证△ANB≌△CMD，由全等三角形的对应边相等得BN=DM，由同底等高三角形的面积相等得，再求出，最后结合矩形的性质可求出结果． 【变式3-1】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D．16 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ∴， ， 矩形的面积是， 故选：B． 【分析】根据矩形的性质及已知可推出是等边三角形，可得，利用三角形内角和求出，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据矩形的面积=AB×BC进行计算即可． 【变式3-2】．．如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（　　） A．的长 B．矩形的面积 C．的面积 D．的度数 【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接， ∴∠FMD=∠GAD， 设，， ∵平分， ∴∠FAD=∠GAD， ∴∠FAD=∠FMD， ∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B． 【分析】过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，由平行线的性质可得∠FMD=∠GAD，设，，由角平分线的性质可得∠FAD=∠FMD，由等角对等边得，根据等腰三角形的三线合一可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据同底等高的两个三角形的面积相等可得，由此计算即可求解． 【变式3-3】．．如图所示，是矩形的对角线的交点，，． （1）求证：． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明： ，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， （2）解：，且四边形是菱形 ， ， ，且 ， 【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形，所以DC=OD=OC=2，由四边形ABCD是矩形，得到AC=2CO=4，在Rt△ADC中，由勾股定理得AD，的长度，再利用矩形面积公式即可解答. 【题型4 利用矩形性质进行证明】 【例4-1】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ； （2）解：∵DE//AC， ∴∠EDB=∠AOB=60°. 四边形是矩形， ， 又∵DE=BD， 是等边三角形， ∴BE=BD=4. ∴AB=CD=AE=2， ， 四边形的面积． 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得，，；证明，，，得DE=AC，等量代换即可得到结论； （2）根据平行线的性质可得∠EDB=∠AOB=60°；根据矩形的性质可得，于是可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BE的长，于是可就计算出AB和AE的长，利用勾股定理求出AD长，即可计算四边形的面积． 【变式4-1】．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， 又∵BD∥CE， 四边形DCEB是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥CD，再结合BD∥CE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据矩形的对角线相等得AC=BD，根据平行四边形的对边相等得BD=CE，从而由等量代换即可得出答案． 【变式4-2】．如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 . （1） 连接 ， 求证 ； （2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 . ①求证 ； ②若 ， 求 和 的长. 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ （2）证明：①尺规作图如下： 由（1）已证：， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②设， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 如图，延长，交于点， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，点是的中点， 则在中，， ∵， ∴ 【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质 【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解； （2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解； ②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。 【变式4-3】．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点．求证：AE＝BE. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°， ∵E为CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△ACE中， ∴△ADE≌△BCE(SAS)， ∴AE＝BE. 【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】首先根据矩形的性质得出AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，然后根据SAS即可证明△ADE≌△BCE，即可得出AE＝BE. 【题型5 利用矩形性质求坐标】 【例5-1】．若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为　 　． 【答案】（4，3） 【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴， ∵，，， ∴-a=-4，C（a，3）， ∴a=4， ∴点C的坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）. 【分析】本题考查了坐标与图形，根据矩形的性质可知AD⊥y轴，BC⊥y轴，AB⊥x轴，CD⊥x轴，由A、B、D的坐标得-a=-4， C（a，3），求出a的值，即可得点C坐标. 【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为　 　． 【答案】或或 【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：∵、的坐标分别为，， ∴OA＝10，OC＝4， ∵D是OA的中点，∴OD＝AD＝5， △ODP是等腰三角形，则有以下情形： 当OP＝OD＝5时，CP＝，∴P（3，4）； 当PO＝PD时，过P作PE⊥OA于E，则OE＝DE＝2.5，PE＝OC＝4，∴PO＝≠5 此情形不合题意舍去； 当DP＝DO＝5时，过P作PE⊥OA于E，则DE＝，∴OE＝OD-DE＝2，或OE＝OD+DE＝8 ∴P（2，4）或P（8，4）。 综上，P点的坐标为或或 【分析】△ODP是等腰三角形，有OP＝OD＝5，PO＝PD，DP＝DO＝5三种情形，要分别进行求解。特别要注意当DP＝DO＝5时，还存在两种情形. 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线交点O与原点重合，边AD∥x轴，且矩形的边长CD＝2，∠ADB＝30°．将矩形ABCD绕点O进行旋转，当点A落在x轴上时，点B的对应点的坐标是　 　． 【答案】（﹣1，﹣）或（1，） 【知识点】矩形的性质；旋转的性质 【解析】【解答】解：①当点A落在x轴负半轴时，点B的对应点落在第三象限B'处，连接OB'，过B'作B'P⊥x轴于P，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB＝30°， ∴∠AOB＝∠OAD+∠ADB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB＝2， 由旋转的性质得：∠A'OB'＝60°， ∵B'P⊥x轴， ∴∠OB'P＝30°， ∴OP＝OB'＝1，BP'＝＝， ∴B'(﹣1，﹣)； ②当点A落在x轴正半轴时，点B的对应点落在第一象限，与B'关于原点对称，坐标为(1，)； 综上所述，点B的对应点的坐标是(﹣1，﹣)或(1，)， 故答案为：(﹣1，﹣)或(1，)． 【分析】分类讨论：①当点A落在x轴负半轴时，②当点A落在x轴正半轴时，再分别画出图形并用等边三角形的判定和性质及关于原点对称的点坐标的特征分析求解即可. 【变式5-3】． 将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）.沿折叠该纸片，点的对应点为，设. （1）如图①，当时，求的度数及点的坐标； （2）如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 【答案】（1）解：过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，， ，沿折叠该纸片，点的对应点为， ，， ， 在中，，，则， ， ； （2） 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：（2）如图所示： 四边形是矩形， ，， 由折叠可得，，， ， 在等腰中，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ，解得， 重合部分， 当在轴上，则，此时； 当与重合时，此时； 点在边上（点不与点，重合）， ， 重合部分； 【分析】(1)由∠CPO=60°，结合特殊角可得OE和C'E的长，即得C'的坐标； (2)由折叠知△POD为等腰三角形，设PC=t，结合勾股定理可得x的表达式，即可求出POD的面积表达式. 【题型6 矩形与折叠问题】 【例6-1】．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　． 【答案】3或6 【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质 【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1）， ∵∠CED'＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝6； （2）当∠ED'A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形， 即∠CD'E＝90°， ∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°， ∴A、D'、C在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴CD'＝10−6＝4， 设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x， 在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2， 即x2＋16＝(8−x)2， 解得x＝3， 即DE＝3； 综上所述：DE的长为3或6； 故答案为：3或6． 【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理求出x值即可． 【变式6-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】解：（1）.理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． ​​​​ 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，则，在中，根据勾股定理可得，解得，，同理可证明，则． 【变式6-2】．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC'F的周长之和为　 　． 【答案】6 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：由折叠的性质得：EB=ED，C'F=CF， △ABE和△BC'F的周长之和=AB+AE+BE+BC'+C'F+BF =AB+AE+ED+BC'+CF+BF =AB+AD+DC+BC =2（AB+BC）=6， 故答案为：6． 【分析】 根据折叠的性质得到EB=ED，C'F=CF，由矩形的对边相等得到AD=BC=2，根据三角形的周长公式计算即可． 【变式6-3】．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2， ∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED， ∴∠AEB=∠GBE， 由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB， ∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB， ∴BG=EG=ED， ∵HB2+GH2=BG2， ∴12+（2ED-2）2=ED2， 整理得（3ED-5）（ED-1）=0， ∴或ED=1（不符合题意，舍去）. 故答案为：D． 【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值， 【题型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【例7-1】．如图所示，已知中，、是高线，是中点，连接、和． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，试判断的形状，并说明理由； （3）若，且，求的面积． 【答案】（1）证明：∵、是高线，是中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形 （2）解：∵， ∴， 即， ∵， 同理，， ∴ ∴=90°， ， ∴是等腰三角形 （3）解：作于点，如图， 设，则， 同（2）可得∠DFE=180°-10x， ∴ 180°-10x=2x，解得，x=15°，即， ∴， ∵ DF=BC=2， ∴ 【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边上中线为斜边的一半可得EF=DF，根据等腰三角形的判定即可证明； （2）根据三角形的内角和定理可得∠EBF+∠DCF=135°，根据等边对等角可得∠FEB+∠FDC=135°，根据四边形的内角和为360°推出∠DFE=90°，即可证明； （3）作于点，，同（2）可得∠DFE=180°-10x，列方程求得∠DFE=30°，根据30°的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式计算即可. 【变式7-1】．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（　　） A．5 B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据三角形的性质知：c=4， ∴ ， 可得：ab=4. 故三角形的面积= . 故答案为：B. 【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积. 【变式7-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝　 　. 【答案】35° 【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵D为AC的中点 ∴BD为三角形ABC的中线，即BD=AC=AD=DC ∴∠DBC=∠C=55° 又∵∠ABC=90° ∴∠ABD=90°-55°=35°。 故答案为：35°。 【分析】根据题意可得三角形的中线，结合中线定理求出∠DBC的度数，根据∠ABC为直角得出∠ABD的数值即可。 【变式7-3】．如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为　 　． 【答案】6 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】∵点E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴EF＝CD， ∴CD=6， ∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线， ∴AD=CD=6． 【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则EF＝CD，CD=6，由∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，可知AD=CD，最后得解。 【题型8添加条件使四边形是矩形】 【例8-1】．如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（　　） A． B．，， C． D． 【答案】D 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定 【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形；不符合题意； B、，，， ， ， 又∵四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形为矩形．不符合题意； C、， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ， 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形．符合题意. 故答案为：D. 【分析】A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形； B、由勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形； C、由等角对等边可得OA=OB，结合平行四边形的对角线互相平分可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断四边形ABCD是矩形； D、根据对角线垂直的平行四边形是菱形可判断四边形ABCD是菱形. 【变式8-1】．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当时，变成“矩形”， 故答案为：A 【分析】根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）结合题意即可求解. 【变式8-2】．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是　 　.(只要写出一个条件即可) 【答案】或或等 【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AD=DE， ∴BC=DE， ∴四边形BCED是平行四边形， ①若添加CD=BE， ∴平行四边形BCED是矩形； ②若添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°， ∴平行四边形BCED是矩形； ③若添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°， ∴平行四边形BCED是矩形； ∴要使四边形DBCE成为矩形，可添加的一个条件可以是CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE. 故答案为：CD=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE. 【分析】由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCED是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加CD=BE；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加∠ADB=90°；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可添加CE⊥DE（答案不唯一）. 【变式8-3】． 的对角线交于点 ， 若添加一个条件， 不能判断四边形 是矩形的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A、添加，不能判断四边形是矩形，A符合题意； B、添加，由于，则，能判断四边形是矩形，B不符合题意； C、添加，B不符合题意； D、添加，D不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据矩形的判定结合题意即可判断A；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断选项B和选项D；根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断选项C. 【题型9证明四边形是矩形】 【例9-1】．如图， 四边形 的对角线 交于点 ， 已知 是 的中点， . （1） 求证： ； （2） 当 时， 证明四边形 是矩形. 【答案】（1）证明： ， 在和中 ； （2）证明： O是的中点 ∴四边形是平行四边形. ， 四边形是矩形 【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，进而根据三角形全等的判定AAS即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得到，进而根据中点得到，可得平行四边形，再等量代换得AC=BD，即可根据矩形的判定得到结论。 【变式9-1】．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴ 设点C到的距离为h， ∵ ∴ ∴ 答：点C到的距离为． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行得到为平行四边形，然后利用得到结论即可； （2）根据勾股定理求出EF长，再利用据三角形面积公式解答即可． 【变式9-2】．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°， 又∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是矩形． （2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2，OB=OD=AE=3， 在Rt△AEC中，EC=． 【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再结合∠AOD=90°，可得四边形AODE是矩形； （2）先证明△ABC是等边三角形，再利用勾股定理求出EC的长即可。 【变式9-3】．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE. （1）求证：四边形OCED是矩形. （2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC， ∴四边形OCED是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠DOC=90°， ∴四边形OCED是矩形。 （2）解： 菱形ABCD的边长为6， 是等边三角形 在 中， ， 四边形OCED是矩形， ， 在 中， ， 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】(1)先证明四边形OCED是平行四边形，结合四边形ABCD是菱形，则可得出∠DOC=90°，则可证得四边形OCED是矩形； (2)根据菱形的性质，结合∠ABC=60°，得出△ABC为等边三角形，则可求出AC长，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AE长即可. 【题型10根据矩形性质判定求角度】 【例10-1】．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵矩形中，； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：B 【分析】先根据矩形的性质结合题意得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据角平分线的定义得到，再结合题意即可得到，从而即可求出∠BAE得到度数，再根据三角形内角和定理即可求解. 【变式10-1】．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接DE，FG，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如图所示，延长交于点H，连接BE，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°. 过点E作与点F，于点G， ∴四边形是矩形 ∴， 易证， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：C． 【分析】延长交于点H，由题意得四边形是矩形，得到，，然后由正方形的性质证明出，是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的判定证明，得到，然后利用角度的等量代换即可求解． 【变式10-2】． 如图，四边形中，对角线相交于点，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 【答案】（1）证明： 四边形是平行四边形 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）得：，四边形是矩形， ， 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形； （2）根据题意得到，根据三角形内角和得到，即可知，得到，进而即可得到答案. 【题型11根据矩形性质判定求线段长度】 【例11-1】．如图，四边形中，，，，为中点，且，连接． （1）求的长度； （2）若，求的长度． 【答案】（1）解：过点D作，垂足为， ∴， =∠AHD， ， ∵AD=， ， ， ，为中点， ， ， 在Rt∆DEH中，由勾股定理得： ； 答：DE的长为 （2）解：在图（1）的基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P， ，，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在∆DHE和∆CPD中 ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即点G为中点， ， ∴在Rt∆CGE中，由勾股定理可得： ． 答：BC的长为 【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为，根据，由等角对等边可得，在Rt∆ADH中，用勾股定理即可求出，由线段中点定义可得，由线段的构成可求得HE=AE-AH求出HE的值，在Rt∆DEH中，用勾股定理即可求得的值； （2）在图（1）基础上，过点作，分别交与点G，交延长线于点P，由三角形外角的性质得到，结合，推出，由，由等角对等边可得DE=CD，用勾股定理求出，结合已知用角角边可证∆DHE≌∆CPD，由全等三角形的对应边相等可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的性质可得HG=PC，由线段的构成EG=HG-EH求出EG的值，即点G为中点，在Rt∆CGE中，由勾股定理即可求解． 【变式11-1】．如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是　 　． 【答案】 【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【分析】连接CD，利用勾股定理求出AB，根据三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据等面积法结合三角形的面积公式列方程求解即可． 【变式11-2】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，OB=5， ∴BD=2OB=10， ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OB=OD，由二直线平行，内错角相等得∠BEO=∠DFO，从而由AAS判断出△BEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，进而根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可得结论； （2）由平行四边形的对角线互相平分得BD=2OB=10，根据勾股定理的逆定理判断出∠BED=90°，然后根据有一个角是直角得平行四边形是矩形得四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对角线相等可得EF的长. （1）解：四边形是平行四边形 在和中 又 四边形是平行四边形； （2） ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ． 【变式11-3】．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形． ∴CE=BD． ∵CE=AC， ∴AC=BD． ∴▱ABCD是矩形． （2）解：∵▱ABCD是矩形，AB=4，AD=3， ∴∠DAB=90°，BC=AD=3， ∴ ． ∵四边形BCED是平行四边形， ∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16． 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解． 【题型12 根据矩形性质判定求面积】 【例12-1】．如图， 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形， ， 则平行四边形 的面积为　 　． 【答案】 【知识点】矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ 平行四边形 ，对角线 相交于点O， ∴AC=2AO，BC=2BO. ∵△AOB是等边三角形， ∴AB=BO=AO=4 cm， ∴AC=BD=8 cm， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴ ∴ 矩形ABCD的面积为：. 故答案为：. 【分析】利用平行四边形对角的性质和等边三角形的性质证得AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，于是可求出BC的长，利用AB×BC即可得到结论. 【变式12-1】．如图，在中，，平分，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 四边形是矩形； （2）解：过作于， 是等边三角形，边长为， ，， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ． 【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；多边形的面积 【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形； （2）过O作OH⊥CE于H，由等边三角形的性质和平行线的性质可得∠DAC=∠BAC=30°=∠ACE，由矩形的对角线互相平分可得OC=OA，结合已知条件可得CF=OC，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=CF，然后根据四边形面积的构成S四边形AOFE=S△AEC-S△COF可求解. 【变式12-2】．如图， 中， 为钝角， 以 为边向外作 为钝角， 连结 。设 ， 的面积分别为 ， 则 的面积可表示为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q， ∵平行四边形ABDE， ∴AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE， ∴CQ⊥BD，AB⊥CH， ∴四边形BSHR是矩形， ∴BR=SH， =. 故答案为：C. 【分析】过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q，根据平行四边形的对边平行且相等可得AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE，根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得BR=SH，结合三角形的面积公式计算S△ABC即可求解. 【变式12-3】．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且. （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长. 【答案】（1）证明：为中点，，在中，，又四边形ABCD为平行四边形，四边形为矩形； （2）解：解：连接，过点作，垂足为H，则EH=CD=4， ∵F为的中点，， ． ∵，BF=EF， ∴S△BEG=2S△BFG=10， ∵S△BEG=BG·EH=10， ∴BG=5，则， 由勾股定理：GH==3， ∴BH=BG+GH=8， ∴BE==， ∴BC=BE=， 【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由F为BE中点及，可得AF=BF=EF，利用等边对等角可得，根据三角形内角和定理可推出∠BAF=90°，根据矩形的判定即证结论； （2）连接，过点作，垂足为H，则EH=CD=4，由F为的中点，可得BG=GE，从而得出S△BEG=2S△BFG=10，利用三角形的面积可求BG=5，则，由勾股定理GH、BE的长，利用CG=BC-BG即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.2.1矩形的性质判定十二大题型 知识要点归纳 知识点1、矩形的判定定理1 1. 定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点2、矩形的判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。 注意：矩形的判定定理1可以拓展为①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，②两组对边平行且对角线相等的四边形是矩形。 知识点3、矩形的性质 （1） 角：矩形的四个角都是直角。 （2） 对角线：矩形的对角线相等。 （3） 对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 题型归纳 【题型1 利用矩形性质求角度】 【题型2 利用矩形性质求线段长度】 【题型3 利用矩形性质求面积】 【题型4 利用矩形性质进行证明】 【题型5 利用矩形性质求坐标】 【题型6 矩形与折叠问题】 【题型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【题型8添加条件使四边形是矩形】 【题型9证明四边形是矩形】 【题型10根据矩形性质判定求角度】 【题型11根据矩形性质判定求线段长度】 【题型12 根据矩形性质判定求面积】 典例精析专练 【题型1 利用矩形性质求角度】 【例1-1】．小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是　 　用的代数式表示． 【变式1-2】．如图， 在矩形 中， 是 边上的一点， 且 ， 则 　 　度． 【变式1-3】．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于(　　) A． B． C． D． 【题型2 利用矩形性质求线段长度】 【例2-1】．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 ，BC＝8 ．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点F处，折痕与边BC交于点E，则CF的长为（　　） A．3 B．2 C．8 D．10 【变式2-1】．如图，已知在长方形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC上，若BE=3，EC=5，则线段CD的长是　 　. 【变式2-2】．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 【变式2-3】．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是等边三角形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【题型3 利用矩形性质求面积】 【例3-1】．如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则　 　． 【变式3-1】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D．16 【变式3-2】．．如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（　　） A．的长 B．矩形的面积 C．的面积 D．的度数 【变式3-3】．．如图所示，是矩形的对角线的交点，，． （1）求证：． （2）若，，求矩形的面积． 【题型4 利用矩形性质进行证明】 【例4-1】．如图，在矩形中，对角线，相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【变式4-1】．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【变式4-2】．如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 . （1） 连接 ， 求证 ； （2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 . ①求证 ； ②若 ， 求 和 的长. 【变式4-3】．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点．求证：AE＝BE. 【题型5 利用矩形性质求坐标】 【例5-1】．若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为　 　． 【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为　 　． 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线交点O与原点重合，边AD∥x轴，且矩形的边长CD＝2，∠ADB＝30°．将矩形ABCD绕点O进行旋转，当点A落在x轴上时，点B的对应点的坐标是　 　． 【变式5-3】． 将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）.沿折叠该纸片，点的对应点为，设. （1）如图①，当时，求的度数及点的坐标； （2）如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 【变式6-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【变式6-2】．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC'F的周长之和为　 　． 【变式6-3】．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【题型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【例7-1】．如图所示，已知中，、是高线，是中点，连接、和． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，试判断的形状，并说明理由； （3）若，且，求的面积． 【变式7-1】．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（　　） A．5 B．2 C． D．1 【变式7-2】．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝　 　. 【变式7-3】．如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为　 　． 【题型8添加条件使四边形是矩形】 【例8-1】．如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（　　） A． B．，， C． D． 【变式8-1】．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到，使，连结EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是　 　.(只要写出一个条件即可) 【变式8-3】． 的对角线交于点 ， 若添加一个条件， 不能判断四边形 是矩形的是 (　　) A． B． C． D． 【题型9证明四边形是矩形】 【例9-1】．如图， 四边形 的对角线 交于点 ， 已知 是 的中点， . （1） 求证： ； （2） 当 时， 证明四边形 是矩形. 【变式9-1】．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点C到的距离． 【变式9-2】．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长． 【变式9-3】．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE. （1）求证：四边形OCED是矩形. （2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 【题型10根据矩形性质判定求角度】 【例10-1】．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接DE，FG，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】． 如图，四边形中，对角线相交于点，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 【题型11根据矩形性质判定求线段长度】 【例11-1】．如图，四边形中，，，，为中点，且，连接． （1）求的长度； （2）若，求的长度． 【变式11-1】．如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是　 　． 【变式11-2】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【变式11-3】．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 【题型12 根据矩形性质判定求面积】 【例12-1】．如图， 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形， ， 则平行四边形 的面积为　 　． 【变式12-1】．如图，在中，，平分，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求四边形的面积． 【变式12-2】．如图， 中， 为钝角， 以 为边向外作 为钝角， 连结 。设 ， 的面积分别为 ， 则 的面积可表示为 (　　) A． B． C． D． 【变式12-3】．在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且. （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$