精品解析：甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期开学检测数学试卷

平凉一中2027届高一下学期开学考数学检测题（必修一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据指数函数性质求出集合，再根据对数函数定义域求出集合，接着求出集合在全集下的补集，最后求出与的交集. 【详解】由中不等式变形得：，得到，即； 要使函数有意义，则，解得或， 所以或，； 结合数轴得：． 故选：B. 2. 若命题，，则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题否定的规则，将全称量词变为存在量词，并否定原命题的结论，从而得到命题. 【详解】的否定为，的否定为，所以命题为，． 故选：D. 3. 若，，则错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据不等式的性质，结合已知条件，，结合特殊值方法，还有幂函数单调性，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，当，，，时，，，此时，所以选项错误. 对于选项，由可得，则. 又因为，所以，根据不等式的性质：可得，所以选项正确. 对于选项，由，则，则，，根据不等式的性质：，可得，所以选项正确. 对于选项，由前面分析可知，因为函数在上单调递增，所以，所以选项正确. 故选：A. 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，排除A、C， 取，则，排除D． 故选：B 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用同角三角函数关系得出，再应用诱导公式计算求解即可. 【详解】因为，所以，则， ． 故选：D. 6. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数、对数的运算法则及指数函数和对数函数的性质，考虑与“0、1”比较即可. 【详解】因为，所以， ，，， ，所以. 故选:B 【点睛】此题考查对数指数函数的性质，属于基础题. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则来确定平移的单位. 【详解】因为，故向左平移个单位，故A正确； 经检验，其他选项错误. 故选：A. 8. 设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求解方程，再根据图象确定零点个数. 【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 10. 已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是偶函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，且， 则，即，A错； 对于B选项，因为，则， 因为，则， 即，即， 故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，故函数是偶函数，C对； 对于D选项，因为，则， 即，D错． 故选：BC 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 的值域为 C. 若，则 D. 的增区间为， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复合函数求定义域的方法可得选项A正确；令，换元后利用二次函数的性质可得选项B错误；利用换元法，解方程组的方法求函数解析式可得选项C正确；根据复合函数单调性和定义域，求解可得选项D正确. 【详解】由，得， 故，解得，A正确； 令，则，所以， 其对称轴为，最大值为，故，B错误； 可化为， 令，得， 联立，解得， 故，C正确； 由复合函数定义域知，，再由单调性可得： ，， 解得，，D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，对数恒等式等对原式各项分别化简，然后再进行计算. 【详解】原式 故答案为：. 13. 若，，且，则的最小值是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】由ln(a＋b)＝0，得a＋b＝1. 又a＞0，b＞0， ∴＋＝(a＋b) ＝2＋≥4. 当且仅当a＝b＝时，取等号． ∴＋的最小值是4. 14. 已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合函数图象变换的性质，结合函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称， 又因为函数向右平移2个单位得到函数的图象， 所以函数的图象关于直线对称， 因为， 所以函数也关于直线对称， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若成立的一个充分不必要的条件是，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先确定集合，根据交集运算求解即可； （2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 由集合知，即， 化简得，解得,则, ， 当时，，． 【小问2详解】 若成立的一个充分不必要条件是， 等价于但，即是的真子集， 结合数轴可知，得． 16. 为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 （1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； （2）估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 【答案】（1），，，作图如下： （2）众数为95分；平均数为83分；第75百分位数是93分． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合频数、频率的关系即可求得，的值，并作图； （2）结合众数、中位数和第p百分位数的含义即可求得它们的值. 【小问1详解】 由，解得， ，． 而每组的频率/组距分别为0.005、0.010、0.020、0.030、0.035， 所以频率分布直方图如下所示： 【小问2详解】 由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点， 即众数为95分； 平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和， 即， 所以估计平均值为83分； 前四组频率和为， 所以第75百分位数在内，设第百分位数为， 则，解得，所以估计第75百分位数是93分． 17. 已知函数的部分图象大致如图所示． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 18. 平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． （1）给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； （2）设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】（1）选择②分段函数模型， （2）4410元． 【解析】 【分析】（1）所给函数①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的，而表中数据显示销售量随时间先增大后减小且呈对称趋势，故选择②分段函数模型较合适； （2）由（1）得的解析式，根据求出的值，再由求得，通过分类讨论结合基本不等式和单调性求最小值即可. 【小问1详解】 由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势， 而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的， 故选择②分段函数模型． 将点，，代入（2），得， 解得，故函数解析式为． 分别将和代入，解得，，与题中数据相符，因此该函数模型合理． 【小问2详解】 由（1）知， 又由题意知， 即，解得， 所以， 故． 当时，； 当时，，在上单调递减， 所以． 综上所述，销售收入的最小值为4410元． 19. 已知，（且） （1）求函数的定义域； （2）若，函数的最小值为2，求的值； （3）在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，； 当时，； 当时，． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于0求定义域，并分类讨论； （2）根据（1），令，其对称轴为，由复合函数单调性最值求解； （3）令为减函数，则问题转化为即，使得成立，分离参数求的取值范围． 【小问1详解】 令，即， 当时，； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 当时，， 令， 已知的最小值为2，则有最大值为， 其对称轴为， 则，解得． 【小问3详解】 由题可知，使得成立， 令为减函数， 则，， 即，使得成立，即， 因为，故， 令， 当且仅当，即时成立， 所以，故 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，令为减函数，则问题转化为即，使得成立，分离参数求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高一下学期开学考数学检测题（必修一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 8. 设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是偶函数 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 的值域为 C. 若，则 D. 的增区间为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. ________． 13. 若，，且，则的最小值是___________． 14. 已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，则横坐标之和__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若成立的一个充分不必要的条件是，求实数的取值范围． 16. 为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 （1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； （2）估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 17. 已知函数的部分图象大致如图所示． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 18. 平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 500 550 600 550 500 已知第10天的日销售收入为5050元． （1）给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式； （2）设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值． 19. 已知，（且） （1）求函数的定义域； （2）若，函数的最小值为2，求的值； （3）在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $