热点题型·专题07 三角形中的证明与计算问题（4类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

专题07 三角形中的证明与计算问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 三角形中的基本概念及其相关计算 1 题型02 三角形全等的判定及性质应用 6 题型03 相似三角形的判定及性质应用 16 题型04 结合全等与相似进行三角形的综合计算 29 中考练场 52 题型01 三角形中的基本概念及其相关计算 三角形中的基本概念及其相关计算是初中数学几何板块的基石性内容，涵盖三角形的定义、分类、内角和、外角性质以及特殊线段（如高、中线、角平分线）等基础概念，以及基于这些概念衍生出的角度、边长等计算，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对三角形内角和定理（三角形内角和为 180°）、外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）的熟练运用，以及通过三角形特殊线段的性质进行角度和线段长度的计算。 2.高频题型：高频题型有已知三角形部分角度求其余角度；依据三角形分类（如直角三角形、等腰三角形）及相关性质计算边长；利用三角形高、中线、角平分线的特性，结合其他条件求解线段长度或角度大小。 3.高频考点：考点集中在三角形内角和与外角性质的应用，等腰三角形（两腰相等、两底角相等）、等边三角形（三边相等、三角均为 60°）、直角三角形（勾股定理等）的性质与判定，以及三角形特殊线段（如中线平分对边、角平分线平分内角）的相关计算。 4.能力要求：要求学生具备扎实的基础知识记忆与理解能力，能准确运用定理公式；拥有良好的逻辑推理能力，从已知条件推导所需结论；掌握基本的几何运算技巧，进行角度和线段长度的准确计算。 5.易错点：易错点在于混淆三角形内角和与外角性质的应用场景；在等腰三角形中，对腰和底边、顶角和底角的区分不清导致计算错误；运用勾股定理时，对直角边和斜边判断失误；对三角形特殊线段性质理解不透彻，应用时出现偏差。 【提分秘籍】 1. 三角形的定义： 三条线段首尾顺次连接组成的图形。 2. 三角形的分类： ①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 ②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。 3. 三角形的中线、高线、角平分线： ①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。平分三角形的面积。 ②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。得到两个直角三角形。 ③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 4. 三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。 5. 三角形的内角和定理： 三角形的三个内角之和等于180°。 6. 三角形的外角定理： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。大于它不相邻的任意一个内角。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 例2．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 例3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    【答案】/90度 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 例4．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江衢州·一模）已知三角形两边长为3，4，则第三条边的长可以是 （写出一种即可）． 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长是， ， ， 第三条边的长可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知一个等腰三角形的两条边长分别为2和8，则此等腰三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三边关系是解题的关键； 将8和2分别作为腰分类讨论，然后根据三角形三边关系判定是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：当8为腰时，三边为：8，8，2，根据三角形三边关系，可以构成三角形，则周长为， 当2为腰时，三边为：8，2，2，故不能构成三角形． 等腰三角形的周长为， 故答案为：18． 3．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴它的一个顶角为． 故选：C 4．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，分两种情况，由三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边即可解决问题，熟知三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】∵为等腰三角形， ∴或， 当时，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，在中，，不构成三角形，不符合题意； ∴， 故选：C． 5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 题型02 三角形全等的判定及性质应用 三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。 2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题转化为数学模型的能力。 5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将 “SSA” 当作判定依据；在运用全等三角形性质时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中，不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。 【提分秘籍】 全等三角形的判定： ①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。 ②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。 ③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。 ④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 全等三角形的性质： 对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 例2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 例3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 例4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，垂足为D，E为线段上一点，且，过E作交于F． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）证明，，又由已知，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ （2）∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为． (1)求证； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由菱形的性质证明，然后由可得出结论； （2）先由四边形内角和求出，再解，求出，即可由菱形的性质求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ． （2）解：， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，四边形内角和，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理： （1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，得出． 【详解】（1）解：∵． ∴． ∵， ∴； （2）证明：在中，，， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 4．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等边三角形的性质找出三角形全等的条件． （1）由等边三角形的性质得，， 由等式性质推出，从而证明出，根据全等三角形的对应边相等得； （2）由全等三角形的对应角相等得，根据平角定义可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得，从而根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可得结论． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等边三角形． 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，点分别在的延长线上，连结，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据即可证明结论． （2）在延长线上截取．连结．证明，是等边三角形，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． 又， ； （2）解：如图．在延长线上截取．连结． 由（1）可知，． 四边形是平行四边形，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 又， ， ． ，， ． ， ． 题型03 相似三角形的判定及性质应用 相似三角形的判定及性质是初中数学几何领域中极为重要的内容，它主要研究三角形之间的相似关系，通过判定定理确定相似性，并利用性质解决线段比例、角度关系等几何问题，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查对相似三角形判定定理（如两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、对应线段成比例、面积比等于相似比的平方）在各类几何情境中的应用。 2.高频题型：高频题型包含给定几何图形，判断三角形是否相似并说明理由；利用相似三角形性质计算线段长度、角度大小、图形面积；通过构造相似三角形解决实际问题，如测量物体高度、距离等。 3.高频考点：考点集中在相似三角形判定条件的灵活选择，相似三角形性质在几何证明和计算中的运用，相似三角形与函数、圆等其他知识的综合考查，以及相似模型（如 “A” 型、“X” 型、母子相似型）的识别与应用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选择相似三角形的判定方法；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中提炼出相似三角形；掌握一定的数学建模思想，能将实际问题转化为相似三角形模型求解。 5.易错点：易错点在于判定相似时错用条件，例如误将两边对应成比例且其中一边的对角相等当作判定依据；在运用相似三角形性质时，对应关系混淆，导致线段比例、面积计算出错；对相似模型的特征把握不准，无法准确识别与应用，在综合问题中不能有效整合相似三角形与其他知识解题。 【提分秘籍】 1. 相似图形的概念： 把形状相同的图形称为相似图形。 2. 相似三角形的概念： 如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。 3. 相似三角形的判定： ①平行线法判定： 平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。 ②对应边判定： 三组对应边的比相等的两个三角形相似。 ③两边及其夹角判定法： 两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。 ④两角判定： 有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。 ②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。 【典例分析】 例1．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 【答案】9.88 【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC=∠DEF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB=9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． 例2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 例3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例4．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式演练】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中 ，D、E分别是上的点，，与相交于F，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质．根据，得，，再利用相似三角形对应边成比例即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴A不正确，B正确， ， ， ， ， ∴选项C、D都不正确， 故选：B． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰直角三角形中，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴即 解得： ∴，，都不是定值， ∴是定值， 故选：D． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （）作交于点，则，所以，而，求得，再证明，得，所以的值为； （）连接，由，，得，，由，得，而，所以，可证明，得 ，则，，再证明，得 ，所以，则，所以，，求得 ； 【详解】（1）解：作交于点， ∵是的三等分点且靠近点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （2）解：连接， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是正数， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证； （2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可； （3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 题型04 结合全等与相似进行三角形的综合计算 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作，连接数、，延长到点，使，连接，根据可得，利用可证，再利用可证，从而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位线定理可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作，连接数、，延长到点，使，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ， 点是的中点， 是梯形的中位线，                                       ，， ， ， 又， ， ， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 例2．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 例3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 例4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 例5．2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 例6．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 例7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 例8．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答； （2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答； （3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答； ②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形与关于所在直线成轴对称， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 设设，则， ， ， 四边形为矩形， ， 点为矩形的对称中心， ， ， 在中，， 可得方程， 解得（此时，故舍去0）， ；    （3）解：①证明：过点作于，连接， 点为矩形的对称中心， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ；    ②如图，连接， 由题意可得, 点为矩形的对称中心， ， 同理可得， 由（1）知， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由①可得， 解得， ， ， ．    【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 证明出，得到，即可求解． 【详解】解：取中点为H，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵线段的中点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，如图，根据，可得，作，交于点，交于点，根据矩形的性质可得四边形是矩形，可得，可证，根据相似三角形对应表的比等于对应高的比，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，交于点，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，，，，于点D，平分交于点，交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，再根据得，根据角平分线定义得，由此可依据“”判定和全等； （2）由（1）得，则，证得，则，从而得，设，则，然后在中由勾股定理求出x即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，连结对角线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．          图1                             图2 (1)若，，求的长； (2)如图，连结并延长，交直线于点，交直线于点． 当点与点重合时，求的值； 若，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】（）根据四边形是矩形，由性质得，旋转的性质及勾股定理即可求解； （）当点与点重合时，则点，，为同一个点，如图，过作交延长线于点，利用相似三角形的性质即可求解； 证明，得，设，则， ，再证明即可求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得：， 由旋转性质可知，， ∴由勾股定理得：， （2）当点与点重合时，则点，，为同一个点，如图，过作交延长线于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交延长线于点， 同理， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴． 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题： ①若平分，，则； ②若，，则； ③若，，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握等边对等角，等角对等边，全等三角形判定和性质是解题的关键．连接，延长交于点，作，运用三角形全等的判断和性质即可求解；运用等边对等角，等角对等边的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交与点，作于点，作于点， ①若平分，， ∴，，且，是公共边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，且，是公共边， ∴；故①正确； ②若， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故②正确； ③若， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，由，得，，再证，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质，得，，，，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过作于，设，设，，，    ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边性质， ∴，，，， ∴， ∵于，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即，． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，若，，则四边形的周长是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，三角形的面积，矩形的性质，解答本题的关键是依据折叠的性质得出，，并推导出．由折叠的性质推导出，，从而得出，，，依据三角形的面积比值推导出，进一步推导出，利用勾股定理求得，进一步解答即可得解． 【详解】解：连接，如图； 已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，， 由折叠的性质得：，，， ； 同理，，，， ， ，，， ， ， 即， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，， ， 四边形的周长为：， 故选：B 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，E，F分别是，的中点．若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 根据矩形的性质，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质即可得出答案. 【详解】解：连接，，，过点F作交于点H， 四边形是矩形， ，，E是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形是矩形， ，， F是的中点， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ∵ ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在直角三角形中，， ∵ ∴， ， 在直角三角形中，， ， 故选B. 二、填空题 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，E是的中点，F是边上的动点，连接，．若，则 ． 【答案】/ 【分析】延长交于点G，过点G作，交延长线于H，设，则，，在中由，设，，，证明得，即，由此得，，则，进而得，再证即可得出的值． 【详解】解：延长交于点G，过点G作，交延长线于H，如图所示： 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴可设，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 由，得：， 由，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，理解正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，勾股定理及锐角三角函数进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造相似三角形是解决问题的难点． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，正三角形边长为，点为边上一个动点（不与点，重合），以为边向下作正三角形，连结并延长交于点，则的度数为 ；当时，的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】根据等边三角形的性质，利用证明，得出，结合三角形内角和定理，得出即可；作交于，结合等边三角形的性质推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，，设，根据相似三角形的性质，结合等边三角形的性质，，得出，表示出、、、、，得出，求出的值，进而得出、的长，计算出的值即可． 【详解】解：∵三角形和三角形都是正三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 如图，作交于， ∵三角形和三角形都是正三角形，正三角形边长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 时，，，， 时，，，， ∴的值为或， 故答案为：；或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、作辅助线判定相似三角形是解题的关键． 三、解答题 9．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于H，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于H，连接、，如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 11．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，点D 、E 分别是线段的中点，过点A 作交的延长线于点 F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由，得，而，，即可证明结论； （2）由，点D是线段的中点，得，在直角三角形中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵E 是线段的中点， ∴ ∵ ∴； （2）由（1）得： ∴ ∵，点D是线段的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的长为 【点睛】本题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是关键． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 13．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了正方形，相似三角形．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）根据正方形对边平行证明，得到，根据，即得； （2）过点G作，，垂足分别为点H，I，根据正方形角的性质和角平分线性质证明四边形是正方形，设边长为x，证明，得到， ，解得，得到，根据勾股定理即得． 【详解】（1）∵正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图过点G作，垂足为点H，作，垂足为点I， 则， ∵四边形是正方形, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴矩形是正方形，设边长为x， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证； （2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    15．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形中的证明与计算问题 目录 热点题型归纳 1 题型01 三角形中的基本概念及其相关计算 1 题型02 三角形全等的判定及性质应用 4 题型03 相似三角形的判定及性质应用 8 题型04 结合全等与相似进行三角形的综合计算 12 中考练场 16 题型01 三角形中的基本概念及其相关计算 三角形中的基本概念及其相关计算是初中数学几何板块的基石性内容，涵盖三角形的定义、分类、内角和、外角性质以及特殊线段（如高、中线、角平分线）等基础概念，以及基于这些概念衍生出的角度、边长等计算，在中考数学中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对三角形内角和定理（三角形内角和为 180°）、外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）的熟练运用，以及通过三角形特殊线段的性质进行角度和线段长度的计算。 2.高频题型：高频题型有已知三角形部分角度求其余角度；依据三角形分类（如直角三角形、等腰三角形）及相关性质计算边长；利用三角形高、中线、角平分线的特性，结合其他条件求解线段长度或角度大小。 3.高频考点：考点集中在三角形内角和与外角性质的应用，等腰三角形（两腰相等、两底角相等）、等边三角形（三边相等、三角均为 60°）、直角三角形（勾股定理等）的性质与判定，以及三角形特殊线段（如中线平分对边、角平分线平分内角）的相关计算。 4.能力要求：要求学生具备扎实的基础知识记忆与理解能力，能准确运用定理公式；拥有良好的逻辑推理能力，从已知条件推导所需结论；掌握基本的几何运算技巧，进行角度和线段长度的准确计算。 5.易错点：易错点在于混淆三角形内角和与外角性质的应用场景；在等腰三角形中，对腰和底边、顶角和底角的区分不清导致计算错误；运用勾股定理时，对直角边和斜边判断失误；对三角形特殊线段性质理解不透彻，应用时出现偏差。 【提分秘籍】 1. 三角形的定义： 三条线段首尾顺次连接组成的图形。 2. 三角形的分类： ①按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 ②按边分类：不等边三角形，等腰三角形。等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。 3. 三角形的中线、高线、角平分线： ①中线：连接顶点与对边中点得到的线段。平分三角形的面积。 ②高线：过定点做对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。得到两个直角三角形。 ③角平分线：作三角形角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 4. 三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。 5. 三角形的内角和定理： 三角形的三个内角之和等于180°。 6. 三角形的外角定理： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。大于它不相邻的任意一个内角。 【典例分析】 例1．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    例2．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    例4．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【变式演练】 1．（2024·浙江衢州·一模）已知三角形两边长为3，4，则第三条边的长可以是 （写出一种即可）． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知一个等腰三角形的两条边长分别为2和8，则此等腰三角形的周长为 ． 3．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为 ． 题型02 三角形全等的判定及性质应用 三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。 2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题转化为数学模型的能力。 5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将 “SSA” 当作判定依据；在运用全等三角形性质时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中，不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。 【提分秘籍】 全等三角形的判定： ①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。 ②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。 ③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。 ④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。 全等三角形的性质： 对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等 【典例分析】 例1．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    例2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 例3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 例4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，垂足为D，E为线段上一点，且，过E作交于F． (1)求证：． (2)求的长． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形为菱形，过点D分别作的垂线，垂足为． (1)求证； (2)若，求的值． 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)求证：． 4．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)试说明：． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，点分别在的延长线上，连结，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型03 相似三角形的判定及性质应用 相似三角形的判定及性质是初中数学几何领域中极为重要的内容，它主要研究三角形之间的相似关系，通过判定定理确定相似性，并利用性质解决线段比例、角度关系等几何问题，在中考数学中分值占比约 5%-10%。 1.考查重点：重点考查对相似三角形判定定理（如两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、对应线段成比例、面积比等于相似比的平方）在各类几何情境中的应用。 2.高频题型：高频题型包含给定几何图形，判断三角形是否相似并说明理由；利用相似三角形性质计算线段长度、角度大小、图形面积；通过构造相似三角形解决实际问题，如测量物体高度、距离等。 3.高频考点：考点集中在相似三角形判定条件的灵活选择，相似三角形性质在几何证明和计算中的运用，相似三角形与函数、圆等其他知识的综合考查，以及相似模型（如 “A” 型、“X” 型、母子相似型）的识别与应用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选择相似三角形的判定方法；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中提炼出相似三角形；掌握一定的数学建模思想，能将实际问题转化为相似三角形模型求解。 5.易错点：易错点在于判定相似时错用条件，例如误将两边对应成比例且其中一边的对角相等当作判定依据；在运用相似三角形性质时，对应关系混淆，导致线段比例、面积计算出错；对相似模型的特征把握不准，无法准确识别与应用，在综合问题中不能有效整合相似三角形与其他知识解题。 【提分秘籍】 1. 相似图形的概念： 把形状相同的图形称为相似图形。 2. 相似三角形的概念： 如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。 3. 相似三角形的判定： ①平行线法判定： 平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。 ②对应边判定： 三组对应边的比相等的两个三角形相似。 ③两边及其夹角判定法： 两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。 ④两角判定： 有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。 4. 相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。 ②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。 【典例分析】 例1．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m． 例2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 例3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 例4．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【变式演练】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中 ，D、E分别是上的点，，与相交于F，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 5．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连结． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 题型04 结合全等与相似进行三角形的综合计算 【典例分析】 例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 例2．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 例3．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 例4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 例5．2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    例6．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 例7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 例8．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)令，． ①求证：； ②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值． 【变式演练】 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 2．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 3．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，，，，于点D，平分交于点，交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，连结对角线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．          图1                             图2 (1)若，，求的长； (2)如图，连结并延长，交直线于点，交直线于点． 当点与点重合时，求的值； 若，，直接写出的长． 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，是内部一点，连结，，，有以下三个命题： ①若平分，，则； ②若，，则； ③若，，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，，若，则的面积一定可以表示为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，若，，则四边形的周长是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 6．（2024·浙江温州·二模）如图，在矩形中，，E，F分别是，的中点．若，则（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 7．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在正方形中，E是的中点，F是边上的动点，连接，．若，则 ． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，正三角形边长为，点为边上一个动点（不与点，重合），以为边向下作正三角形，连结并延长交于点，则的度数为 ；当时，的值为 ． 三、解答题 9．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知． (1)求证：． (2)若，求的长． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 11．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，点D 、E 分别是线段的中点，过点A 作交的延长线于点 F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2024·浙江台州·二模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 13．（2024·浙江杭州·二模）在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求的长． (2)作的平分线与相交与点G，连接，求的长． 14．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 15．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$