专题06 期中复习压轴汇编（十四大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

专题06 期中复习压轴汇编 范围：第七章-第十章 一．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　，D（16）＝　4　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【答案】（1）D（2）＝1， D（16）＝4， （2）①D（a3）＝3， ②D（15）＝3a﹣b+c， ， D（108）＝6a﹣3b+2， 5a﹣3b﹣c﹣2， 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 2．（1）若2m＝8，则m＝　3　；若2n•3n＝36，则n＝　2　； （2）若2x•3x•6x＝364﹣x，求x的值． 【答案】（1）3；2；（2）x＝2． 【解答】解（1）∵2m＝8＝23， ∴m＝3， ∵2n•3n＝36， ∴6n＝62， ∴n＝2， 故答案为：3；2； （2）由题可知，2x•3x•6x＝364﹣x ∴（2×3）x•6x＝（62）4﹣x， ∴62x＝68﹣2x， 即 2x＝8﹣2x， ∴4x＝8， ∴x＝2． 3．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x． ∵36x＝312， ∴6x＝12， ∴x＝2． （2）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 4．阅读下面的材料： 材料一：比较322和411的大小 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2， 所以322＞222，即322＞411」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6， 所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： （1）比较344、433、522的大小： （2）比较8131、2741、961的大小： （3）比较312×510与310×512的大小． 【答案】（1）344＞433＞522； （2）8131＞2741＞961； （3）312×510＜310×512． 【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， 522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， 即344＞433＞522； （2）∵8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123， 961＝（32）61＝3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即8131＞2741＞961； （3）∵312×510＝（3×5）10×32， 310×512＝（3×5）10×52， 又∵32＜52， ∴312×510＜310×512． 二．同底数幂的除法（共1小题） 5．若am＝3，an＝5，求a2m+3n和a3m﹣2n的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵am＝3，an＝5， ∴a2m+3n ＝（am）2×（an）3 ＝32×53 ＝1125； a3m﹣2n ＝（am）3÷（an）2 ＝27÷25 ． 三．单项式乘多项式（共1小题） 6．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　3﹣x　.如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　3﹣x　的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2　； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　9　； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 【答案】（1）①3﹣x，3﹣x，x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2． ③周长是12的长方形的最大面积是9． （2）（6﹣x）（4+2x）的最大值为2×16＝32． 【解答】解：（1）①∵原来长方形的边长分别为x，6﹣x，长方形B的一边长是x， ∴长方形B相邻一边长＝6﹣x﹣3＝3﹣x． ∴阴影部分是一个边长为3﹣x的正方形． ∵图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， ∴x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2． 故答案为：3﹣x，3﹣x，x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2． ②当3＜x＜6时，用类似①的方法进行割补， 可以得到x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 9． （2）解：依题意有（6﹣x）（4+2x）＝2（6﹣x）（2+x），当﹣2＜x＜2时，如图，阴影部分是边长为（2﹣x）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（2﹣x）2＝16﹣（2﹣x）2， 当2＜x＜6时，如图，阴影部分是边长为（x﹣2）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（x﹣2）2＝16﹣（x﹣2）2， 当x＝2时，该长方形为边长是4的正方形， ∴边长是（6﹣x）和（2+x）的长方形的最大面积是16， ∴（6﹣x）（4+2x）的最大值为2×16＝32． 四．多项式乘多项式（共3小题） 7．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 8．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　a2﹣ab+b2　）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3； （3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3． 9．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 五．完全平方公式（共6小题） 10．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 11．（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【解答】解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20． 当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21． 当n＝2时展开式所有系数的和为22． 当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23． 当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24． 当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25． …… ∴当n＝9时展开式所有系数的和为29＝512． 故选：C． 12．如果ab＝2，a+b＝3，那么a2+b2＝　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ab＝2，a+b＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣4＝5． 13．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　﹣220　． 【答案】﹣220． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， …… 依据规律可得到： （a+b）2倒数第三项的系数为1， （a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3， … ∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55， ∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220， 故答案为：﹣220． 14．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为 　40　． 【答案】40． 【解答】解：根据“杨辉三角“，可知， （a+2b）0的第二项系数为0×2， （a+2b）1的第二项系数为1×2， （a+2b）2的第二项系数为2×2， （a+2b）3的第二项系数为3×2， …… （a+2b）20的第二项系数为20×2＝40， 故答案为：40． 15．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 六．完全平方公式的几何背景（共6小题） 16．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 17．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 故选：C． 18．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414． （3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． （4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）， 把a+b＝3，ab＝1代入得： a3+b3＝33﹣3×1×3＝18． ∴9． 19．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为： a2+b2或 （a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14， ∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab ＝53+2×14＝81 ∴a+b＝±9， 又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9． ②∵a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）， 且∴a﹣b＝±5 又∵a＞b＞0， ∴a﹣b＝5， ∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）＝53×9×5＝2385． 20．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　a﹣b　． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　（a﹣b）2　； 【方法2】S阴影＝　（a+b）2﹣4ab　； （3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2的阴影部分的正方形的边长是a﹣b． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝（a﹣b）2； 【方法2】S阴影＝（a+b）2﹣4ab； （3）（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）根据（3）的结论得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 因为m+n＝10，m﹣n＝6， 所以36＝100﹣4mn， 所以mn＝16． 故答案为a﹣b；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab． 21．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝23， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31； （3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29， ∴S329． 七．平方差公式的几何背景（共1小题） 22．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2； （2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）； （3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）原式＝4（1）（1）（1）（1）（1） ＝4（1））（1）（1）（1） ＝4（1）（1）（1） ＝4（1）（1） ＝4（1） ＝4 ＝4． 故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 八．二元一次方程组的解（共5小题） 23．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 【答案】（1）﹣3；（2）． 【解答】解：（1）由题意得： x×1﹣2×（x+1）＝1， 解得：x＝﹣3； （2）， ， ． 所以方程组的解为． 24．甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将x＝1，y＝6代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1， 将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2， 方程组为， ①﹣②得：x＝3， 将x＝3代入②得：y＝4， 则方程组的解为． 25．已知关于x，y的方程组 （1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6， 解得：x＝6﹣2y， 当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2， 方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：，； （2）由题意得：，解得， 把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m； （3）x﹣2y+mx+5＝0， （1+m）x﹣2y＝﹣5， ∴当x＝0时，y＝2.5， 即固定的解为：， （4）， ①+②得：2x﹣6+mx+5＝0， （2+m）x＝1， x， ∵x恰为整数，m也为整数， ∴2+m是1的约数， 2+m＝1或﹣1， m＝﹣1或﹣3． 26．方程组的解满足2x﹣ky＝10（k是常数）， （1）求k的值． （2）直接写出关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程组的解为：， 将代入2x﹣ky＝10得：2+2k＝10， 解得：k＝4； （2）把k＝4代入方程（k﹣1）x+2y＝13得：3x+2y＝13， 即y， 所以关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解为，． 27．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组：． 解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1．③ ③×16，得16x+16y＝16．④ ②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2． ∴原方程组的解是． （1）请你仿照上面的解法解方程组：； （2）请大胆猜测关于x，y的方程组（a≠b）的解是什么？并利用方程组的解加以验证． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）①﹣②，得2x+2y＝2， 即x+y＝1③， ①﹣③×2 020，得x＝﹣1． 把x＝﹣1代入③，得﹣1+y＝1， 解得y＝2． 所以原方程组的解为； （2）猜想：方程组（a≠b）的解为：； 检验：把x＝﹣1，y＝2代入（a+2）x+（a+1）y＝a，得左边＝a，左边＝右边； 把x＝﹣1，y＝2代入（b+2）x+（b+1）y＝b，得左边＝b，左边＝右边． ∴是方程组的解． 九．二元一次方程组的应用（共8小题） 28．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　张，正方形铁片 　3　张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 29．在3月12日植树节活动中，某校组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服（每人一套）．该表是服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲乙两个植树队共75人，其中甲队人数较多，不少于40人，乙队人数较少，但不少于10人，如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装可以节省 　1100　元． （2）甲、乙两队各有多少人？（列方程组解决问题） （3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队．现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵：乙队平均每人需植树4棵：丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请求出所有的抽调方案（要求从每队抽调的人数不少于10人）． 【答案】（1）1100； （2）甲队有40人；乙队有35人； （3）共有两种方案：从甲队抽调13人，从乙队抽调10人；或者从甲队抽调11人，从乙队抽调15人． 【解答】解：（1）买75套所花费为：75×60＝4500（元）， 最多可以节省：5600﹣4500＝1100（元）． 故答案为：1100； （2）甲队不少于40人，乙队不少于10人，设甲队有x人；乙队有y人．根据题意得： ， 解得， 答：甲队有40人；乙队有35人； （3）由题意，得6（a+b）+（40﹣a）+4（35﹣b）＝265， 整理得：b， 因为要求从每队抽调的人数不少于10人且人数为正整数，依题意得： 或． 所以共有两种方案：从甲队抽调13人，从乙队抽调10人；或者从甲队抽调11人，从乙队抽调15人． 30．如图，某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如图所示）．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元． （1）请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？M同学已完成以下若干解答过程，请补全以下方程组并解决上述的问题． 解：设工厂制成运往B地的产品x吨，工厂从A地购买了y吨原料，依题意，得． （2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于65000元，同时满足原料总重量是产品总重量的3倍，求c的值． 【答案】（1）； 这批产品的销售款比原料费和运输费的和多1.8878×106元； 解题过程见解析； （2）c的值为10． 【解答】解：（1）设工厂制成运往B地的产品x吨，工厂从A地购买了y吨原料， 依题意，得：， 解得：， 8000×300﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1.8878×106（元）， 故补全的方程组为：； 这批产品的销售款比原料费和运输费的和多1.8878×106元； （2）设从A地购买的原料为m吨，则送往B地的产品为（20﹣m）吨， 根据题意得：， 解得：， 答：c的值为10． 31．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 【答案】这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 【解答】解：设A处未挂物体时重a克，秤砣种b克， 由图1、图2可得， 解得， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克． 则2.5（x+4）＝26×10， 解得x＝100， 答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 32．如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨． （2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）． 答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元． 33．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即a的值是2.2，b的值是4.2； （2）设小王家6月份用水x吨， 根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116， ∵184＞116， ∴小王家6月份计划用水超过了30吨 ∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184， 解得，x＝40 即小王家6月份用水量40吨． 34．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元？客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台，根据题意，得 ， 解得：， 答：政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为560台和400台． （2）手动型汽车的补贴额为：560×（1+30%）×8×5%＝291.2（万元）； 自动型汽车的补贴额为：400×（1+25%）×9×5%＝225（万元）； ∴291.2+225＝516.2（万元）． 客户购买实际花费：9×（1+22%）﹣9×5%＝10.98﹣0.45＝10.53（万元） 答：政策出台后第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴516.2万元．客户实际需要花10.53万元才能够买一辆自动型的汽车． 35．某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生， 由题意，得 ， 解得：． 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生． （2）共有学生：45×8×4＝1440， 在拥挤的状态下5分钟通过：（120+80）×80%×2×5＝1600， ∵1600＞1440． 建造的这4道门是符合安全规定． 一十．轴对称的性质（共1小题） 36．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 一十一．平移的性质（共2小题） 37．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 【答案】C 【解答】解：∵将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF， ∴BC＝EF＝7，BE＝AD＝2，∠DEF＝∠B＝90°， ∴BH＝BC﹣CH＝7﹣3＝4． ∴． 故选：C． 38．（1）已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB． （2）如图①所示，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC，∠ABC的平分线相交于点E（不与B，D点重合），∠CBN＝110°． （Ⅰ）若∠ADQ＝140°，写出∠BED的度数（直接写出结果即可）； （Ⅱ）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其他条件不变，如图②所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2）（Ⅰ）55°； （Ⅱ）215°m°． 【解答】（1）证明：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEB， ∵CD∥EF， ∴∠DCE＝∠BEF， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCEACB， ∴， ∴EF平分∠DEB； （2）解：（Ⅰ）如图①，过点E作EF∥PQ． ∵∠CBN＝110°，∠ADQ＝140°， ∴∠CBM＝70°，∠ADP＝40°． ∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠EBM＝35°，∠EDP＝20°． ∵EF∥PQ， ∴∠DEF＝∠EDP＝20°． ∵EF∥PQ，MN∥PQ， ∴EF∥MN， ∴∠FEB＝∠EBM＝35°， ∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝20°+35°＝55°； （Ⅱ）如图②，过点E作EF∥PQ． ∵∠CBN＝110°， ∴∠CBM＝70°． ∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠EBM＝35°，∠EDQm°． ∵EF∥PQ， ∴∠DEF＝180°﹣∠EDQ＝180°m°． ∵EF∥PQ，MN∥PQ， ∴EF∥MN， ∴∠FEB＝∠EBM＝35°， ∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝180°m°+35°＝215°m°． 一十二．作图-平移变换（共2小题） 39．如图所示，三角形ABC（记作△ABC）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）点A1，B1，C1的坐标分别为　（0，4）　、　（﹣1，1）　、　（3，1）　； （3）若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，求出P点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图可得：A1（0，4）、B1（﹣1，1）；C1 （3，1）， 故答案为：（0，4）、（﹣1，1）、（3，1）； （3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式得： S△PBC4×|h|＝6，解得|h|＝3， 求出y的值为1或﹣5， 故P点坐标为：（0，1）或（0，﹣5）． 40．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD； （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG． ①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）①45°； ②∠AHF＝90°∠AEC（或2∠AHF﹣∠AEC＝180°）． 【解答】（1）证明：如图1，过点E作直线EN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EN∥CD， ∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN， ∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAE+∠ECD； （2）解：①∵AH平分∠BAE， ∴∠BAH＝∠EAH， ∵HF平分∠DFG， 设∠GFH＝∠DFH＝x， 又CE∥FG， ∴∠ECD＝∠GFD＝2x， 又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°， ∴∠BAH＝∠EAH＝45°﹣x， 如图2，过点H作l∥AB， ∴l∥AB∥CD， ∴∠AHF＝∠BAH+DFH＝45°﹣x+x＝45°； ②∠AHF＝90°∠AEC（或2∠AHF﹣∠AEC＝180°），理由如下： 设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y， ∵HF平分∠CFG， ∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x， 由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y， 过点H作l∥AB， ∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°， 即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°， ∴∠AHF＝90°+（x+y）， ∴∠AHF＝90°∠AEC．（或2∠AHF﹣∠AEC＝180°．） 一十三．旋转的性质（共5小题） 41．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，若∠CAB＝70°，则∠B′AC′的度数是（　　） A．35° B．40° C．50° D．70° 【答案】D 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，∠CAB＝70°， ∴∠B′AC′＝∠CAB＝70°， 故选：D． 42．如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　25　． 【答案】25． 【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图： 在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝10， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∵AD⊥A1B， ∴ADAB＝5， ∴S△A1BA10×5＝25， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝25， 故答案为：25． 43．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°． （1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数． （2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值． （3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】（1）∠ABF＝75°； （2）所有满足条件的t的值为15或60或105或150； （3）所有满足条件的t的值为30或120． 【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°， ∵EF∥CD， ∴∠CDE＝∠E＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°； （2）如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， 当DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°， ∴t＝15； 当DE在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°， ∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC， ∴AP∥DF′， ∴∠F′DP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°， ∴t＝105； ②当BC∥DF时， 当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC， ∴∠FDN＝∠BTN， ∵GH∥MN， ∴∠BTN＝∠ABC＝60°， ∴∠FDN＝60°， 即180°﹣2t°＝60°， ∴t＝60； 当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠FDN＝∠BTM， ∵GH∥MN， ∴∠BTN＝∠ABC＝60°， ∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°， ∴∠NDF＝120°， 即2t°﹣180°＝120°， ∴t＝150， 综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150； （3）由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， ①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， 当DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°， ∴t＝30， 当DE′在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°， ∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC， ∴AP∥DF′， ∴∠F′DP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合题意，舍去）， ②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， 当DF在MN上方时，BC∥DF，如图， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴CI⊥DF， ∴∠FDN+∠MIC＝90°， 即180°﹣2t°+t°+30°＝90°， ∴t＝120， ∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去； 当DF在MN下方时，如图， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠MIC＝∠NDF， ∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°， 即2t°﹣180°＝t°﹣60°， ∴t＝120， 综上所述：所有满足条件的t的值为30或120． 44．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） （1）a＝　5　，b＝　1　； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣1＝0， ∴a＝5，b＝1， 故答案为：5，1； （2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． 如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∵PQ∥MN， ∴∠ABQ+∠BAM＝180°， ∴∠OBQ+∠OAM＝90°， 又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°， ∴t°+5t°＝90°， ∴t＝15（s）； （3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°， 分两种情况： ①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°， ∵∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″， 此时，45°﹣t°＝5t﹣45°， 解得t＝15； ②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°， ∵∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t， 解得t＝22.5； 综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 45．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　75°　； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【答案】（1）75°； （2）①3或21秒；②25秒． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）①如图1，此时，BD∥PC成立， ∵PC∥BD，∠DBP＝90°， ∴∠CPN＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APN＝30°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为3秒； 如图2，PC∥BD， ∵PC∥BD，∠PBD＝90°， ∴∠CPB＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APM＝30°， ∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为21秒， 综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， ∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°， ∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°， 当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°， 解得：t＝25， ∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒． 一十四．作图-旋转变换（共1小题） 46．为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了A，B两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，AB⊥MN．连接AB，灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP后立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为t秒． 【初步应用】 ①当t＝40时，两条光线夹角（锐角）的度数为 　80°　； ②当t＝70时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当0＜t＜30时，射线BD与射线AC所在直线交于点E，请画出图形并说明∠AEB＝2∠QAC． 【拓展探究】 当射线AC首次从AQ转至AP的过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD垂直，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】初步应用：①80°； ②两条光线夹角的度数为80°； 推理验证：画图证明见解析； 拓展探究：存在，当t为45，67.5，112.5，135时，射线AC与射线BD互相垂直． 【解答】解：【初步应用】①当t＝40时，∠QAC＝40°，∠MBD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣[120°﹣90°﹣（90°﹣40°）]＝100°， ∴两条光线夹角（锐角）的度数180°﹣100°＝80°； 故答案为：80°； ②当t＝70时，∠QAC＝70°， ∠NBD＝3°×70﹣180°＝210°﹣180°＝30°， 设AC与BD交于点O， 过点O作OS∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴OS∥MN， ∴∠SOB＝∠DBN＝30°， 同理：∠SOA＝∠QAC＝70°， ∴∠AOB＝∠AOS+∠BOS＝70°+30°＝100°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣100°＝80°， ∴两条光线夹角的度数为80°． 【推理验证】画出图形，如图2， 证明：过点E作EF∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴EF∥MN， ∴∠FEA＝∠QAC＝t°， 同理：∠FEB＝∠MBE＝3t°， ∴∠AEB＝∠FEB﹣∠FEA＝3t°﹣t°＝2t°， ∴∠AEB＝2∠QAC； 【拓展探究】当0≤t＜60时，如图3.1 t+180﹣3t＝90， t＝45； 当60≤t＜90时，如图3.2， t+3t﹣180＝90， t＝67.5， 当90≤t＜120时， 180﹣t+360﹣3t＝90， t＝112.5， 当120≤t≤180时， 180﹣t+3t﹣360＝90， t＝135， 综上所述：当t为45，67.5，112.5，135时，射线AC与射线BD互相垂直． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/21 11:25:51；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期中复习压轴汇编 范围：第七章-第十章 一．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 2．（1）若2m＝8，则m＝　 　；若2n•3n＝36，则n＝　 　； （2）若2x•3x•6x＝364﹣x，求x的值． 3．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 4．阅读下面的材料： 材料一：比较322和411的大小 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2， 所以322＞222，即322＞411」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6， 所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： （1）比较344、433、522的大小： （2）比较8131、2741、961的大小： （3）比较312×510与310×512的大小． 二．同底数幂的除法（共1小题） 5．若am＝3，an＝5，求a2m+3n和a3m﹣2n的值． 三．单项式乘多项式（共1小题） 6．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　 　.如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　 　的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　 　； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　 　； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 四．多项式乘多项式（共3小题） 7．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 8．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　 　）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 9．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 五．完全平方公式（共6小题） 10．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 11．（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示： （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 12．如果ab＝2，a+b＝3，那么a2+b2＝　 　． 13．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　． 14．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为 　 　． 15．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　，DF＝　 　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 六．完全平方公式的几何背景（共6小题） 16．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 17．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 18．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 19．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 20．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　 　； 【方法2】S阴影＝　 　； （3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值． 21．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 七．平方差公式的几何背景（共1小题） 22．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　 　（写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　 　． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 八．二元一次方程组的解（共5小题） 23．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 24． 甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？ 25．已知关于x，y的方程组 （1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 26．方程组的解满足2x﹣ky＝10（k是常数）， （1）求k的值． （2）直接写出关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解 27．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组：． 解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1．③ ③×16，得16x+16y＝16．④ ②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2． ∴原方程组的解是． （1）请你仿照上面的解法解方程组：； （2）请大胆猜测关于x，y的方程组（a≠b）的解是什么？并利用方程组的解加以验证． 九．二元一次方程组的应用（共8小题） 28．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　张，正方形铁片 　 　张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 29．在3月12日植树节活动中，某校组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服（每人一套）．该表是服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲乙两个植树队共75人，其中甲队人数较多，不少于40人，乙队人数较少，但不少于10人，如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装可以节省 　 　元． （2）甲、乙两队各有多少人？（列方程组解决问题） （3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队．现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵：乙队平均每人需植树4棵：丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请求出所有的抽调方案（要求从每队抽调的人数不少于10人）． 30．如图，某化工厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如图所示）．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元． （1）请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？M同学已完成以下若干解答过程，请补全以下方程组并解决上述的问题． 解：设工厂制成运往B地的产品x吨，工厂从A地购买了y吨原料，依题意，得． （2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于65000元，同时满足原料总重量是产品总重量的3倍，求c的值． 31．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 32．如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 33．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 34．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%． （1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ （2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元？客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车？ 35．某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 一十．轴对称的性质（共1小题） 36．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 一十一．平移的性质（共2小题） 37．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 38．（1）已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB． （2）如图①所示，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC，∠ABC的平分线相交于点E（不与B，D点重合），∠CBN＝110°． （Ⅰ）若∠ADQ＝140°，写出∠BED的度数（直接写出结果即可）； （Ⅱ）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其他条件不变，如图②所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）． 一十二．作图-平移变换（共2小题） 39．如图所示，三角形ABC（记作△ABC）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1； （2）点A1，B1，C1的坐标分别为　 　、　 　、　 　； （3）若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，求出P点的坐标． 40．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间． （1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD； （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG． ①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系． 一十三．旋转的性质（共5小题） 41．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，若∠CAB＝70°，则∠B′AC′的度数是（　　） A．35° B．40° C．50° D．70° 42．如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 　． 43．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°． （1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数． （2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值． （3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值． 44．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 45．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 一十四．作图-旋转变换（共1小题） 46．为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了A，B两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，AB⊥MN．连接AB，灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP后立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为t秒． 【初步应用】 ①当t＝40时，两条光线夹角（锐角）的度数为 　 　； ②当t＝70时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当0＜t＜30时，射线BD与射线AC所在直线交于点E，请画出图形并说明∠AEB＝2∠QAC． 【拓展探究】 当射线AC首次从AQ转至AP的过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD垂直，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$