专题12 轴对称之将军饮马模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题12 轴对称之将军饮马模型全攻略 【知识点梳理】 一、两点一线 1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段. 构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示： 3. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？ 构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示： 二、一定两动 1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小. 【模型精讲】 例1．（两点一线）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点E关于对称的点F，连接，与交于点M，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点F，连接，与交于点M， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵点E、点F关于对称， ∴F在上， ∴， ∴， 即最小，且为， ∵， ∴，即点F为中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到取得最小值时点M的位置是解题的关键． 例2．（两点两线）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 例3．（轨迹问题）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 例4．（综合应用）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 变式1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 变式2．如图，等边△中，于点，于点，，点，分别是线段，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短距离问题，点到直线的最短距离，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意找到最短距离，并掌握等边三角形的性质，是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得出，又由直线外一点到直线上的点的距离中垂线段最短，得出最短距离，再根据等边三角形和含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ，， ， ，垂直平分， ， ， 又由直线外一点到直线上的点的距离中垂线段最短， 可得当时，最短，如图，此时为， ∴的最小值为， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式3．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． ． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 变式4．如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【课后练习】 1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值． 【详解】解：由作图知，平分， 过点D作于E，如图， ∵， ∴； ∵， ∴的最小值为3， 故选：B． 2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长． 【详解】解：如图，作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF=C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG=∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ∴BC=BC'， ∵AC=BC=10，∠ACB=120°， ∴∠ABC=30°，BC'=10， 在Rt△BFC'中，C'F=BC'=10×=5， ∴CE+EF的最小值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、通过证明三角形全等找到对称点的准确位置是解题的关键． 3．如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得， 当CD⊥OM时，CD取最小值， ∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM， ∴AD=AE=3， ∵BC∥OM， ∴∠DOA=∠B， ∵A为OB的中点， ∴AB=AO， 在△ABC与△ADO中， ∴△ABC≌△AOD（ASA）， ∴AC=AD=3， ∴CD=AC+AD=3+3=6， 故选：A． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3． 4．如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图：连接，交于点M， 是等腰三角形，点D是边的中点， ，， 是线段的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A，， 此时的周长最小， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 5．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C．3.5 D．2.5 【答案】B 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 二、填空题 6．如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】21 【分析】连接，根据折叠的性质，得，，结合已知得到，根据，得到，故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，结合的周长为解答即可． 本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：连接，根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的周长为， ∴的周长最小值为． 故答案为：21． 7．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为的长． 【详解】解：连接． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 8．如图，的周长为30，，作边的垂直平分线分别交，于点．连接，若点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短距离问题，根据是的垂直平分线，即可得出，当点M与点F重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， 如图所示，当点M与点F重合时，， 此时的周长最小， ∵，的周长为30， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：18． 9．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 10．如图，等腰三角形的面积为12，底边长为6，边的垂直平分线分别交于点M，N．若D为的中点，P为线段上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，根据的周长为，DB为定值，得到当最小时，的周长最小，根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三线合一结合等腰三角形的面积求出的长，进而求出的周长的最小值即可。 【详解】解：的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． 连接，如图． ∵为的垂直平分线， ∴， ∴． 当C，P，D三点共线时，，此时的值最小． ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：7. 11．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在． 12．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论． 【详解】解：连接AQ，过点D作于H． ∵面积为18，BC=6， ∴， ∴， ∵MN垂直平分线段AB， ∴， ∴， ∴当AQ的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小， ∵， ∴AQ=DH=6， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键． 14．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 15．在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 16．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 轴对称之将军饮马模型全攻略 【知识点梳理】 一、两点一线 1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段. 构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示： 3. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？ 构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示： 二、一定两动 1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小. 【模型精讲】 例1．（两点一线）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（两点两线）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 例3．（轨迹问题）如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 例4．（综合应用）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 变式1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 变式2．如图，等边△中，于点，于点，，点，分别是线段，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 变式3．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 变式4．如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【课后练习】 1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ACB交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C．3.5 D．2.5 二、填空题 6．如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 7．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 8．如图，的周长为30，，作边的垂直平分线分别交，于点．连接，若点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 ． 9．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 10．如图，等腰三角形的面积为12，底边长为6，边的垂直平分线分别交于点M，N．若D为的中点，P为线段上一动点，则周长的最小值是 ． 11．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 12．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 13．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 14．如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 三、解答题 15．在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 16．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$