专题03 平行四边形（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，湖北专用）

专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质 题型02平行四边形的判定 题型03矩形的性质与判定 题型04菱形的性质与判定 题型05正方形的性质与判定 ( 题型01 ) 平行四边形的性质 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的值等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，进而可证和是等腰三角形，再经过等边对等角的性质进行边转化即可得到解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴和是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得出结论，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在中，平分交于点，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由四边形是平行四边形，得，，，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分交于点， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，中，点是对角线的交点，过点的直线分别交于点，若的面积为2，的面积为4，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形是中心对称图形，得出，，求出，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，点是对角线的交点， 四边形是中心对称图形，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平行四边形中，，于，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平行四边形的性质可得，结合，可知，然后根据“直角三角形两锐角互余”求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，点F是上一点，，，点E是的中点，平分，，则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长、，交于点G，由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可证，可得，再由角平分线的定义可得，从而可得，根据等腰三角形的性质与判定可得，再根据平行四边形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：延长、，交于点G， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、平行四边形的性质、勾股定理及角平分线的定义，正确构建辅助线，运用数形结合思想是解题的关键． 8．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）在中，，平分交于点E，若点E分为两部分，则的长为（   ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及等角对等边，平分交于点E，所以，因为四边形是平行四边形，所以，可证得，点E分为两部分，分两种情况即可求解. 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图， ∵点E分为两部分，即 ∴ 如图， ∵点E分为两部分，即 ∴ 即的长为1或9 故选：B． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）在中，与的角平分线交于边上一点，若，，则的周长是（    ） A．39 B．45 C．54 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据题意可得，勾股定理求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，，， ， 平分与 是直角三角形 在中，， ， 的周长为． 故选：B． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，已知，，若平分交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质求解是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点是内一点，且，，．若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于F，先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，从而求得，进一步求得，再证明，得出，进而求得，然后根据平行四边形的性质求出周长即可． 【详解】解：延长交于F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．作恰当的辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在平行四边形中，，，则平行四边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理；已知条件可得是等边三角形，过点作于点．勾股定理求得，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点．   ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 平行四边形的面积． 13．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线． 先判断出是线段的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由平行四边形的周长为，即可得出答案． 【详解】四边形平行四边形， ，， ， 是线段的中垂线， ， ， 的周长， 又平行四边形的周长为， ∴， 故答案为：6． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，则的面积 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，然后根据垂直的定义可得，再利用勾股定理即可求出，得到，最后利用三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵在中， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴． 故答案为：12． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 16．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 17．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，中，为上的两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，进而得，最后利用可证明，即可求证，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，； （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， 故答案为：． ( 题型02 ) 平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）在四边形中，对角线与相交于点，给出下列五组条件，能判定此四边形是平行四边形的有（    ）组． （1），；（2），；（3），；（4），；（5），． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定．根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：（1），，不能判定此四边形是平行四边形； （2），，能判定此四边形是平行四边形； （3），，能判定此四边形是平行四边形； （4），，能判定此四边形是平行四边形； （5），，能判定此四边形是平行四边形． 综上，有4组能判定此四边形是平行四边形． 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的判定定理．平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理，分别进行分析即可． 【详解】解：A．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意． 故选：C 4．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是： （选出所有正确的答案） 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：如图， ①四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故①符合题意； ②四边形是平行四边形， ，, , ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故②符合题意； 由及现有条件无法推导出四边形是平行四边形， 故不符合题意； ④四边形是平行四边形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故④符合题意； 故答案为：①②④ 5．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键． 可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F分别在边上，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定．只要证明，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)若平分交于点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义得出，由平行线的判定得出，结合即可得证． 【详解】（1）解：，， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 8．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，由此即可求证； （2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，且四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． ( 题型03 ) 矩形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由平行线的性质和对折的性质证明是等边三角形，在直角三角形中，求得，从而求得，进而得到． 【详解】∵矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处， ∴，，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】考查了图形的翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含30度直角三角形的性质，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过作于，连接，证明，根据，得出，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过作于，连接，   平分， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于 ．    【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长等于6． 故答案为：6． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，．点为的中点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，连接并延长交的延长线于，过点作于，在中，勾股定理求得，进而可得，证明，进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交的延长线于，过点作于，如下图所示： ，，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， ， ，， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）在矩形中，对角线相交于点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等． 根据矩形的性质得到，进而根据判定是等边三角形即可求出． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：3． 6．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，M为边上一点，连接，过点D作于E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，先根据矩形性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，进而得到，设，则，，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，由得， 解得：（舍去负值）， ， 故答案为：2． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知在中，，是边上的中线，，则的长度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据矩形的性质可得是等边三角形，则，证明，即可求出，从而判断①；证明，，则，从而，即可判断②；根据勾股定理求出，则，即可判断④；过点H作，则，求出即可判断③． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点H作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长，交延长线于点E． (1)求证： (2)连接．若，则当 时，四边形是矩形； 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的证明方法是解题的关键． （1）通过平行四边形得到，继而得到内错角相等，结合，即可证明； （2）先通过三角形内角和定理证明出，继而等量代换得到，再证明四边形为平行四边形，即可证明为矩形． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴ ∵点O是的中点， ∴， ∴； （2）解：若，则当时，四边形是矩形，理由如下： 连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 故答案为：80． 11．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)若，当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得，，由中点的定义，得到，证明，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）当满足时，四边形是矩形，理由：先证明四边形为平行四边形，再利用等腰三角形三线合一得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当满足：时，四边形是矩形， 理由如下： ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的三线合一性质等知识点．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定： （1）利用证得，进而可得，进而可求证结论； （2）根据矩形的判定定理，增加一个条件即可； 熟练掌握平行四边形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）添加的条件为：， 由（1）得：四边形是平行四边形， 是矩形． 13．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于． (1)求证：； (2)若，，连接，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，在证，利用证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质和全等三角形的性质证和是等腰直角三角形，得出、，在证B、E、F三点共线 ，即可解答． 【详解】（1）如图，设与交于点，则， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，   ， 在和中 ， ； （2）如图所示，连接， 由（1）可知： ， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， 而由（1）可知， 是等腰直角三角形， ，， ， ， B、E、F三点共线 ， ． ( 题型04 ) 菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．菱形四条边相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查逆命题的判定，根据菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的定义，实数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、逆命题为：四条边相等的四边形是菱形，成立，符合题意； B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，不成立，可能相等也可能互为相反数，不符合题意； C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，由菱形的性质和直角三角形的性质，得到，求出的长度．即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：； 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，相交于O，且，若．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，进而得到，设，由勾股定理得，解方程推出，则． 【详解】解：∵在菱形中，相交于O， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得；， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，菱形的周长为20，对角线，于点E，则的长为（    ） A． B．8 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，利用等面积法求解是解答的关键． 先由菱形的性质得四个边长，对角线垂直且平分，再由勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求得的长． 【详解】菱形的周长为20，对角线， ，，，， 在中 ， ， ， ， 即， ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（    ） A．7.5 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握题中重叠部分为菱形． 要使重叠部分的四边形面积最大，则重叠部分的边长就要最大，由题意可得重叠部分的四边形是菱形，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出边长，根据割补法即可得出面积． 【详解】解：如图，重叠部分为菱形，要使面积最大，则边长应最大， ，， ， ， ∴在中， 即， 解得：， ， ， ， ， ∴重叠部分的四边形面积最大为：15． 故选：B． 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键． 根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】 解：如图所示：和交于点O 四边形是菱形，， ，，， ， ， 在中根据勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，菱形的对角线相交于点，，点为边上一动点，且不与重合，过点作于，交于，连接，则长的最小值等于 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得时，有最小值，由面积法可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∴, ∵,, ∴, 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当时时，有最小值， 此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 【详解】证明：四边形是平行四边形, , , 是的中点， , 在和中 , , , 四边形是平行四边形， , 四边形是菱形； 9．（23-24八年级下·湖北随州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到，结合中点性质得到，根据得到四边形为平行四边形，结合垂线性质，即可得出结论； （2）由菱形的性质得到，，结合中点性质得到，中由勾股定理得到，由矩形的性质得到，，得到，中由勾股定理得到． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握菱形性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，当对角线满足什么条件时四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定． （1）根据平行四边形的性质得到，，推出，利用证明即可； （2）当时，四边形是菱形．证明得出，，得到四边形是平行四边形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可作出判断． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，， ， 又， ， （2）解：当时，四边形是菱形，理由： ， ，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，即， ∴四边形是菱形． 11．（23-24九年级下·湖北鄂州·期中）如图，，点D，C分别在射线上，，垂足为点O，且．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】此题考查菱形的判定，关键是证四边形为平行四边形解答． 先证四边形为平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形． 12．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交交于，如图所示，由菱形性质及三角形中位线的判定与性质即可得证； （2）由平行四边形的判定与性质得到，再依据菱形性质，在中，根据勾股定理求出长即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，交交于，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∵分别是边的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，，则由勾股定理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的性质、垂直判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理， （1）根据菱形的性质得到，，然后得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据菱形的性质得到，然后求出，在中，设，利用勾股定理求出，，然后利用菱形的面积求解即可． 【详解】（1）四边形为菱形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）四边形为菱形， ， ，点是中点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，，，的平分线分别交于C，交于D，连接． (1)填空：四边形是________形；并证明． (2)过点D作的平行线交于F，的平分线交于G，交于H，连接，如图2．若，，求的长和的面积． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)， 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据平行线和角平分的定义证明，进而得到，根据菱形的判定求证即可； （2）根据菱形的性质，结合勾股定理求的长，证四边形是平行四边形，连接，证四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形 （2）在菱形中，，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)当与满足________时，四边形是菱形，并证明你的结论； 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，三角形中位线定理． （1）根据平行四边形的性质，结合三角形中位线定理求证即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，补充条件并证明即可． 【详解】（1）∵在平行四边形中，F是对角线的交点， ∴， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 即 （2）当时，四边形是菱形，证明如下： ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ( 题型0 5 ) 正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四个结论：①；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】连接交于O，连接，先证，可得，再证，得到四边形是矩形，可得到，即可判断①；由可得，从而得出，即可判断②；先证明，可得是等腰直角三角形，得出，从而可得四边形是正方形，即可判断③；连接，在中，，求得，得到，从而得出，解得，即可求解④． 【详解】解：连接交于O，连接， ∵正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵点G为的中点，，正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故③正确； 连接， ∵正方形， ∴， 在中，， 解之得：， ∴； ∵ ∴， 解之得：， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号为． 故选C 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质及判定，二次根式的乘除混合运算，解决本题的关键是熟练掌握四边形的有关性质． 2．（23-24九年级下·湖北孝感·期中）如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，过点M作于N，则是等腰直角三角，则，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点M作于N，则是等腰直角三角， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的长为， 故选：A 3．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】过C作轴于E，轴于H，根据矩形的性质得到，，，求得，，得到，过D作于F，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过C作轴于E，轴于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过D作于F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠在折痕上，折痕为，点B在上的对应点为H，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，正方形的性质，折叠的性质等知识点，连接,由折叠的性质得到,,由正方形的性质得到,判定是等边三角形，得到,即可求出的度数，熟练掌握其性质并能灵活判定出是等边三角形是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接,由折叠的性质得到：, 四边形是正方形， ,, , 是等边三角形， , , 故答案为：. 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为，，平分交的延长线于，交于．当为的中点时，的长是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，连接交于点，连接， 由正方形的性质可得，，，即得，，根据等腰三角形的性质可得，，，即可得，再推出可得，进而由得到，进而利用勾股定理可得，得到，由四边形是矩形得到，，，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接交于点，连接， ∵正方形的边长为，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性在，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图所示，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动．当时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的运用，解题的关键是掌握其判定和性质定理； 由于B的坐标为，轴，轴，至此可得四边形是正方形； 根据正方形的性质可知，，由于点D为线段的中点，点P从点A出发，在线段、上沿运动，则可得本题有两种情况； ①当点P在上时，②当点P在上时，根据题意可证出两种情况之下的三角形全等，结合全等三角形的性质可得答案，至此可得本题的答案． 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴， ∴∴四边形是正方形， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 当点P在上时， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当点P在上时， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：或． 7．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，作交延长线于， 作于，可得四边形为矩形，进而可证，得到，，即得四边形为正方形，得到，即可得，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作交延长线于， 作于， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，过点A作，交的延长线于点F，由题意可证，可得，，则可证四边形是正方形，进而即可求，熟练运用全等三角形的判定和性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】过点A作，交的延长线于点F， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解 【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴的最小值为的长度， 在中，，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点三点共线，且①______； ②线段之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，当点在边上某一位置时（点不与点重合），点恰好落在折痕上，此时交于点，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形是正方形，G为线段上一点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出， （2）根据全等三角形的性质可得，，最后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）得， ，， ， ． 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，为对角线，，，E、F分别是边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系定理；添加辅助线，构造中位线，得出线段之间的数量关系是解题的关键．取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接、， ∵E、H分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， 在中，，即， 当点H在上时，， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，连接交于点，连接，，易得是的中位线，是的中位线，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接交于点，连接，， ∵平行四边形， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故选B． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，点是中点，再得出是的中位线，即可求解，掌握相关知识定理是解题的关键． 【详解】解：延长，交于点，如图： 在和中， ， ∴， 又∵， ∴，， ∴点是中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】作于M，作于点N，连接，当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大．设菱形的边长为2，求出，，，证明四边形是平行四边形，求出，进而可求出的最大值． 【详解】解：作于M，作于点N，连接， ∵， ∴当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大． 设菱形的边长为2， ∵和是菱形外的两个等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， 同理可求：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最大值为∶ ． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．（23-24八年级上·湖北随州·期中）在四边形中，已知，，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，四边形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键； 在四边形中，构造等边，连接，根据等边三角形的性质，，，进而得到，证明四边形为平行四边形，进而求得的度数，进而求解； 【详解】解：在四边形中，构造等边，连接， 时等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为： 6．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，先求解，求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过作 ，过B作， 由题意可得：四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 【答案】13 【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线定理可得，，，，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵D、E、F、G分别是、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：13． 8．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，过A作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：3． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，如果，，那么 ． 【答案】2 【分析】过点D作，交于点E，根据平行四边形的判定与性质可得，再由平行线的性质可得，从而可证是等边三角形，即可求解． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理证得是等边三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，连接，由，得，因为为边的中点，所以，则，再证明，则，推导出，即可得解，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为边的中点， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为9， 故答案为：9． 11．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点为中点，折叠后，的对应边经过点，点的对应点为点．若，，则 ． 【答案】 【分析】利用折叠的性质和矩形的性质进行边的等量代换得出，再利用勾股定理列式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 12．（23-24九年级上·湖北随州·期中）如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则 ；的最小值为 ． 【答案】 1 4 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：1，4．, 13．（23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，在矩形中，于点E，交于F，．下列说法： ①；②；③已知，则；④若，则．其中一定正确的结论有 （填序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．证明，判断①；证明，判断②；由，不妨设，，求出、，即可判读③；利用等面积法结合勾股定理可判断④． 【详解】解：连接，如图， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ，， ， ，故①正确， ， ， ，， ， ，故②正确， ，不妨设，， ，， ， ，故③错误， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 14．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知，在四边形中，，，连、，如图1． (1)求的度数； (2)以为对角线，为边作，如图2， ①若，，试求与的长； ②猜想的度数是否变化，若不变，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①， ②不变， 【分析】（1）延长至F，使，连接，证明，得，，进而推出是等腰直角三角形，即可得到，即可由求解； （2）①延长至F，使，连接，，交于点G，延长交于H，由平行四边形的性质可得，推出，再证明，可得，，进而，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可； ②由①，，结合平角的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长至F，使，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）①解：如图，延长至F，使，连接，，交于点G，延长交于H， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 由（1）知：，是等腰直角三角形，， ， ， 又由（1）知，， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， 设，则， 在和中， 由勾股定理得，即， 解得：，（舍去负值） ， ，； ②不变，，理由如下： 由①知，，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形和熟练掌握相关性质定理． 15．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）问题探究：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． 如图①，两条长度相等的线段和相交于点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明. 如图①，作且，则四边形是 （填四边形的形状）， ∴； ∵，， ∴是 （填的形状）， ∴. 当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）； 当时，三点在同一直线上，此时，， ∴． 问题解决： 如图②，若中，，点，点分别在上，交于点，，，，，求线段的长； 拓展应用： 如图③，中，，分别在上，交于点，若，，，，求长． 【答案】问题探究：平行四边形，等边三角形，；问题解决：；拓展应用： 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形 （1）通过平移，将三条不共端点的线段平移到共端点，再根据三角形三边关系即可求得； （2）类比（1）中的方法，作且，连接可求得是等边三角形，在中，由勾股定理得，； （3）作且，连接，过作于，可求得是等边三角形，是等腰直角三角形，在中，由勾股定理求长. 【详解】问题探究：如图①，作且，则四边形是平行四边形（填四边形的形状）， ∴； ∵，， ∴是等边三角形（填的形状）， ∴. 当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）； 当时，三点在同一直线上，此时，， ∴． 故答案为：①平行四边形，②等边三角形，③＞； 方法迁移：作且，连接 ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴； 拓展应用： 作且，连接，过作于， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 又 ∴， ∴是等边三角形， ∴ 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 16．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）（1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则 ， ， 又， 为等边三角形， ， ，即． 请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： （2）类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，，．三条中线的交点为．若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于 (请直接写出答案)． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）过作，过作，两直线交于，连接，过点B作，垂足为，证明直角三角形，由勾股定理可得的长，再由勾股定理得的长，根据等腰三角形三线合一求出，根据四边形是平行四边形可得答案； （3）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形知以的长度为三边长的三角形的面积等于的面积的，即可获得答案． 【详解】（1）证明：过点作且使，连接， ∴四边形为平行四边形，则， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为：，，； （2）解：过作，过作，两直线交于，连接，过点B作，垂足为    则四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴有勾股定理可得 ∴ 又∵， ∴， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）如下图，平移到，可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即为的中点， 又∵，为的中点， ∴为的中点， ∴为各边中线的交点， ∴的面积为面积的， 连接，可知与在一条直线上， ∴的面积是面积的， ， ∵的面积为3， ∴，则 ∴， ∴的面积是， ∴以的长度为三边长的三角形的面积等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，结合题意正确作出辅助线是解题关键． 17．（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形． (1)如图1，当为等边三角形时， ①填空： ； ②证明：． (2)如图2，当为直角三角形，时，证明：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识 ： （1）①证明是的垂直平分线，根据是等边三角形可得，由是等腰直角三角形得，可得结论；②连接，证明，得，证出，可得结论； （2）取的中点，连接设交于点，交于点，得出垂直平分垂直平分证明四边形是平行四边形，得出由均为等腰直角三角形再证明可得出结论 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴ 又是等腰直角三角形， ∴ ∴垂直平分， ∴ ∵是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故答案为：； ②连接如图， ∵是等边三角形， ∴ ∵均为等腰直角三角形，且 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）证明：取的中点，连接设交于点，交于点，如图， ，为的中点， ∴ ∵ ∴垂直平分垂直平分 ∴为的中点，为的中点， ∵为的中点， ∴分别是的中位线， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 18．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，如图所示，由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理证得，进而由全等性质得到，最后根据三角形中位线的判定与性质即可得证；②根据①中得到的三角形中位线及三角形全等，等量代换确定、，根据得到，数形结合即可得到答案； （2）过作，如图所示，由等腰三角形三线合一及勾股定理求出的相关边长，利用勾股定理求出，再由三角形中位线性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： 和是等边三角形， ， 点为线段上任一点， ，则， 在和中， ， ， 为中点，点分别为的中点， 是的中位线；是的中位线； ，即； ②由①知是的中位线；是的中位线； ， ， ， ， ， 由①知，则，即， ， ，则； （2）解：过作，如图所示： 是等边三角形， 由三线合一可得是边上的中线， ， 在中，，由勾股定理可得， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 由（1）知． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及等边三角形性质、手拉手模型证全等、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形三线合一性、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用求证是解决问题的关键． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． (1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． (2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②存在， (2)，证明见解析 【分析】（1）①证出．，则可得出结论； ②作点D关于点O的对称点K，连接，证明，得出．则可得出结论； （2）连接，取点D关于y轴的对称点M，连接．证明，得出．，，从而得到为等腰直角三角形．再证明，则可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②存在． 证明：如图，作点D关于点O的对称点K，连接， ∴，， ∴， ∴． ∵点D关于点P的对称点为Q， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴，． ∵ ∴ ∵点P在x负半轴上， ∴， ∴存在这样的点，使得对于任意的点D，总有成立． （2）解： 证明连接，取点D关于y轴的对称点M，连接． 由C为的中点， ∴，， ∴和都为等腰直角三角形． 又， ∴，， ∴， ∴．，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵． ∴． 由点D与点M关于y轴对称， ∴，，， ∴； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 20．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）（1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性． （2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握矩形的性质，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质，勾股定理即可证明结论； （2）分别过点作的垂线，垂足分别为，利用勾股定理得到，，即可证明结论； （3）延长到，使，连接，得到四边形是平行四边形，由（2）可知：，即可得出，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ，， ； （2）在中，小明的发现还成立，即：， 理由如下： 如图：分别过点作的垂线，垂足分别为， 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 同理，在直角三角形中，由勾股定理得： ， ； （3）如图，延长到，使，连接， ，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知：， ， ． 21．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论； （2）由菱形的性质可得,，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，计算出的长，最后再由勾股定理计算出AE的长即可． 【详解】（1）证明: ∵四边形是菱形, ∴且, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形, ∴,, ∵, ∴, ∴, ，即， ， ． 22．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可得证； （2）证明30度直角三角形的性质可得，由勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，．    四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形， ． ． 又   设，则． ． 解得（负值舍去）． ， 又四边形是菱形 四边形的周长等于4． 23．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）在湘教版八年级下册数学教材第66页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直 【结论运用】    (1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 ； (2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接．求证：； (3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则 度．（直接写出答案） 【答案】(1)96 (2)见解析 (3)27 【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理求得，然后按照菱形面积公式求解即可； （2）连接，交于，根据平行四边形的性质和菱形的性质易知，，垂直平分线段，可推导四边形是平行四边形，，即可证明； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，再求得，然后结合三角形外角的定义和性质求得的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：96； （2）证明：如图②，连接，交于，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，垂直平分线段， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （3）∵四边形菱形，四边形菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 25．（23-24九年级上·湖北宜昌·期中）正方形 ，点 E、F 在、延长线上，且 ，与延长线交于点 G． (1)如图 1，求证 ； (2)如图 2，点 M 是延长线上一点，，的平分线交于点 N，连接．试探究、、三条线段的数量关系，并证明； (3)如图 3，E 为上一点，，F 是的中点，G 为上一动点，以为边在正方形内作等边，若，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是正方形得，，则，而，即可证明，得，所以，则，所以； （2）连接，作交于点，令与交于点，先证明，，再证明，则，即可证明，则，所以，于是证明，得，而，所以； （3）过点作于，连接，，证明为等边三角形，再证，可知点的轨迹在过点垂直于的直线是上，再结合含的直角三角形的性质，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：， 证明：如图，连接，作交于点，令与交于点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）在正方形中，， ∵，， ∴，则， 过点作于，连接，， 则，，， ∵点为的中点， ∴，则， ∴为等边三角形，则，，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在过点垂直于的直线是上， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，，则，， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含直角三角形的性质、同角或等角的余角相等、勾股定理、等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 26．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O．． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若正方形的边长为，，小豪将正方形沿线段，剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个正方形．则该正方形的边长为多少？图3中阴影部分的面积为多少？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)四边形是正方形．理由见详解 (2)正方形的边长为，阴影部分的面积为 【分析】（1）先证明全等，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形． （2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出和的长，所的面积减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积．再根据即可得出新正方形的边长． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 全等， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵由（1）知，四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴新拼接成一个正方形的边长为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用． 27．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． (1)若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． (2)若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①通过证明，求出，即可求点的坐标； ②过点作交轴于点，可证明，连接，可证明，设，则，，在中由勾股定理求出，即可求； （2）在中，求出，，再由，可得，连接，，证明，分别得到，，则，再证明，可求，，推导出，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出． 【详解】（1）①， ， ， ， ， ， ， ， , ， ； ②如图2，过点作交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， 连接， ， ， 又， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ； （2）为的中点，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 连接，， 是的中点，是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01平行四边形的性质 题型02平行四边形的判定 题型03矩形的性质与判定 题型04菱形的性质与判定 题型05正方形的性质与判定 ( 题型01 ) 平行四边形的性质 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则的值等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在中，平分交于点，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（    ）    A．12 B．16 C．24 D．36 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，中，点是对角线的交点，过点的直线分别交于点，若的面积为2，的面积为4，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 6．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平行四边形中，，于，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，点F是上一点，，，点E是的中点，平分，，则的面积是（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）在中，，平分交于点E，若点E分为两部分，则的长为（   ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或12 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）在中，与的角平分线交于边上一点，若，，则的周长是（    ） A．39 B．45 C．54 D．63 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，已知，，若平分交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点是内一点，且，，．若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在平行四边形中，，，则平行四边形的面积等于 ． 13．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，平行四边形的周长为，与相交于点，交于点，连接，则的周长为 ． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，则的面积 ． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 16．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 17．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，中，为上的两点，，求证：． 18．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，已知四边形中，． (1)求证：，． (2)若，直接写出的度数是 ． ( 题型02 ) 平行四边形的判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）在四边形中，对角线与相交于点，给出下列五组条件，能判定此四边形是平行四边形的有（    ）组． （1），；（2），；（3），；（4），；（5），． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 4．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是： （选出所有正确的答案） 5．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F分别在边上，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形． 7．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)若平分交于点，，求证：四边形是平行四边形． 8．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． ( 题型03 ) 矩形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，平分，为矩形的对角线上的一点，于点，的延长线与的延长线交于点，若，则的值是(    )    A．6 B．7 C．8 D．10 3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于 ．    4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，，，．点为的中点，则的长度为 ． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）在矩形中，对角线相交于点，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形中，M为边上一点，连接，过点D作于E，若，，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知在中，，是边上的中线，，则的长度是 ． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填写序号） 9．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长，交延长线于点E． (1)求证： (2)连接．若，则当 时，四边形是矩形； 11．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)若，当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，相交于点O，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 13．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图所示，矩形中，以对角线为底边，作等腰直角（点在上方），，，连接，过点作，交于． (1)求证：； (2)若，，连接，请求出的长． ( 题型04 ) 菱形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．菱形四条边相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 2．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，相交于O，且，若．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，菱形的周长为20，对角线，于点E，则的长为（    ） A． B．8 C．5 D． 5．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（    ） A．7.5 B．15 C．18 D．20 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，菱形的对角线相交于点，，点为边上一动点，且不与重合，过点作于，交于，连接，则长的最小值等于 ． 8．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接，求证：四边形是菱形． 9．（23-24八年级下·湖北随州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，当对角线满足什么条件时四边形为菱形．（不需要说明理由） 11．（23-24九年级下·湖北鄂州·期中）如图，，点D，C分别在射线上，，垂足为点O，且．求证：四边形是菱形．    12．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，，，的平分线分别交于C，交于D，连接． (1)填空：四边形是________形；并证明． (2)过点D作的平行线交于F，的平分线交于G，交于H，连接，如图2．若，，求的长和的面积． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)当与满足________时，四边形是菱形，并证明你的结论； ( 题型0 5 ) 正方形的性质与判定 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四个结论：①；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 2．（23-24九年级下·湖北孝感·期中）如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ． 4．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠在折痕上，折痕为，点B在上的对应点为H，则的度数为 ． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为，，平分交的延长线于，交于．当为的中点时，的长是 ． 6．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图所示，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动．当时，点的坐标为 ． 7．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是 ． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的长是 ． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点三点共线，且①______； ②线段之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，当点在边上某一位置时（点不与点重合），点恰好落在折痕上，此时交于点，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点落在折痕上时，求出线段的长． 11．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形是正方形，G为线段上一点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)求证：． 1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，为对角线，，，E、F分别是边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．1.5 D．2 4．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 5．（23-24八年级上·湖北随州·期中）在四边形中，已知，，且，则的度数是 ． 6．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长为 ． 7．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 8．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，如果，，那么 ． 10．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为 ． 11．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点为中点，折叠后，的对应边经过点，点的对应点为点．若，，则 ． 12．（23-24九年级上·湖北随州·期中）如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则 ；的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·湖北恩施·期中）如图，在矩形中，于点E，交于F，．下列说法： ①；②；③已知，则；④若，则．其中一定正确的结论有 （填序号即可）． 14．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）已知，在四边形中，，，连、，如图1． (1)求的度数； (2)以为对角线，为边作，如图2， ①若，，试求与的长； ②猜想的度数是否变化，若不变，请直接写出的度数． 15．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）问题探究：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． 如图①，两条长度相等的线段和相交于点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明. 如图①，作且，则四边形是 （填四边形的形状）， ∴； ∵，， ∴是 （填的形状）， ∴. 当与不平行时三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知， （填或或）； 当时，三点在同一直线上，此时，， ∴． 问题解决： 如图②，若中，，点，点分别在上，交于点，，，，，求线段的长； 拓展应用： 如图③，中，，分别在上，交于点，若，，，，求长． 16．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）（1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则 ， ， 又， 为等边三角形， ， ，即． 请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： （2）类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，，．三条中线的交点为．若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于 (请直接写出答案)． 17．（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形． (1)如图1，当为等边三角形时， ①填空： ； ②证明：． (2)如图2，当为直角三角形，时，证明：． 18．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点． (1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． ①求证：． ②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． (2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$