精品解析：福建省上杭县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

福建省上杭县第一中学2024-2025学年下学期第一次月考试题 高二数学 一、单选（每题5分，共40分） 1. 函数的导数（ ） A B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 5 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递减 B. 是奇函数，且在单调递增 C. 是偶函数，且在单调递减 D. 是偶函数，且在单调递增 6. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知函数，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分，共18分） 9. 若函数f(x)在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记.若在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空（每题5分，共15分） 12. 若曲线在处的切线与直线平行，则实数___________. 13. 设函数．若为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为__________． 14. 已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则的值为________. 四、解答（共77分） 15. 过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 16. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 17. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）讨论函数的单调性. 18. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省上杭县第一中学2024-2025学年下学期第一次月考试题 高二数学 一、单选（每题5分，共40分） 1. 函数的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复合函数的求导法则求解出，然后再利用辅助角公式化简得到结果. 【详解】解析：， 故选：A． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得. 【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 4. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间. 【详解】设，代入点，则，解得， ， 则， 令，解得， 函数的递增区间为. 故选：A. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 5. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数，且在单调递减 B. 是奇函数，且在单调递增 C. 是偶函数，且在单调递减 D. 是偶函数，且在单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义分析可知是偶函数，再利用导数判断原函数的单调性. 【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又因为， 当时，则，可得， 则， 所以在单调递增． 故选：D． 6. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故选：D. 7. 已知函数，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可得，然后利用导数得出函数在上的单调性，最后由奇偶性和单调性即可判断大小关系. 【详解】因为， 所以， 所以函数是偶函数，所以， 又时，得， 所以在上是增函数， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】用已知定义得到存在点，，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案． 【详解】函数，则， 由题意可知，存在点，，使得，即， 所以，，， 作出函数和的图象，如图所示， 由图象可知，函数和的图象只有一个交点， 所以，，只有一个解，即函数在，上点的个数为1个． 故选：A 二、多选（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分，共18分） 9. 若函数f(x)在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记.若在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】依次验证四个选项中是否在恒成立，即得解 【详解】对：，，，当时，，故为凸函数； 对：，，，当时，，故为凸函数； 对C：，，，当时，，故为凸函数； 对：，，，当时，，故不是凸函数 故选：ABC 10. 已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，即可判断选项AB，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出CD选项.. 【详解】由函数的图像可知函数是单调递增的， 所以函数图像上任意一点处的导函数值都大于零， 并且由图像可知， 函数图像在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以； 故A错误，B正确； 记，，作直线，则直线的斜率，由函数图像，可知， 即. 故C，D正确； 故选：BCD 11. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数，求导判断函数的单调性，然后逐项判断. 【详解】设，则， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因为，所以，即，故选项A正确； 因为，所以，即，故选项B不正确； 因为，所以，即，故选项C不正确； 因为，所以，即，故选项D正确． 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据选项的信息，构造函数，利用其单调性而得解. 三、填空（每题5分，共15分） 12. 若曲线在处的切线与直线平行，则实数___________. 【答案】-1 【解析】 【分析】求导，进而得，由导数的几何意义可得结果. 【详解】因为，所以， 在， 因为函数在处的切线与直线平行，所以. 故答案为：. 13. 设函数．若为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将为定义域上的单调函数转化为：恒成立或恒成立，利用即可判断恒成立，利用基本不等式求出，问题得解. 【详解】∵为定义域上的单调函数 ∴恒成立或恒成立 又的定义域为且 ∴恒成立，即在上恒成立 即 又 当且仅当时，等号成立 ∴，解得 故答案为：. 14. 已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】设公共点处的横坐标为，再利用解方程组即可. 【详解】设其公共点处的横坐标为， ，， 则由题意可得，即，解得 故答案为：1 四、解答（共77分） 15. 过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，构造函数，利用导数求解单调性，结合函数图象即可求解. 【详解】由，得，切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为，所以， 因为点在切线上， 所以，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以在处取得极小值， 当时，，当时，， 由题意可得直线与函数的图象有两个交点， 所以，解得，所以实数a的取值范围为， 16. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围. 试题解析：． （Ⅰ）由题意得，解得． （Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴即 ∴ ∴a的取值范围是 考点：导数几何意义. 17. 已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【小问1详解】 由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． 【小问2详解】 , ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,上单调递减,在上单调递增, 18. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【详解】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为,斜率为,根据斜率为可求得的值.化简的表达式,求出的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解. 【试题解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. 当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a＝0时，f(x)不是单调函数． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝. ∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2， ∴ 当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立， 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9； 由g′(3)＞0，即m＞－. 所以－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法. 求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值, 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在上减函数，   ，令，讨论 性质可得实数的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，函数定义域为， 且， 因为，当时，为减函数； 当时，为增函数； 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； 【小问2详解】 不防设， 由，可得， 即， 即函数在上为减函数，   由， 所以在上恒成立，也就是， 令， 恒成立，     所以当时，为减函数， 的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$