6.2.4 向量的数量积 第1课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教2019A版必修 第二册 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物 理背景和数量积 第六章 平面向量及其应用 复习回顾:我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? 加法运算; 减法运算; 数乘运算; 运算的结果都依然是向量。 两个向量之间能进行乘法运算吗? 物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算? 向量的线性运算 思考1:一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力 F 所做的功应当怎样计算? 功是一个标量,它的大小由力、位移确定。 s F F 能否把“功”看成两个向量“相乘”的结果呢? 合作探究一:向量的数量积 思考2:如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量,其结果又该如何表述? 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是什么呢? 力与位移的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是功; ? = 向量的夹角 O A B O A B O A B 已知两个非零向量 和 ,作 , ,则 叫做向量 和 的夹角. O A B 平面向量的数量积的定义 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 已知非零向量 与 ,我们把数量 叫作 与 的数量积(或内积),记作 ,即规定 夹角 思考3:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负? 当0 ≤ < 90 时 为正; 当90 < ≤180 时 为负。 当 =90 时 为零。 数量积符号由cos 的符号所决定 (1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定. 说明: (2) a b中间的“ ”在向量的运算中不能省略,也不能写 成a b ,a b 表示向量的另一种运算. 例1.已知 解: =-10 变式:边长为2的等边三角形ABC中,求 解:由 得 因为 所以 。 变式:已知||=1,||=2, + =2 ,求 A B C D A1 B1 这种变换为向量 向向量 投影, 叫做向量 在向量 上的投影向量 O M N M1 叫做向量 在向量 上的投影向量 合作探究二:投影向量的定义 O M N M1 探究1:如图,设与 方向相同的单位向量为 , 与 的夹角为 , 那么 与 之间有怎样的关系? 分析: 因为向量与 易知||=||, 是相同还是相反。 下面我们分= 当 为锐角时, 所以, 当 为直角时, 所以, 当 为钝角时, 即 当 =0 时, 所以 当 = 时, 所以 综上,对任意的 都有 ||=||, 探究2:两个非零向量相互平行或垂直时,投影向量具有特殊性,你能得出向量的数量积的特殊性质吗? (3)当向量 与 共线同向时, ; 当向量 与 共线反向时, . 特别地, 或 (4) =90 =0 =180 ︱cos ︱≤1 设 是非零向量,它们的夹角是 , 是与 方向相同的单位向量,则 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 当堂检测:课本20页练习3 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小结 1.向量的夹角; 2.数量积的定义; 3.投影向量的定义; 4.数量积的性质。 $$