7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1 课程目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程． 2.理解复数的概念、表示法及相关概念． 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 2 本章知识框架 数系扩充 复数引入 复数的 概念 复数的 代数形式 复数的 三角形式 复数代数形式的四则运算 复数乘除运算的三角表示 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系。 你了解数系的发展史吗？ 数系的发展史 毕达哥拉斯 (约公元前560-480年) 当时的毕达哥拉斯学派对“有理数”的崇拜已达到疯狂的程度，提出了“万物皆数”的理论，他们认为“整数”或者“整数的比”足以描述这个世界，以至于当他的弟子西帕索斯发现“无理数，为了维护学派信仰，直接将他投海喂鱼了，希帕索斯将一腔热血献祭给了第一次数学危机。 1 1 问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？ ？ 数系的扩张之路历经坎坷，是一部悲壮而又辉煌的史诗！例如无理数的发现就引发了一次血案。 问题1 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 问题2 我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 探究新知 LOGO 6 探究新知 依此设想，我们 ①把实数b与i相乘，结果记作bi ②把实数a与bi相加，结果记作a+bi 所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，于是实数集得到进一步扩充，由此得到复数集. i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary (想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i. 为了解决这个问题，数学家大胆引入一个新数i ，把i叫做虚数单位，并且规定： (1) i21 ； (2) i 与实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法与乘法都满足原有的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 LOGO 7 LOGO 探究新知 1. 复数的概念 定义：形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i 叫做 . 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即 z=a+bi (a,b∈R) 2. 复数的表示 a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 -1 虚数单位 i 2 = . 这样，方程x 2=-1在复数集中就有解 x=i 了。 LOGO 9 课堂练习 蓝筐和绿框中的 数有什么区别？ 课本P70第1题 [练习1]．复数i－2的虚部是(　　) A．i　 B． －2 C．1 D．2 C 第二个绿框中的 数与第一个绿框中的数有什么区别？ LOGO 10 探究新知 3. 复数的分类 复数 实数： 虚数： 纯虚数： 问题3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？ 复 数 集 C 虚数集 实数集 R 纯虚数集 LOGO 11 探究新知 虚数 纯虚数 实数 课本P70第2题 LOGO 12 例题讲解 【例1】 解：当m-1=0时，即m=1时，复数z 是实数； 当m-1≠0时，即m≠1时，复数z 是虚数； 当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数. x=﹣3 x≠﹣3 x=1 【变式1】实数x取什么值时，复数z＝(x2＋2x－3)＋(x＋3)i是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ LOGO 13 探究新知 4. 复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 即如果 ，那么 【例2】已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值． 问题4：如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ LOGO 14 复系数一元二次方程 是否有根不能用△判定. 【变式1】 【变式2】 例题讲解 问题4 两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，不能比较大小. 【例3】 LOGO 16 课堂小结 1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数 LOGO 17 Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Content Adaptive Encoding 3.0 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.3.77 解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R， 依题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－5，,－xy＝24，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－8，))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－8，,y＝3.)) $$