2024年全国中考数学真题卷选择压轴题60道（上）

2024年全国中考数学真题卷-选择压轴题60道（上） 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（　　） A．36 B．96 C．226 D．426 二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题） 2．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，…，第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2+x1+x2+x3+⋯+xk+4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（　　） A．a3＝84 B．为偶数 C．an+1＝3an﹣6 D．k＝2n﹣1 三．根的判别式（共1小题） 3．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 四．一元一次不等式组的应用（共1小题） 4．（2024•攀枝花）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A．q＜p＜s＜r B．r＜s＜q＜p C．p＜q＜s＜r D．r＜s＜p＜q 五．函数的图象（共4小题） 5．（2024•镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 6．（2024•常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．第1km所用的时间最长 B．第5km的平均速度最大 C．第2km和第3km的平均速度相同 D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度 7．（2024•青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0 C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54% 8．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 六．动点问题的函数图象（共2小题） 9．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 10．（2024•兰州）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（　　） A． B． C．4cm D．8cm 七．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 11．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6） 八．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 12．（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 九．一次函数的应用（共4小题） 13．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 14．（2024•哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（　　） A．36L B．38L C．40L D．42L 15．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 16．（2024•内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 17．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 18．（2024•德州）如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．6 19．（2024•宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（2024•通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．3 21．（2024•呼和浩特）下列说法中，正确的个数有（　　） ①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立． ②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2． ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 22．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2或m＞2 B．﹣2＜m＜2且m≠0 C．﹣2＜m＜0或m＞2 D．m＜﹣2或0＜m＜2 23．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 一十三．二次函数的图象（共1小题） 24．（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一十四．二次函数的性质（共1小题） 25．（2024•西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一十五．二次函数图象与系数的关系（共7小题） 26．（2024•甘南州）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2024•西藏）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（2024•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2024•青岛）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（2024•东营）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 31．（2024•资阳）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论： ①b＝2； ②PB＝PC； ③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形； ④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5． 其中，所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2024•广元）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十六．抛物线与x轴的交点（共1小题） 33．（2024•甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 一十七．平行线的性质（共1小题） 34．（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 一十八．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 35．（2024•巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时， 一十九．勾股定理（共2小题） 36．（2024•淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 37．（2024•绵阳）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，则BF＝（　　） A． B． C． D． 二十．三角形中位线定理（共1小题） 38．（2024•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s． 下列结论： ①当t＝2s时，四边形ABCP的周长是10cm； ②当t＝4s时，点P到直线l2的距离等于5cm； ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 二十一．菱形的性质（共2小题） 39．（2024•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A．y B．y C．y D．y 40．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 二十二．矩形的判定与性质（共1小题） 41．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 二十三．正方形的性质（共1小题） 42．（2024•陕西）如图，直线l经过正方形ABCD的中心O，分别与BC和AD相交于点E和点F，并与CD的延长线相交于点G．若AB＝4，AF＝3，则DG的长为（　　） A．1 B． C． D．2 二十四．圆周角定理（共1小题） 43．（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 二十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 44．（2024•济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　） A．42° B．41°20' C．41° D．40°20' 二十六．切线的性质（共1小题） 45．（2024•南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　） A．8 B．8.5 C．5 D．9 二十七．扇形面积的计算（共1小题） 46．（2024•青岛）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 二十八．圆锥的计算（共1小题） 47．（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 二十九．作图—基本作图（共1小题） 48．（2024•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，DE＝4，则四边形BCDE的周长是（　　） A．22 B．21 C．20 D．18 三十．作图—复杂作图（共2小题） 49．（2024•长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OMAB 50．（2024•济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（　　） A． B． C． D． 三十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 51．（2024•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，DC＝4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 三十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 52．（2024•淮安）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是（　　） A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形 C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2 D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于AP•BB' 三十三．旋转的性质（共3小题） 53．（2024•无锡）如图，等边△ABC的边长为2，点D在AB上，BD，连接CD，将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得到CE，连接DE交AC于点G．则点G到CD的距离为（　　） A． B． C． D． 54．（2024•呼和浩特）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　） A． B． C． D． 55．（2024•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 三十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 56．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论： ①； ②tan∠H1； ③BE平分∠CBD； ④2AB2＝DE•DH． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三十五．解直角三角形的应用（共1小题） 57．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 三十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 58．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 三十七．方差（共1小题） 59．（2024•大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　） A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于4 三十八．几何概率（共1小题） 60．（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 2024年全国中考数学真题卷选择压轴题60道（上） 参考答案与试题解析 一．选择题（共60小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D A B D D C D C B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 A B B D C C D C A B C 题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 B C C C B C C D D C D 题号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 答案 A D B D A C C B D B C 题号 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 答案 D A D A D D C C C A B 题号 56 57 58 59 60 答案 B C A A C 一．规律型：数字的变化类（共1小题） 1．（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（　　） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6，…， 所以第n行的最后一个数可表示为n（n+1）， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：n（n﹣1）+6（n为大于等于2的整数）． 因为5×6+6＝36， 故A选项不符合题意． 因为9×10+6＝96， 故B选项不符合题意． 因为14×15+6＝216，15×16+6＝246，且216＜226＜246， 故C选项符合题意． 因为20×21+6＝426， 故D选项不符合题意． 故选：C． 二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题） 2．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，…，第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2+x1+x2+x3+⋯+xk+4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（　　） A．a3＝84 B．为偶数 C．an+1＝3an﹣6 D．k＝2n﹣1 【答案】D 【分析】根据构造规律逐项推理判断即可． 【解答】解：第1次构造得 a1＝2+6+4＝12，k＝1＝21﹣1， 第2次构造得a2＝2+8+6+10+4＝30＝a1+18＝a1+6×31，k＝3＝22﹣1， 第3次构造得a3＝2+10+8+14+6，k＝7＝23﹣1，故A选项正确； 第n次构造为，则an﹣an﹣1＝6×3n﹣1，，，…，a2，相加得 6×31＝6×（3n﹣1+3n﹣2+⋯+31）， 令S＝3n﹣1+3n﹣2+⋯+31＝31+32+⋯+3n﹣2+3n﹣1 ①，则3S＝32+33+⋯+3n ②，由①﹣②得．﹣2S＝3﹣3n ，即 ⋯+31）＝3n+1﹣9， ∴，则，即an+1＝3an﹣6，故C选项正确； 3 为偶数，故B选项正确；第n次构造为 ，k＝2n﹣1，故D选项错误． 故选：D． 三．根的判别式（共1小题） 3．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 【答案】D 【分析】先根据新定义得到x（mx）+x+1＝0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0， 整理得mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4m•1＞0且m≠0， 解得m且m≠0． 故选：D． 四．一元一次不等式组的应用（共1小题） 4．（2024•攀枝花）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A．q＜p＜s＜r B．r＜s＜q＜p C．p＜q＜s＜r D．r＜s＜p＜q 【答案】A 【分析】根据人在跷跷板上的示意图，列出四元一次不等式组，再由不等式的性质进行计算即可． 【解答】解：由题意得：， 由③得：r＝p+s﹣q④， 把④代入②中得： q+s＜p+p+s﹣q， ∴2q＜2p， ∴q＜p， ∴q﹣p＜0， 由③得：q﹣p＝s﹣r， ∴s﹣r＜0， ∴s＜r， ∴q＜p＜s＜r， 故选：A． 五．函数的图象（共4小题） 5．（2024•镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】B 【分析】由图象知甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油16L，乙车耗油20L，由题意即可得到答案． 【解答】解：由图象知：甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油40﹣24＝16（L），乙车耗油40﹣20＝20（L）， 由题意得：2． 故选：B． 6．（2024•常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．第1km所用的时间最长 B．第5km的平均速度最大 C．第2km和第3km的平均速度相同 D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度 【答案】D 【分析】根据“速度＝路程÷时间”解答即可． 【解答】解：由图象可知， 第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故选项A说法正确，不符合题意； 第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意； 第2km和第3km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意； 前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 7．（2024•青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0 C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54% 【答案】D 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示体积，纵坐标表示净水率，根据图象上特殊点的意义即可求出答案． 【解答】解：由题意得： 当加入絮凝剂的体积为0.6mL时，净水率比0.5mL时降低了，故选项A说法错误，不符合题意； 未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故选项B说法错误，不符合题意； 絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量都不相等，故选项C说法错误，不符合题意； 加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%，故选项D说法正确，符合题意． 故选：D． 8．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】根据函数图象分析即可． 【解答】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速行驶， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 六．动点问题的函数图象（共2小题） 9．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】依据题意，当P到C时，DP2＝y＝7，可得DC2＝7，再作DH⊥BC于H，进而求出BHBD＝1，CH＝2，故可判断①；找出t＝5时，P的位置，进而可以判断②；再由当4≤t≤6时，此时P从如图的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，y≤3，故可判断③；又由t1+t2＝6，t1＜t2，可得t2＝6﹣t1，t1＜3，t2＞3，再结合当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2，从而作差y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）23﹣t1＞0，故可判断④． 【解答】解：由题意，当P到C时，DP2＝y＝7， ∴DC2＝7． 作DH⊥BC于H，如图1所示， ∵∠B＝60°，BD＝2， ∴BHBD＝1，DH． ∴CH2． ∴BC＝BH+CH＝1+2＝3． ∴AB＝BC＝3，故①正确． ∴此时t＝AB÷1＝3（秒）． ∴当t＝5时，P在AC上，且PC＝2． 如图2，AD＝AP＝1， 又∠A＝60°， ∴△ADP是等边三角形． ∴DP＝AD＝AP＝1． ∴y＝DP2＝1，故②正确． 当4≤t≤6时，如图3， ∴PC＝1，此时P从如图的位置运动到A． ∴AHAD． ∴DH，此时P运动到H时y＝DH2取最小值为． 又HP＝AC﹣AH﹣PC＝31， ∴DP． ∴此时y＝DP2取最大值为3． ∴当4≤t≤6时，y≤3，故③错误． ∵t1+t2＝6，t1＜t2， ∴t1+t2＜2t2，2t1＜t1+t2，t2＝6﹣t1． ∴t1＜3，t2＞3． 又由题意，可得，当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2， ∴y1＝（t1﹣1）2+3，y2＝（t2﹣5.5）2（t1﹣0.5）2． ∴y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2 ＝3﹣t1＞0． ∴y1＞y2，故④正确． 故选：D． 10．（2024•兰州）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（　　） A． B． C．4cm D．8cm 【答案】C 【分析】根据题意可知，BN＝x cm，BMx cm，结合菱形的性质得∠DBC＝30°，过点M作MH⊥BC于点H，则HMx cm，那么yx2；设菱形的边长为a cm，则BDa cm，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4，利用最大值即可求得x，即可知菱形的边长a． 【解答】解：根据题意可知，BN＝x cm，BMx cm， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， 过点M作MH⊥BC于点H，连接AC交BD于O，如图， 则MH＝BM×sin∠MBHx（cm）， ∴y＝S△BMNBN•MHx2（cm2）， 设菱形的边长为a cm， ∴BD＝2BO＝2BCcos∠OBC＝2×aa（cm）， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4， ∴x2＝4， 解得x＝4（负值舍去）， ∴BC＝4， 故选：C． 七．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 11．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6） 【答案】B 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，利用两点间的距离公式，可求出OB的长，结合菱形的性质，可得出BC的长及BC∥x轴，再结合点B的坐标，即可得出点C的坐标． 【解答】解：当x＝8时，y8＝6， ∴点B的坐标为（8，6）， ∴OB10． ∵四边形AOBC是菱形，且AO在x轴上， ∴BC＝OB＝10，且BC∥x轴， ∴点C的坐标为（8﹣10，6），即（﹣2，6）． 故选：B． 八．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 12．（2024•无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论： ①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”； ②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】推出y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1，即可判断①；推出y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2，即可判断②；③设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1，当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【解答】解：①当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，当x＝3时，y＝﹣x+4＝1， ∵a＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴y＝﹣x+4在1≤x≤3时，1≤y≤3，即t＝1， ∴1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当x＝0时，y＝x2＝0，当x＝2时，y＝x2＝4， ∵y＝x2对称轴为y轴，a＝1＞0， ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∴y＝x2在0≤x≤2时，0≤y≤4，即t＝2， ∴0≤x≤2是函数y＝x2的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵k＞0， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当0＜m≤x≤n，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵k＞0，0＜m≤x≤n， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数y＝﹣x2+2x+1的对称轴为， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， 设m≤x≤n＜1，则﹣m2+2m+1≤y≤﹣n2+2n+1， 当函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数y＝﹣x2+2x+1的“4级关联范围”， ∴函数y＝﹣x2+2x+1存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 九．一次函数的应用（共4小题） 13．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①由乙比甲晚出发30min及当x＝50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确； ②观察函数图象，可得出当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用路程＝速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误； ④利用路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m． 【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0， ∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇， 即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600， ∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min， 根据题意得：， 解得：， ∴868698， ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误； ④∵200×（86﹣30）＝11200（m）， ∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 14．（2024•哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（　　） A．36L B．38L C．40L D．42L 【答案】B 【分析】依据题意，先求出5≤x≤15时的函数关系式，然后将x＝9代入计算可以得解． 【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）． ∵图象过（5，30）、（15，50）， ∴． ∴． ∴y＝2x+20． 令x＝9， ∴y＝2×9+20＝38． 故选：B． 15．（2024•南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 【答案】D 【分析】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度． 【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h； 乙的速度是：20÷1＝20km/h； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选：D． 16．（2024•内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解． 【解答】解：（1）体育场离该同学家2.5千米，故（1）是正确的； （2）该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故（2）是正确的； （3）该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故（3）是错误的； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍， 则：a÷（103﹣88）＝1.5， 解得：a＝3.75， 故（4）是正确的； 故选：C． 一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 17．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用a2+b2求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【解答】解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b， 由题意得：a2+b2． ∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上， ∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°， ∴∠NGF＝∠DMC， ∴△NFG∽△DCM， ∴， ∵MD＝4GN， ∴， ∴NFb． ∵FG∥ED， ∴△NFG∽△NED， ∴， ∴， ∴b2＝4a2， ∴， ∵a＞0， ∴a． ∴b． ∴A（，）， ∴k3． 故选：C． 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 18．（2024•德州）如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，若AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】依据题意，利用反比例函数k的几何意义，结合相关线段的长度来求a﹣b的值． 【解答】解：如图，设C（m，），则D（m，），OE＝﹣m， ∴2． ∴b﹣a＝2m， ∴a﹣b＝2OE， 同理：a﹣b＝3OF， ∴2OE＝3OF． 又∵OE+OF＝5， ∴OE＝3，OF＝2， ∴a﹣b＝6． 故选：D． 19．（2024•宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据题意，过A作AD⊥x轴于D，再设A（a，）（a＞0），从而可得OC＝2OD＝2a，再求出直线OA为yx，然后联立，可得B的坐标，最后结合S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝6，进而可得k的方程，计算即可得解． 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a． 又设直线OA为y＝mx， ∴ma． ∴m． ∴直线OA为yx． 联立， ∴x2． ∴x＝±． ∴B（，）． ∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC OC•|yB|OC•|yA| 2a（） k． 又∵S△ABC＝6， ∴k＝6． ∴k＝4． 故选：C． 20．（2024•通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．3 【答案】A 【分析】作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H，设正六边形ABCDEF的边长为a，根据正六边形性质和含30°角的直角三角形性质可得点E、H坐标，列出方程求出a值，即可推出k值． 【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H， ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， ∴∠EDO60°， ∴∠EDG＝30°， ∴EGED，GD， 设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，）， ∵点E、H都在反比例函数图象上， ∴， 解得a＝4， ∴H（4，）， ∴k＝4． 故选：A． 21．（2024•呼和浩特）下列说法中，正确的个数有（　　） ①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立． ②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2． ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据题意，画出函数图象，得出﹣4≤m＜n≤2；②根据题意，画图，利用勾股定理得出关系式；③在坐标系中画出图形，求出C坐标，得出k的值；④利用韦达定理得出长+宽＝2（a+1），长×宽＝a2﹣1，再根据题意求出a的值，从而得出对角线长度． 【解答】解：① 由图象得：∵0＜k≤1， ∴当k＝1时，m＝﹣4，n＝2， ∴①错误； ② 过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA，OC， ∴四边形AMPN是矩形， ∵OA2＝AM2+OM2，OC2＝CN2+ON2， ∴，， ∴， ∵OP2＝OM2+ON2＝m2， ∴， ∴AB2+CD2＝8r2﹣4m2， ∴②正确； ③ ∴C（5，6）或C（﹣5，4）， ∴k＝30或﹣20， ∴③错误； ④∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根， ∴长+宽＝2（a+1），长×宽＝a2﹣1， ∵矩形的周长值与面积值相等， ∴4（a+1）＝a2﹣1， ∴（a﹣5）（a+1）＝0， ∴a＝5或a＝﹣1， Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＞0， ∴a＞﹣1， ∵对角线2＝长2+宽2＝（长+宽）2﹣2×长×宽＝4（a+1）2﹣2（a2﹣1）＝2a2+8a+6， 当a＝5时，对角线2＝96， ∴对角线长是， ∴④正确； 综上所述：②④正确， 故选：B． 一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 22．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2或m＞2 B．﹣2＜m＜2且m≠0 C．﹣2＜m＜0或m＞2 D．m＜﹣2或0＜m＜2 【答案】C 【分析】当A在原点右侧时，B点坐标为（m，），设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b，得到b＝m0，求出m＞2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b′，b′0，求出﹣2＜m＜0，即可得到m的取值范围． 【解答】解：当A在原点右侧时，B点坐标为（m，）， ∵直线l绕点B逆时针旋转45°， ∴所得的直线与直线y＝﹣x平行， 设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b， ∵这条直线经过第一、二、四象限， ∴b＞0， ∵B在直线y＝﹣x+b上， ∴﹣m+b， ∴b＝m0， ∵m＞0， ∴m2﹣4＞0， ∴m＞2； 当A在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b′， 同理：b′0， ∵m＜0， ∴m2﹣4＜0， ∴﹣2＜m＜2， ∵m＜0， ∴﹣2＜m＜0． m的取值范围是﹣2＜m＜0或m＞2． 故选：C． 23．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 【答案】B 【分析】依据题意，由点A（4，2）在函数y上，可得k的值，从而得反比例函数的解析式，又设直线OA为y＝kx，故可得直线OA为yx，再设向上平移m个单位到直线BC，则B（0，m），直线BC为yx+m，最后设（a，）（a＞0），进而a+m，故ma，又作CH⊥y轴于H，从而CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2，a2+a2＝5，求得a的值，最后可以计算得解． 【解答】解：由题意，∵点A（4，2）在函数y上， ∴k＝4×2＝8． ∴反比例函数为y． 设直线OA为y＝kx， ∴4k＝2． ∴k． ∴直线OA为yx． 又设向上平移m个单位到直线BC， ∴B（0，m），直线BC为yx+m． 再设（a，）（a＞0）， ∴a+m． ∴ma． 作CH⊥y轴于H， ∴CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2． ∴a2+a2＝5． ∴a＝2． ∴4﹣m＝1． ∴m＝3． ∴B（0，3）． 故选：B． 一十三．二次函数的图象（共1小题） 24．（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确． 【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 一十四．二次函数的性质（共1小题） 25．（2024•西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数开口方向，与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）， 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点是（0，1）， 故结论①正确，此结论符合题意； ∵抛物线的对称轴为x2， 故结论②错误，此结论不符合题意； ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个点，y1＝y2＝1， ∴A、B两点关于对称轴对称， ∴||＝2， ∴|x1+x2|＝4， ∴AB＝4， 故结论③正确，此结论符合题意； ∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）， ∴抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧的函数图象，y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞2， ∴A，B两点位于对称轴的右侧， ∴y1＞y2， 故结论④错误，此结论不符合题意； ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 一十五．二次函数图象与系数的关系（共7小题） 26．（2024•甘南州）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【解答】解：①开口向下，a＜0； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0， ∴abc＜0， 所以①正确，符合题意； ②当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0， 即a+c＜b， 所以②不正确，不符合题意； ③对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方， 则y＝4a+2b+c＞0， 所以③正确，符合题意； ④，则，而a﹣b+c＜0， 则，2c＜3b， 所以④正确，符合题意； ⑤开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c； 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 则a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 所以⑤错误，不符合题意． 故①③④正确， 故选：C． 27．（2024•西藏）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，根据抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：∵抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴对称轴是直线x1． ∴1． ∴b＝2a． 又图象可得，a＞0，c＜0， ∴b＝2a＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵B（1，0）在抛物线上， ∴a+b+c＝0． 又b＝2a， ∴b+c＝0． ∴3b+2c＝0，故②错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c． ∴对应任意的m，当x＝m时，函数值y＝am2+bm+c≥a﹣b+c． ∴am2+bm≥a﹣b，故③正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵|﹣4﹣（﹣1）|＝3＞|（﹣1）|， ∴y1＞y2，故④错误． 综上，正确的有2个． 故选：B． 28．（2024•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图像信息一一判断即可． 【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确， ∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b，故②正确， ∵函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）， ∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a（x+1）•（x﹣5），故③错误， ∵抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9a）， 观察图象可知当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确． 故选：C． 29．（2024•青岛）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据二次函数 y＝ax2+bx+c 图象结合已知条件判断各式即可． 【解答】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于正半轴，与x轴没有交点 ∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0， ∵对称轴为x， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0， ∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上， 当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， 则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限， ∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限． 故选：C． 30．（2024•东营）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 【答案】D 【分析】根据所给二次函数图象得出a，b，c的正负，再将点（﹣3，0）和（1，0）代入函数解析式，得出关于a，b，c的两个等式，进而可得出a与b及a与c之间的关系，最后根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣1即可解决问题． 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故A选项不符合题意． 因为抛物线经过点（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 则， 所以2a﹣b＝0． 故B选项不符合题意． 将b＝2a代入a+b+c＝0得， a+2a+c＝0， 所以3a+c＝0． 故C选项不符合题意． 因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝﹣1时，函数取得最大值a﹣b+c， 所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2+bm≤a﹣b． 故D选项符合题意． 故选：D． 31．（2024•资阳）已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论： ①b＝2； ②PB＝PC； ③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形； ④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5． 其中，所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，得出P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，，解得：b＝2，故①正确；②过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，证明△CEP≌△BDP（ASA），得出PB＝PC，故②正确；③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，根据BC＝OA，BC⊥OA，得出此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，，，得出△BCQ周长的最小值为，故④正确． 【解答】解：①∵二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点， ∴P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2， ∴，解得：b＝2，故①正确； ②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E， ∴∠CEP＝∠BDP＝90°， 由函数的对称性可知PE＝DP， 在△CEP和△BDP中， ， ∴△CEP≌△BDP（ASA）， ∴PB＝PC，故②正确； ③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ∴B（2，2），C（2，﹣2）， ∴BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵点A（4，0）， ∴OA＝4， ∴BC＝OA， 由∵BC⊥OA， ∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC， ∵点B的横坐标为1， ∴，点C的横坐标为3， ∴，， ∴，， ∴△BCQ周长的最小值为，故④正确； 故选：D． 32．（2024•广元）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题干条件逐一判断每一个小选项即可． 【解答】解：①∵抛物线开口向上，﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， 故①不符合题意； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）， ∴函数的最小值y＜﹣2， ∴ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根； ∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根； 故②符合题意； ③∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴抛物线的对称轴为直线，且，且，而a＞0， ∴﹣3a＜b＜﹣a， ∴a+b＜0， 故③不符合题意； ④∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）， ∴c＝﹣2， ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即3a﹣3b+3c＞0，当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0， ∴12a+4c＞0， ∴12a＞8， ∴， 故④符合题意； ⑤：﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴x2﹣x1＞2， 由根与系数的关系可得：，， ∴， ∴， ∴b2﹣4ac＞4a2， 故⑤符合题意； 综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个． 故选：C． 一十六．抛物线与x轴的交点（共1小题） 33．（2024•甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】依据题意，由函数图象与y轴交于负半轴，则当x＝0时，y＝c＜0，故可判断①；又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0，进而8a+4b＝0，则b＝﹣2a，从而对称轴是直线x1＞0，故可判断②；依据题意，当x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，进而可以判断③． 【解答】解：由题意，∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确． 又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0， ∴8a+4b＝0． ∴b＝﹣2a． ∴对称轴是直线x1＞0，故②正确． 由题意，∵x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确． 故选：D． 一十七．平行线的性质（共1小题） 34．（2024•潍坊）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】A 【分析】过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，根据∠β＝45°求出∠FEH即可求解． 【解答】解：过点E作EH∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EH∥FG， ∴∠BEH＝α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°， ∵β＝45°， ∴∠FEH＝180°﹣45°﹣15°＝120°， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣120°＝60°， ∴EF与FG所成锐角的度数为60°， 故选：A． 一十八．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 35．（2024•巴中）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时， 【答案】D 【分析】对于选项A，连接DE，根据CE⊥AB，点D是AC的中点得DE＝AD＝CD＝1/2AC，则BE＝DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断； 对于选项B，设∠ABD＝α，根据BE＝DE得∠EDB＝∠ABD＝α，的∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，再根据DE＝AD得∠A＝∠AED＝2α，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC＝BC，然后根据BEAB，CDAC，BE＝CD得AB＝AC，由此可对选项C进行判断； 对于选项D，连接AO并延长交BC于F，根据E为AB中点，D为AC的中点得点F为BC的中点，再根据△ABC是等边三角形得∠OBC＝∠OAC＝30°，则OA＝OB，进而得OB＝2OF，AF＝3OF，由此得S△OBCBC•OF，S△ABCBC•AFBC•OF，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 连接DE，如图1所示： ∵CE⊥AB，点D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴DE＝AD＝CDAC， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点D在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α， 即∠BDC＝3∠ABD， 故选B正确，不符合题意； 对于选项C， 当E为AB中点时，则BE＝1/2AB， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵BEAB，CDAC，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， 故选C正确，不符合题意； 对于选项D， 连接AO，并延长交BC于F，如图2所示： 当E为AB中点时， ∵点D为AC的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点， ∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC， ∴∠OBC＝∠OAC＝30°， ∴OA＝OB， 在Rt△OBF中，OB＝2OF， ∴OA＝OB＝2OF， ∴AF＝OA+OF＝3OF， ∴S△OBCBC•OF，S△ABCBC•AFBC•OF， ∴， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 一十九．勾股定理（共2小题） 36．（2024•淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答． 【解答】解：第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …… 第九个三角形的斜边长， 则这海螺图形周长＝1+1×910， ∵与最接近的整数是3， ∴与10最接近的整数是13， 故选：B． 37．（2024•绵阳）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，则BF＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过辅助线构造△ADH∽△FCB，△EBI∽△DEH∽△BCG，然后由等腰三角形和相似三角形对应边成比例的性质推出FB＝AE＝BI，BE＝AF＝FC，以及，再由勾股定理求出EI和BC关于FB的表达式，通过比例式建立关于FB的方程求解即可． 【解答】解：如图，BG⊥CD，EI⊥BG，DH⊥AE，G、I、H分别为垂足． 根据题意AD＝DE＝1，则△ADE为等腰三角形． ∴△ADH≌△EDH， ∴AH＝HE， ∵AD∥CF， ∴∠DAH＝∠CFB． 在△ADH和△FCB中，∠DAH＝∠CFB，∠DHA＝∠CBF． ∴△ADH∽△FCB， ∴． ∴AE＝2AH＝FB． 易得四边形DEIG为矩形，则GI＝DE＝1． ∵BG⊥CD，DE⊥CD， ∴BG∥DE， ∴∠EBI＝∠DEH． 在△EBI和△DEH中，∠EBI＝∠DEH，∠DHE＝∠EIB， ∴△EBI∽△DEH， ∴． ∵BE＝EF+FB＝EF+AE＝AF＝2， ∴BI＝2HE＝FB， ∴BG＝BI+GI＝FB+1． 在△EBI和△BCG中，∠EBI＝90°﹣∠CBG＝∠BCG，∠EIB＝∠BGC， ∴△EBI∽△BCG， ∴， ∵EI2＝BE2﹣BI2＝BE2﹣FB2，BC2＝FC2﹣FB2，BE＝FC＝2，BG＝FB+1， ∴， 解得FB． 故答案为：D． 二十．三角形中位线定理（共1小题） 38．（2024•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s． 下列结论： ①当t＝2s时，四边形ABCP的周长是10cm； ②当t＝4s时，点P到直线l2的距离等于5cm； ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】①根据t＝2s时得出四边形ABCP为矩形，据此可解决问题． ②根据“平行线间的距离处处相等”即可解决问题． ③根据②中的发现即可解决问题． ④利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】解：①当t＝2s时， AP＝2cm， 则AP＝BC． 又因为AP∥BC，∠ABC＝90°， 所以四边形ABCP是矩形， 所以PC＝AB＝3cm， 所以四边形ABCP的周长为：2×（2+3）＝10（cm）． 故①正确． 因为“平行线间的距离处处相等”，AB＝3cm，∠ABC＝90°， 所以直线l1与直线l2之间的距离是3cm， 所以当t＝4s时，点P到直线l2的距离仍然是3cm． 故②错误． 由上述过程可知， 点P到BC的距离为定值3cm， 即△PBC的BC边上的高为3cm， 又因为BC＝2cm， 所以△PBC的面积为定值． 故③错误． 因为点D，E分别是线段PB，PC的中点， 所以DE是△PBC的中位线， 所以DE（cm）， 即线段DE的长度不变． 故④正确． 故选：A． 二十一．菱形的性质（共2小题） 39．（2024•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】C 【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根据直角三角形 到现在得到DH，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， 在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC， ∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH， ∴DH， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝∠EHD＝90°， ∴△ADF∽△DEH， ∴， ∴， ∴y， 故选：C． 40．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AP＝MH，因为AG≥AP，所以求出MH的值即可得解． 【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， ∵∠EMF+∠EGF＝180°， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴EM＝BE•cos30°＝4， ∴MHEM＝2AP， ∴AG≥AP＝2， ∴AG最小值是2． 故选：C． 二十二．矩形的判定与性质（共1小题） 41．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CP，作CQ⊥AB于点Q，由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，求得AB13，由S△ABC13CQ12×5，求得CQ，再证明四边形PECD是矩形，则CP＝DE，由CP≥CQ，得DE，则DE的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CP，作CQ⊥AB于点Q， ∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴S△ABC13CQ12×5， ∴CQ， ∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E， ∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°， ∴四边形PECD是矩形， ∴CP＝DE， ∴CP≥CQ， ∵DE， ∴DE的最小值为， 故选：B． 二十三．正方形的性质（共1小题） 42．（2024•陕西）如图，直线l经过正方形ABCD的中心O，分别与BC和AD相交于点E和点F，并与CD的延长线相交于点G．若AB＝4，AF＝3，则DG的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合三角形全等，得到CE＝AF，利用平行线分线段成比例，得到，从而得到结果． 【解答】解：连接AC， ∵O是正方形ABCD的中心， ∴O在AC上，且AO＝CO， ∵AF＝3，AD＝AB＝DC＝BC＝4， ∴FD＝1， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴CE＝AF＝3， ∵FD∥EC， ∴， ∴， 解得：GD＝2， 故选：D． 二十四．圆周角定理（共1小题） 43．（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 【答案】B 【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可． 【解答】解：连接OB、OC、OP． ∵AD是半圆O的直径， ∴∠AOD＝180°， ∵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°， ∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB、△BOC均是等边三角形， ∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°， ∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°， ∵OC＝OP， ∴△COP是等腰三角形， ∵∠PCB＝130°， ∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°， ∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠PBC∠COP40°＝20°， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°． 故选：B． 二十五．圆内接四边形的性质（共1小题） 44．（2024•济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　） A．42° B．41°20' C．41° D．40°20' 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，再根据三角形外角的性质得出∠CDF＝∠A+∠E，∠BCD＝∠F+∠CDF，由此得到2∠A+∠F+∠E＝180°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠CDF是△ADE的外角， ∴∠CDF＝∠A+∠E， ∵∠BCD是△CDF的外角， ∴∠BCD＝∠F+∠CDF， ∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E， ∵∠A+∠F+∠A+∠E＝180°， ∴2∠A+∠F+∠E＝180°， ∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'， ∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°， ∴∠A＝41°， 故选：C． 二十六．切线的性质（共1小题） 45．（2024•南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　） A．8 B．8.5 C．5 D．9 【答案】D 【分析】连接BE，作DH⊥BC于点H，由AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17，得AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED，求得CE8，再证明四边形ABHD是矩形，则BH＝AD，DH＝AB＝15，由勾股定得理152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2，求得AD＝9，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°， ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17， ∴AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°， ∴CE8， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠CHD＝90°， ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD，DH＝AB＝15， ∴CH＝BC＝BH＝17﹣AD， ∵DH2+CH2＝CD2，且CD＝CE+ED＝8+AD， ∴152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2， 解得AD＝9， 故选：D． 二十七．扇形面积的计算（共1小题） 46．（2024•青岛）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】A 【分析】连接AC，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可求得∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝25°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求得∠AOB＝50°，然后利用扇形的面积公式即可求得答案． 【解答】解：如图，连接AC， 则∠DAC＝∠DBC＝25°， ∵， ∴∠ADB＝∠DAC＝25°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝50°， ∵OA＝3， ∴扇形AOB的面积为， 故选：A． 二十八．圆锥的计算（共1小题） 47．（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可． 【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为2π， 故圆锥的底面圆的半径为1， 所以圆锥的高为：， 该圆锥的体积是：π． 故选：D． 二十九．作图—基本作图（共1小题） 48．（2024•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，DE＝4，则四边形BCDE的周长是（　　） A．22 B．21 C．20 D．18 【答案】A 【分析】设AE＝x，则BE＝8﹣x，根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定得出BC＝BE＝8﹣x，得出AD＝8﹣x，再根据勾股定理求出x，即可解答． 【解答】解：设AE＝x，则BE＝8﹣x， 在▱ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEB， ∵∠BCE＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE＝8﹣x， ∴AD＝8﹣x， 由作图可知DE⊥AB，即∠AED＝90°， 则AE2+DE2＝AD2， 则x2+42＝（8﹣x）2， 则x＝3， ∴BE＝BC＝5， ∴BC+BE+DE+CD＝22， 则四边形BCDE的周长是22． 故选A． 三十．作图—复杂作图（共2小题） 49．（2024•长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OMAB 【答案】D 【分析】由作图过程可知，∠AOM＝∠B，则OM∥BC，根据平行线的性质可得∠OMC+∠C＝180°．根据O是边AB的中点，OM∥BC，可得点M为AC的中点，即AM＝CM，进而可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，∠AOM＝∠B， 故A选项正确，不符合题意； ∵∠AOM＝∠B， ∴OM∥BC， ∴∠OMC+∠C＝180°， 故B选项正确，不符合题意； ∵O是边AB的中点，OM∥BC， ∴点M为AC的中点， ∴AM＝CM， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出OMAB， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 50．（2024•济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK．证明∠CDK＝15°，设CK＝x，根据CD＝CB，构建方程求解． 【解答】解：如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK． 由作图可知EF垂直平分线段AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，AB∥CD， ∴EF垂直平分线段CD， ∴DW＝CW， ∵AG＝AD＝CD， ∴AG＝2DW， ∵四边形DWGH是矩形， ∴HG＝DW， ∴AG＝2GH， ∴∠DAG＝30°， ∵AD＝AG， ∴∠ADG＝∠AGD（180°﹣30°）＝75°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDK＝15°， ∵JD＝JK， ∴∠JDK＝∠JKD＝15°， ∴∠CJK＝∠JDK+∠JKD＝30°， 设CK＝x，则JK＝2x，CJx， ∴CD＝2xx，BC＝x+2， ∵CD＝BC， ∴2xx＝x+2， ∴x1， ∴正方形的边长BC1+21． 故选：D． 三十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 51．（2024•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，DC＝4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接PC，EC，EC交BD于点P′，连接P′A．当点P与点P′重合时，PA+PE的值最小，最小值为EC的长． 【解答】解：如图，连接PC，EC，EC交BD于点P′，连接P′A． ∵四边形ABCD是菱形， ∵A，C关于BD对称， ∴当点P与点P′重合时，PA+PE的值最小，最小值为EC的长， ∵AC平分∠DCB， ∴∠ACD＝∠ACB∠DCB＝60°， ∵CB＝AB＝CD＝4， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝4， ∵E是AB的中点， ∴EC⊥AB，AE＝EB＝2， ∴EC2， ∴PA+PE的最小值为2． 故选：C． 三十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 52．（2024•淮安）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是（　　） A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形 C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2 D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于AP•BB' 【答案】C 【分析】根据每一选项逐一判断即可． 【解答】解：A选项：如图所示， ∵AB'⊥AB， ∴∠BAB'＝90°， ∵折叠， ∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝30°， ∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝30°， ∴∠B'AD＝∠AEB'， ∴B'A＝B'E，故A选项正确，不合题意； B选项：如图所示， 当B'落在AD上时，点E和B'重合， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∵折叠， ∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B， ∴△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝B'P＝AB'， ∴四边形ABPB′是菱形，故B选项正确，不合题意； C选项：如图所示， 当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°， ∴AE＜AB′＝2，故C选项错误，符合题意； D选项：如图所示，连接BB'交AP于点O， ∵折叠，且AP是折痕， ∴AP垂直平分BB'， ∴S四边形ABPB'＝S△ABP+S△AB'PAP•OBAP•OB′AP•BB'，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 三十三．旋转的性质（共3小题） 53．（2024•无锡）如图，等边△ABC的边长为2，点D在AB上，BD，连接CD，将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得到CE，连接DE交AC于点G．则点G到CD的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作DM⊥BC于M，得到∠DMB＝∠DMC＝90°，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，求得BM，DMBD，根据勾股定理得到CD，根据旋转的性质得到CD＝CE，∠DCE＝60°，根据等边三角形的性质得到DE＝CD＝CE，∠DCE＝60°，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过D作DM⊥BC于M， ∴∠DMB＝∠DMC＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵BD， ∴BM，DMBD， ∴CM＝BC﹣MB＝2， ∴CD， ∵将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得到CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ECG， ∵∠B＝∠E＝60°， ∴△BCD∽△ECG， ∴， ∴， ∴EG， ∴DG＝DE﹣EG， 过G作GH⊥CD于H， ∴GHDG， 故选：C． 54．（2024•呼和浩特）如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明△ADE∽△ABD，得出∠ADE＝∠ABD＝30°，再证明△ADE≌△FDE（SAS），得出EF＝AE＝BE＝1，再根据三角形面积公式得出△BDE的面积． 【解答】解：过点A作AG⊥BD于点G， ∵∠ABD＝30°，∠A＝105°， ∴∠ADB＝45°， 设AE＝BE＝a，则AB＝2a， ∴，BG， ∴DG＝AG＝a， ∴AD， ∵，， ∴， ∵∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD， ∴∠ADE＝∠ABD＝30°， ∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°＝∠ADE+∠EDF+∠CDF， ∴90°＝30°+∠EDF+30°， ∴∠EDF＝30°＝∠ADE， ∵AD＝CD＝DF，DE＝DE， ∴△ADE≌△FDE（SAS）， ∴EF＝AE＝BE＝1， 过点E作EH⊥BD于点H， ∴EH，BD， ∴△BED的面积， 故选：A． 55．（2024•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 【答案】B 【分析】因为BM＝5，要求△MBN′周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N'运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 【解答】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF于点G， ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形AMGE和BMGF都是矩形， ∴∠A＝∠MGN'＝90°， 由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN′， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN′， ∴△AMN≌△GMN′（AAS）， ∴MG＝AM， ∴点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M'，连接MB交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值， 最小值为BM+BM′， ∵BMAB＝5，MM′＝5+5＝10， ∴， 故选：B． 三十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 56．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论： ①； ②tan∠H1； ③BE平分∠CBD； ④2AB2＝DE•DH． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】通过证明△DCF∽△HBF，可得，故①错误；由tanH1，故②错误；由正方形的性质可得AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，可得DE＝BE，由角的数量关系可求∠CBE＝∠DBE，即BE平分∠CBD，故③正确；通过证明△DEB∽△DBH，可得2AB2＝DE•DH，故④正确；即可求解． 【解答】解：设AB＝BC＝CD＝AD＝a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB，BDa＝BH， ∴△DCF∽△HBF， ∴，故①错误； ∵tanH， ∴tanH1，故②错误； ∵BD＝BH， ∴∠H＝∠BDH， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠H， ∴∠CDE＝∠BDE＝∠H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD， ∴DE＝BE， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴∠CDE＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴BE平分∠CBD，故③正确； ∵∠BDE＝∠BDE，∠EDB＝∠H＝∠DBE， ∴△DEB∽△DBH， ∴， ∴DB2＝DE•DH， ∴2AB2＝DE•DH，故④正确； 故选：B． 三十五．解直角三角形的应用（共1小题） 57．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 三十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 58．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 【答案】A 【分析】根据题意可得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，然后设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝（x+5）m，分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB， 设BD＝CN＝x m， ∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m， 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m， 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°， ∴AN＝CN•tan53°x（m）， ∵AM+BM＝AN+BN＝AB， ∴x+5+1.8x+1.5， 解得：x＝15.9， ∴ANx＝21.2（m）， ∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m）， ∴电子厂AB的高度约为22.7m， 故选：A． 三十七．方差（共1小题） 59．（2024•大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（　　） A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于4 【答案】A 【分析】根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大， 此时（2+3+5+6）÷4＝4， 方差为s2[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2.5， 当数据为1，2，5，6时，（1+2+5+6）÷4＝3.5， s2[（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2]＝4.25，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时， （2+3+5+6）÷4＝4， s2[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2.5， 故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时， （2+3+4+5）÷4＝3.5，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，故该选项不符合题意． 故选：A． 三十八．几何概率（共1小题） 60．（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB＝2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的边长，即可求出几何概率． 【解答】解：如图：设AB＝2a，则圆的直径为2a， 则小正方形的边长为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 考点卡片 1．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 2．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 3．由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 5．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 7．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 8．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 9．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 10．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 11．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 12．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 13．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 14．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 15．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 16．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 17．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 18．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 19．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 20．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 21．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 22．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 23．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 24．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 25．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 26．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 27．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 28．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 29．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 30．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 31．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 32．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 33．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 34．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 35．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 36．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 37．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 38．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 39．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 40．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 41．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 42．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 43．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 44．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 45．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 46．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 47．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 48．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 49．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 50．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 51．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 52．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 53．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 54．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 55．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 56．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 57．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 58．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 59．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 60．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 61．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 62．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 63．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 64．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 65．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 66．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 67．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 68．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 69．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 70．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 71．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 72．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 73．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 74．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 75．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 76．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 77．极差 （1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 极差＝最大值﹣最小值． （2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况． （3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大． 78．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 79．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 80．分数除法的应用 1．先找单位一，一般题目中，是谁，比谁，占谁，相当于谁，谁是单位一．出现两个或者多个这样的字样时涉及到单位一的转化．2．工程问题里一般工作总量为单位一．3．除法中算式法解应用题时除了先找单位一，其次找到题中的量和对应的率．对应量÷对应率＝单位一所对应的量．4．方程法解应用题时，先找等量关系．一般情况下设单位一x． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/19 23:29:05；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$