2024年全国中考数学真题卷填空压轴题60道（上）

2024年全国中考数学真题卷-填空压轴题60道（上） 一．规律型：数字的变化类（共2小题） 1．（2024•德州）观察下列等式： S1； S2； S3； … 则S10的值为 　 　． 2．（2024•潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ 　 　，n＝ 　 　． 二．规律型：图形的变化类（共3小题） 3．（2024•攀枝花）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 　 　块小正方体． 4．（2024•西藏）如图是由若干个大小相同的“〇”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“〇”，第2个图案用了6个“〇”，第3个图案用了12个“〇”，第4个图案用了20个“〇”，……，依照此规律，第n个图案中“〇”的个数为 　 　（用含n的代数式表示）． 5．（2024•泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 　 　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 三．一元一次方程的应用（共2小题） 6．（2024•攀枝花）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 　 　． 7．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　． 四．二元一次方程组的解（共1小题） 8．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　 　． 五．一元二次方程的解（共1小题） 9．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　，　 　． 六．一元一次不等式组的应用（共1小题） 10．（2024•常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 　 　． 七．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 11．（2024•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　 　． 12．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；…按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　 　． 八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 13．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　 　． 九．一次函数的应用（共1小题） 14．（2024•济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　 　kW•h． 一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 15．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 　 　． 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 16．（2024•陕西）如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数y（k＞0）的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为32，则k的值为 　 　． 17．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y（k≠0）的图象上，则k＝ 　 　． 18．（2024•无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 　 　． 19．（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　 　． ①函数y＝2x+4是“倍值函数”； ②函数y的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）； ③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mxm的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m； ④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为． 一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 20．（2024•广元）已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 　 　． 一十三．反比例函数的应用（共1小题） 21．（2024•哈尔滨）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝　 　V． 一十四．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 22．（2024•巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　． ①； ②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2． 一十五．二次函数图象与几何变换（共1小题） 23．（2024•镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 　 　（填写序号）． 一十六．抛物线与x轴的交点（共4小题） 24．（2024•无锡）经过点（0，3）且平行于x轴的直线与二次函数yx+1的图象交于A、B两点（A在B的左侧），将图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），若在x轴上存在点E使得四边形ACEB为菱形，则m的值为 　 　． 25．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　 　． 26．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　． 27．（2024•通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． ①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴； ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4； ③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2． 一十七．展开图折叠成几何体（共1小题） 28．（2024•青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 　块． 一十八．垂线段最短（共1小题） 29．（2024•资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　 　． 一十九．勾股定理（共1小题） 30．（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　 　． 二十．平面镶嵌（密铺）（共1小题） 31．（2024•淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．结合图1、图2信息，可求得BC的长度是 　 　dm． 二十一．菱形的性质（共2小题） 32．（2024•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 　 　． 33．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 二十二．矩形的性质（共1小题） 34．（2024•巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 　 　． 二十三．正方形的性质（共2小题） 35．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　 　． 36．（2024•呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝　 　． 二十四．圆周角定理（共1小题） 37．（2024•长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG； ④当2，AB＝6时，△DFG的面积是， 上述结论中，正确结论的序号有 　 　． 二十五．切线的性质（共2小题） 38．（2024•无锡）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（0，2），半径为，点P在函数y＝x﹣1的图象上，过点P作⊙A的切线，切点分别为M、N，则PA•MN的最小值为 　 　，此时点P的坐标为 　 　． 39．（2024•青岛）如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC，则半径OC的长为 　 　． 二十六．三角形的内切圆与内心（共1小题） 40．（2024•绵阳）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上运动，△ADE的内切圆与DE相切于点G，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接BF．当点E恰为AB的三等分点（靠近点A）时，且，，则cos∠ABF＝ 　 　． 二十七．正多边形和圆（共2小题） 41．（2024•淮安）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝　 　． 42．（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　 　． 二十八．弧长的计算（共2小题） 43．（2024•甘南州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　 　． 44．（2024•兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　 　． 二十九．圆锥的计算（共1小题） 45．（2024•徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 　 　． 三十．作图—基本作图（共3小题） 46．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 　 　． 47．（2024•辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 　 　（用含a的代数式表示）． 48．（2024•甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 　 　度． 三十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 49．（2024•西宁）如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PB，PE，则PB+PE的最小值是 　 　． 三十二．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 50．（2024•海南）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D′在边BC上，点C的对应点为C′，则DE的最小值为 　 　，CF的最大值为 　 　． 51．（2024•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　 　． 三十三．胡不归问题（共1小题） 52．（2024•广元）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则ACBC的最大值为 　 　． 三十四．相似三角形的判定与性质（共3小题） 53．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　 　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　 　． 54．（2024•济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线． （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F． （2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G． （3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． （4）画射线AH． （5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M． （6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　 　.（只填序号） ①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB． 55．（2024•泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 　 　． 三十五．解直角三角形的应用（共2小题） 56．（2024•西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°；③如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 　 　千米（参考数据：π≈3，sin37°≈0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.8） 57．（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 三十六．方差（共2小题） 58．（2024•常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　 　（填“＞”、“＝”或“＜”）． 59．（2024•兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高． 其中正确的是 　 　.（填序号） 三十七．圆的性质（共1小题） 60．（2024•德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 　 　cm． 2024年全国中考数学真题卷填空压轴题60道（上） 参考答案与试题解析 一．规律型：数字的变化类（共2小题） 1．（2024•德州）观察下列等式： S1； S2； S3； … 则S10的值为 　10　． 【答案】10． 【分析】先求出S1，S2，S3，...，再根据其规律求出S10即可． 【解答】解：∵1， 1， 1， ...， ∴S1＝11+12， S2＝112+13， S3＝1113+14， ...， ∴S10＝1110． 故答案为：10． 2．（2024•潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ 　45　，n＝ 　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【解答】解：由图中排布可知，当正整数为k2时， 若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数在下一行，上一个数在第2列； 若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数在下一列，上一个数在第2行； ∵， 而2025＝452，在第45行，第1列， ∴2024在第45行，第2列， ∴m＝45，n＝2， 故答案为：45，2． 二．规律型：图形的变化类（共3小题） 3．（2024•攀枝花）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 　36　块小正方体． 【答案】36． 【分析】由图形可知，其第一层有1个，第二层有1+2个，第三层有1+2+3个，进而可推出第n层的个数． 【解答】解：第一层：1个；第二层：1+2个；第三层：1+2+3个； 第n层：1+2+3+…+nn（n+1）个． 当n＝8时，8×9＝36个， 故答案为：36． 4．（2024•西藏）如图是由若干个大小相同的“〇”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“〇”，第2个图案用了6个“〇”，第3个图案用了12个“〇”，第4个图案用了20个“〇”，……，依照此规律，第n个图案中“〇”的个数为 　n2+n　（用含n的代数式表示）． 【答案】n2+n 【分析】根据所给图形，依次求出图形中“〇”的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中“〇”的个数为：2＝1×2； 第2个图案中“〇”的个数为：6＝2×3； 第3个图案中“〇”的个数为：12＝3×4； …， 所以第n个图案中“〇”的个数为：n（n+1）＝n2+n（个）． 故答案为：n2+n． 5．（2024•泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 　12　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12． 【分析】根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，“●”的个数为：4＝1×2+2； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1+2，“●”的个数为：6＝2×2+2； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1+2+3，“●”的个数为：8＝3×2+2； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1+2+3+4，“●”的个数为：10＝4×2+2； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n，“●”的个数为：2n+2； 由题知， ， 解得n1＝﹣1，n2＝12， 又因为n为正整数， 所以n＝12， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三．一元一次方程的应用（共2小题） 6．（2024•攀枝花）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 　3　． 【答案】3 【分析】根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等列方程可解得答案． 【解答】解：如图： 根据题意得：x+5+z＝2+9+z， ∴x＝6， ∵9+5＝x+y， ∴y＝14﹣6＝8， ∵a+y＝2+9， ∴a＝11﹣8＝3． 故答案为：3． 7．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解． 【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 四．二元一次方程组的解（共1小题） 8．（2024•宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　　． 【答案】． 【分析】将方程组整理得，然后结合已知条件可得x﹣2＝3，2y＝﹣2，解方程即可． 【解答】解：将方程组整理得， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴x﹣2＝3，2y＝﹣2， 解得：x＝5，y＝﹣1， 即关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 五．一元二次方程的解（共1小题） 9．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　2　，　4　． 【答案】2，4． 【分析】根据（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0中x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0，再根据4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的根，从而得出ax2+bx+c＝0的另一个根． 【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0， 即x＝2或ax2+bx+c＝0， ∵4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根， ∴b2﹣4ac≥0，且4， ∵a，b，c是有理数，a≠0， ∴4也是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根， ∴该方程的另外两根分别是2和4． 故答案为：2，4． 六．一元一次不等式组的应用（共1小题） 10．（2024•常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 　54≤v≤72　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用路程＝﹣速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v（km/h）的取值范围． 【解答】解：v km/h m/s． 根据题意得：， 解得：54≤v≤72， ∴车速v（km/h）的取值范围是54≤v≤72． 故答案为：54≤v≤72． 七．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 11．（2024•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　　． 【答案】． 【分析】将点（1，0）代入直线y＝kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可． 【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P． 设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将坐标A（3，0）和B（0，3）分别代入y＝k1x+b1， 得， 解得， ∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3． 将点（1，0）代入y＝kx+b， 得k+b＝0， 解得b＝﹣k， ∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k． ， 解得， ∴P（，）， ∵SRt△AOB3×3， ∴远离原点部分的面积为， ∴（3﹣1）， ∴k． 故答案为：． 12．（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0 ），以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；…按照这样的规律进行下去，点A2024的横坐标是 　21012　． 【答案】21012． 【分析】根据题意，依次求出OAn（n为正整数）的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：因为直线l的表达式为y＝x， 所以直线l平分第一象限， 即直线l与x轴正半轴的夹角为45°． 因为点A1的坐标为（）， 所以OA1． 由作图过程可知， OB1＝OA1． 又因为B1A2⊥l， 所以△OB1A2是等腰直角三角形， 所以， 同理可得， OA3， OA4＝4， …， 所以（n为正整数）， 当n＝2024时， ， 所以点A2024的横坐标为21012． 故答案为：21012． 八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 13．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】先求出点A坐标，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0），可得△BNC∽△CMA，设点B（4m，3m），则OB＝5m，列出即，整理出方程x2﹣（4﹣4m）x+9m＝0，利用判别式确定m的取值范围，根据AB＝5﹣5m确定最值． 【解答】解：如图，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0）， ∵点A在函数yx图象上，且点A的横坐标为4， ∴y3， ∴A（4，3）， OA＝5， 设点B（4m，3m），则OB＝5m， ∴AB＝5﹣5m， NC＝x﹣4m ∵∠ACB＝90°， ∴△BNC∽△CMA， ∴即， 整理得：x2﹣（4+4m）x+25m＝0， 点C在x轴上，方程必有实数解， ∴Δ＝（4+4m）2﹣100m≥0，即16m2﹣68m+16≥0， ∴4m2﹣17m+4≥0， 解得m≥4（舍去）或m， ∴m取最大值为， ∴AB＝5﹣5m＝5． 九．一次函数的应用（共1小题） 14．（2024•济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　12　kW•h． 【答案】12． 【分析】根据“电动汽车每千米的耗电量＝剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l1，l2的函数关系式，将x＝300分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【解答】解：A款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣48）÷200＝0.16（kW•h），B款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣40）÷200＝0.2（kW•h）， ∴l1图象的函数关系式为y1＝80﹣0.16x，l2图象的函数关系式为y2＝80﹣0.2x， 当x＝300时，y1＝80﹣0.16×300＝32，y2＝80﹣0.2×300＝20， 32﹣20＝12（kW•h）， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW•h． 故答案为：12． 一十．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 15．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 　12　． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，则BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，AM＝OA﹣OM＝3，由△ADN∽△ABM得DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，由此得点D（4，2），则k＝8，进而得S△OCE8＝4，S梯形OABC（BC+OA）•OC＝21，S△AODOA•DN＝5，然后根据S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD可得出答案． 【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示： ∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°， ∴四边形OMBC为矩形， ∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6， ∴AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3， ∵BD＝2AD， ∴AD：AB＝1：3， ∵BM⊥x轴，DN⊥x轴， ∴BM∥DN， ∴△ADN∽△ABM， ∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB， 即DN：6＝AN：3＝1：3， ∴DN＝2，AN＝1， ∴ON＝OA﹣AN＝5﹣1＝4， ∴点D的坐标为（4，2）， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D， ∴k＝8， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE8＝4， ∵S梯形OABC（BC+OA）•OC（2+5）×6＝21，S△AODOA•DN5×2＝5， ∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD＝21﹣4﹣5＝12． 一十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题） 16．（2024•陕西）如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数y（k＞0）的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为32，则k的值为 　15　． 【答案】15． 【分析】依题意得点C（3，n），则AC＝m﹣n，BC＝8，根据△ABC的面积为32得8（m﹣n）＝32，即m﹣n＝8，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝3m＝﹣5n，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【解答】解：∵点A（3，m），点B（﹣5，n），AC和BC分别垂直于x轴和y轴， ∴点C的坐标为（3，n），且∠C＝90°， ∴AC＝m﹣n，BC＝3﹣（﹣5）＝8， ∵△ABC的面积为32， ∴BC•AC＝32， ∴8（m﹣n）＝32， 整理得：m﹣n＝8， ∵点A（3，m），点B（﹣5，n）在同一个反比例函数（k＞0）的图象上， ∴k＝3m＝﹣5n， 解方程组，得：， ∴k＝3m＝15． 故答案为：15． 17．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y（k≠0）的图象上，则k＝ 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM，在△AB'M中，由勾股定理求出，则AM，证明∴△B'C'D∽△MB'A相似，利用相似三角形的性质得C'D，B'D，则OD，由此得点C'，据此即可得出k的值． 【解答】解：设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，如图所示： 则四边形ODC'H为矩形， ∴OD＝C'H， 根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，∠MB'C'N＝∠ABCN＝90°， ∵点A（4，0），C是矩形OABC的顶点， ∴BC＝OA＝B'C'＝4，OC＝AB，∠MAB'＝90°， 设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM， ∵点B'是OA的中点， ∴OB'＝AB'＝2， 在△AB'M中，由勾股定理得：AM2+AB'2＝B'M2， 即， 解得：， ∴BM＝B'M，AM， ∵∠MB'C＝90°，∠B'AM＝90°， ∴∠DB'C'+∠AB'M＝90°，∠AMB'+∠AB'M＝90°， ∴∠DB'C'＝∠AMB'， 又∵∠B'DC'＝∠B'AM＝90°， ∴△B'C'D∽△MB'A， ∴C'D：AB'＝B'D：AM＝B'C'：MB'， 即：， ∴C'D，B'D， ∴OD＝B'D﹣OB'， ∴点C'的坐标为， ∵点C'在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 18．（2024•无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 　2或3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【解答】解：∵OA＝OB＝5， ∴A（﹣5，0），B（0，5）， 设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′， ∴A′（﹣5+a，﹣a），B′（a，5﹣a）， ∵A′、B′两点恰好都落在函数的图象上， ∴把B′（a，5﹣a）代入得：a（5﹣a）＝6， 解得：a＝2或a＝3． 故答案为：2或3． 19．（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　①③④　． ①函数y＝2x+4是“倍值函数”； ②函数y的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）； ③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mxm的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m； ④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】见试题解答内容 【分析】依据题意，根据“倍值函数”的定义，结合一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个进行判断分析可以得解． 【解答】解：由题意，对于①，∵y＝2x+4， 又令y＝2x， ∴2x＝2x+4，此时方程无解． ∴y＝2x+4不是“倍值函数”，故①错误． 对于②，∵y， 又令y＝2x， ∴2x． ∴x＝2或x＝﹣2． ∴y图象上的“倍值点”为（2，4），（﹣2，﹣4），故②正确． 对于③∵y＝（m﹣1）x2+mxm， 又令y＝2x， ∴2x＝（m﹣1）x2+mxm，即（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0． ∵函数y＝（m﹣1）x2+mxm的图象上有两个“倍值点”， ∴方程（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0的Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＞0，且m﹣1≠0． ∴m且m≠1，故③错误． 对于④，∵y＝x2+（m﹣k+2）x， 又令y＝2x， ∴2x＝x2+（m﹣k+2）x，即x2+（m﹣k）x0． ∵y＝x2+（m﹣k+2）x的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴方程x2+（m﹣k）x0的Δ＝（m﹣k）2﹣4（）＝0． ∴n＝（m﹣k）2+2k． ∴n关于m的函数的对称轴是直线m＝k，此时最小值为2k． 又∵y＝x2+（m﹣k+2）x存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k， ∴①， ∴k＝0； ②， ∴此时无解； ③， ∴k（舍去）或k． 综上，k＝0或k，故④错误． 故答案为：①③④． 一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 20．（2024•广元）已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 　（0，4）　． 【答案】（0，4）． 【分析】依据题意，由A在yx上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y上，进而可得k＝2×24，进而可得反比例函数为y，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为yx+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y上，最后可得bb＝4，求出b可以得解． 【解答】解：由题意，∵A在yx上， ∴m＝2． ∴A（2，2）． 又A在反比例函数y上， ∴k＝2×24． ∴反比例函数为y． 由翻折的性质，BC⊥OA， ∴可设BC为yx+b， ∴B为（0，b）． 设直线BC与直线OA的交点为P， ∴． ∴P（b，b）． 又B与C关于直线OA对称，且B（0，b）， ∴C（b，b）． 又C在反比例函数y上， ∴bb＝4． ∴b＝4或b＝﹣4（舍去）． ∴B（0，4）． 故答案为：（0，4）． 一十三．反比例函数的应用（共1小题） 21．（2024•哈尔滨）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝　36　V． 【答案】36． 【分析】根据题意，先列出反比例函数解析式I，根据函数图象过（9，4）代入计算出U值即可． 【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴I． 由图象可知，当R＝9时，I＝4， ∴U＝I•R＝4×9＝36（v）． 答：蓄电池的电压是36v． 故答案为：36． 一十四．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 22．（2024•巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　①③④　． ①； ②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3； ③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立； ④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2． 【答案】①③④． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，从而可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1，故1，即b＝2a，再结合二次函数的性质，逐个进行判断可以得解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1． ∴1． ∴b＝2a． ∴2，故①正确． 将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8， ∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8 ＝5（a2﹣2a+1）+3 ＝5（a﹣1）2+3． ∵， ∴当a时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（1）2+3，故②错误． ∵b＝2a， ∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a ＝am2+2am+a ＝a（m2+2m+1） ＝a（m+1）2． ∵a＞0，（m+1）2≥0， ∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确． ∵x1+x2+2＞0， ∴1． ∴x1，x2的中点在对称轴的右侧． ∵x1＜x2， ∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近． ∵抛物线开口向上， ∴y1＜y2，故④正确． 故答案为：①③④． 一十五．二次函数图象与几何变换（共1小题） 23．（2024•镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 　①②④　（填写序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线y＝x2+2x+3与直线y＝﹣x没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【解答】解：将二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到y＝x2﹣2ax， 当x＝0时，y＝0， ∴平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当a＝﹣1时，则y＝x2+2x+3， 令x2+2x+3＝﹣x，即x2+3x+3＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0， ∴抛物线y＝x2+2x+3与直线y＝﹣x没有交点， ∵抛物线开口向上， ∴当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方； 故②正确； ∵二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数）， ∴开口向上，对称轴为直线x＝a， ∴当x＞a时，函数值y随自变量x增大而增大， 故③错误； ∵y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2， ∴顶点为（a，3﹣a2）， ∵3﹣a2≤3， 故④正确． 故答案为：①②④． 一十六．抛物线与x轴的交点（共4小题） 24．（2024•无锡）经过点（0，3）且平行于x轴的直线与二次函数yx+1的图象交于A、B两点（A在B的左侧），将图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），若在x轴上存在点E使得四边形ACEB为菱形，则m的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】先解方程x+1＝0得到抛物线yx+1与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0），再利用抛物线的平移得到C（1+m，0），接着解方程x+1＝3得A（﹣1，3），B（4，3），所以AB＝5，则根据菱形的性质得到AC＝AB＝5，然后利用两点间的距离公式得到（1+m+1）2+32＝52，于是解方程可得到m的值． 【解答】解：当y＝0时，x+1＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∴抛物线yx+1与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0）， ∵抛物线yx+1向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得的二次函数曲线与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， ∴C（1+m，0）， 当y＝3时，x+1＝3， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，3），B（4，3）， ∴AB＝5， ∵四边形ACEB为菱形， ∴AC＝AB＝5， ∴（1+m+1）2+32＝52， 解得m1＝2，m2＝﹣6（舍去）， 即m的值为2． 故答案为：2． 25．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ 　　． 【答案】． 【分析】解：①由A1（1，0）得B1（1，），由A2（2，0）得B2（2，1），先求出直线A1B2和直线A2B1的解析式，再求出C1坐标，最后求出ai．同理求出a2，找出规律，再计算即可． 【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，）， 由A2（2，0）得B2（2，1）， 设直线A1B2的解析式为y＝kx+b， 代入由A1（1，0），B2（2，1）得： ， ∴k＝1，b＝﹣1， ∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1， 同理直线A2B1的解析式为yx， 联立得x﹣1x， ∴x， ∴C1（，）， ∴ai（）÷[1×（2）]． ②由A3（3，0）得B3（3，）， 同①方法得直线A2B3的解析式为yx， 直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3， 联立得xx+3， ∴x， ∴C2（，）， ∴a21×（）÷[（）]， •••， ∴a2024． 解法二：由题意A1B112，A2B222，A3B332，A4B442， ∵△A1B1C1∽△A2B2C2， ∴a1＝（）2＝（）2， 同法可得a2，…， ∴a2024． 故答案为：． 26．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的对称轴是直线x1． ∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0）， ∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）． ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4． 27．（2024•通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 　①④　（填写所有正确结论的序号）． ①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴； ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4； ③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2． 【答案】①④． 【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解． 【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4， ∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确． 又若此抛物线与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0． ∴m＝4，故②错误． 由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4， ∴对称轴是直线xm． 又抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）， ∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1． ∴y1＞y2，故③错误． 由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m， ∴顶点为（m，m﹣4）． ∴顶点在直线y＝x﹣4上． 又直线y＝x与y＝x﹣4平行， ∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离． 又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°， 且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的， ∴两平行线间的距离为4sin45°＝42． ∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确． 故答案为：①④． 一十七．展开图折叠成几何体（共1小题） 28．（2024•青岛）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　12　块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　144　块． 【答案】见试题解答内容 【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答． 【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）． 故答案为：12；144． 一十八．垂线段最短（共1小题） 29．（2024•资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　2＜AB＜8　． 【答案】2＜AB＜8． 【分析】根据垂线段最短可知当BC⊥AB时，AB最短，当BC⊥AC时，AB最长，进而确定AB的取值范围即可． 【解答】解：如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1AC＝2， 当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8， 所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8， 故答案为：2＜AB＜8． 一十九．勾股定理（共1小题） 30．（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 　48　． 【答案】48． 【分析】根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和＝8+4，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和＝8+2×4，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4． 【解答】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y． ∴正方形A的面积为x2，正方形B的面积为y2． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边． ∴正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：x2+y2＝22＝4． ∴正方形A的面积+正方形B的面积＝4； ∴图①中所有正方形的面积和＝4+4＝8． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积＝正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝4． ∴图2中所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12． 即一次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+4＝12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+2×4＝8+8＝16． ∴10次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和+10×4＝8+40＝48． 二十．平面镶嵌（密铺）（共1小题） 31．（2024•淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．结合图1、图2信息，可求得BC的长度是 　5.8　dm． 【答案】见试题解答内容 【分析】作CM⊥AB，设AB＝a dm，CD＝b dm，由图一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣3＝4dm，四边形CDNM是矩形，BM＝10﹣（a+b），再根据勾股定理求出a+b，即可解答． 【解答】解：作CM⊥AB，设AB＝a dm，CD＝b dm， 由图一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣3＝4dm，四边形CDNM是矩形， 则MN＝CD＝b，∠BMC＝90°， 则BM＝10﹣AB﹣MN＝10﹣（a+b）， ∵CM2+BM2＝BC2， ∴（a+b）2＝42+[10﹣（a+b）]2 ∴a+b＝5.8， ∴BC＝5.8dm． 故答案为：5.8． 二十一．菱形的性质（共2小题） 32．（2024•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AC与BD交于点O，根据菱形的性质求出OB、AC的此，再证△OAB∽△OEA，求出OE的长，即可得出BE的此，再根据对角线互相垂直的四边形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，， ∴AC＝2OA＝6， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠EOA＝90°， ∴∠OAE+∠OEA＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠OAB+∠OAE＝90°， ∴∠OAB＝∠OEA， ∴△OAB∽△OEA， ∴， ∴， ∴OE， ∴BE＝OB+OE＝4， ∴四边形ABCE的面积为， 故答案为：． 33．（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　96　． 【答案】见试题解答内容 【分析】作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，由菱形的性质得OD＝OB，OA＝OC，AC⊥BD，则，求得OHBC＝5，再证明△OFH∽△EFC，得，则ECOH＝6，再证明∠OEC＝∠COE，则OC＝EC＝6，求得OB8，则BD＝16，AC＝12，所以S菱形ABCDBD•AC＝96，于是得到问题的答案． 【解答】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC， ∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BC＝10，OD＝OBBD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴，∠BOC＝90°， ∴OHBC＝5， ∵OH∥EC，， ∴△OFH∽△EFC， ∴， ∴ECOH5＝6， ∵BC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC， ∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC， ∴∠OEC＝∠COE， ∴OC＝EC＝6， ∴OB8， ∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12， ∴S菱形ABCDBD•AC16×12＝96， 故答案为：96． 二十二．矩形的性质（共1小题） 34．（2024•巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 　　． 【答案】． 【分析】过点F作FH⊥DB，垂足为H，利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC，从而得出BF，利用三角形面积求出FH即可． 【解答】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD， ∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝BD5， ∴S△ADCAD•DCAC•DE，即4×35×DE， 解得：DE， ∴cos∠EDC，即， 解得：DF， ∴FC， ∴BF＝BC−FC＝4−， ∴S△BDFBD•FHBF•DC，即5×FH3， 解得：FH， 故答案为：． 二十三．正方形的性质（共2小题） 35．（2024•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（）2，求出a的值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°，ABAC＝5， ∵GH⊥AC， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∴AH＝HG，AGAH， ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC， 在△DGH和△DEC中， ， ∴△DGH≌△DEC（AAS）， ∴GH＝DC，DH＝CE， ∴AH＝HG＝DC， 设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b， ∵正方形DEFG的边长为， ∴DE， ∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2， ∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2， 将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0， 解得a1＝a2＝2， ∴AH＝a＝2， ∴AGAH＝2， ∴BG＝AB﹣AG＝523， 故答案为：3． 36．（2024•呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝　　． 【答案】． 【分析】先证明△AEF≌△AED（SAS），再通过角度计算得出∠AEM是等腰直角三角形，求出EF的长度，最后利用勾股定理和射影定理，得出DG的长度． 【解答】解：设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x， ∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x， ∴∠CDE＝x， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝∠AEB＝45°， 过点A作AM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AE于点N， ∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∵AM， ∴EM＝AM＝7， ∴EF＝6， ∴DE＝EF＝6， ∴DN， ∴AN， 由射影定理得：NG， ∴DG， 故答案为：． 二十四．圆周角定理（共1小题） 37．（2024•长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG； ④当2，AB＝6时，△DFG的面积是， 上述结论中，正确结论的序号有 　①②③　． 【答案】①②③． 【分析】①根据点D是AC弧的中点得AD弧＝CD弧，由此可对结论①进行判断； ②先证明∠ADE＝∠DAC得AF＝FD，再证明∠BDE＝∠AGD得FD＝FG，由此可对结论②进行判断； ③在Rt△ADG中tan∠DAC，在Rt△ABD中tan∠ABD，再根据∠ABD＝∠DAC得AD2＝10，然后由勾股定理得AG，再由结论②正确可对结论③进行判断； ④先证明点D，C为半圆弧上的三等分点，则∠ABD＝∠DAC＝30°，由此得AD＝3，DG，进而得S△ADGAD•DG，然后根据AF＝FG得S△DFGS△ADG，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵点D是的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠DAC， 故结论①正确； ②∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BDE+∠ABD＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴AF＝FD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°， 又∵∠ADE＝∠DAC， ∴∠BDE＝∠AGD， ∴FD＝FG， ∴AF＝FG， 故结论②正确； ③∵DG＝2，GB＝3， ∴BD＝DG+GB＝5， 在Rt△ADG中，tan∠DAC， 在Rt△ABD中，tan∠ABD， ∵∠ABD＝∠DAC， ∴， ∴AD2＝10， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG， ∴AF＝FGAG， 故结论③正确； ④∵点D是的中点，2， ∴， 即点D，C为半圆弧上的三等分点， ∴∠ABD＝∠DAC＝30°， 在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD， ∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×sin30°＝3， 在Rt△ADG中，tan∠DAC， ∴DG＝AD•tan∠DAC＝3×tan30°＝√3， ∴S△ADGAD•DG3， ∵AF＝FG， ∴S△DFGS△ADG， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 二十五．切线的性质（共2小题） 38．（2024•无锡）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心为（0，2），半径为，点P在函数y＝x﹣1的图象上，过点P作⊙A的切线，切点分别为M、N，则PA•MN的最小值为 　3　，此时点P的坐标为 　　． 【答案】3，． 【分析】连接AM、AN，设直线y＝x﹣1分别交x轴、y轴于点L、H，由切线的性质及切线长定理得PM⊥AM，PM＝PN，则PM，所以当AP的值最小时，则PM的值最小，由S四边形AMPNPA•MNPMPNPM，得PA•MN＝2PM，可求得L（1，0），H（0，﹣1），则OL＝OH＝1，取点E（2，0），连接AE交直线y＝x﹣1于点I，则OE＝OA＝2，所以AH＝3，由AHAI＝3，求得AI，因为PA≥AI，所以当点P与点I重合时，PA的值最小，PA＝AI，则PM，所以PA•MN＝3，作IF⊥x轴于点F，则IF＝LF＝EF，所以I，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AM、AN，设直线y＝x﹣1分别交x轴、y轴于点L、H， ∵PM与⊙A相切于点M，PN与⊙O相切于点N，⊙A的圆心为（0，2），半径为， ∴PM⊥AM，PM＝PN，AM＝AN， ∴∠AMP＝90°， ∴PM， ∴当AP的值最小时，则PM的值最小， ∵点P、点A都在MN的垂直平分线上， ∴PA垂直平分MN， ∵S四边形AMPN＝S△APM＝S△APN， ∴PA•MNPMPNPMPMPM， ∴PA•MN＝2PM， ∴当PM最小时，则PA•MN的值最小， 直线y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1， 当y＝0时，则x﹣1＝0， 解得x＝1， ∴L（1，0），H（0，﹣1）， ∴OL＝OH＝1， 取点E（2，0），连接AE交直线y＝x﹣1于点I，则OE＝OA＝2， ∴AH＝OA+OH＝2+1＝3， ∵∠HOL＝∠AOE＝90°， ∴∠OHL＝∠OLH＝∠ILE＝∠OEA＝∠OAE＝45°， ∴∠AIH＝∠EIN＝90°，AI＝HI，EI＝LI， ∵AHAI＝3， ∴AI， ∵AI⊥HL，点P在直线HL上， ∴PA≥AI， ∴当点P与点I重合时，PA的值最小，此时PM的值最小，PA•MN的值最小， ∵PA＝AI， ∴PM， ∴PA•MN＝23， ∴PA•MN的最小值为3， 作IF⊥x轴于点F， ∵EL＝2﹣1＝1， ∴IF＝LF＝EFEL， ∴OF＝1， ∴I， 故答案为：3，． 39．（2024•青岛）如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC，则半径OC的长为 　6　． 【答案】6． 【分析】连接OE，由OE＝OC，AB＝BC，可得∠OEC＝∠BAC，AB∥OE，即可得cos∠ABCcos∠EOC，由MN是⊙O的切线，得∠OEN＝90°，故，从而OC＝OE＝6． 【解答】解：连接OE，如图： ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠OCE， ∴∠OEC＝∠BAC， ∴AB∥OE， ∴∠ABC＝∠EOC， ∵cos∠ABC， ∴cos∠EOC， ∵MN是⊙O的切线， ∴∠OEN＝90°， ∴， ∵ON＝10， ∴OE＝6， ∴OC＝OE＝6； 故答案为：6． 二十六．三角形的内切圆与内心（共1小题） 40．（2024•绵阳）如图，在矩形ABCD中，点E在AB上运动，△ADE的内切圆与DE相切于点G，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接BF．当点E恰为AB的三等分点（靠近点A）时，且，，则cos∠ABF＝ 　　． 【答案】． 【分析】要求cos∠ABF需要构造直角三角形，所以过过F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，求出BM和BF的长度即可，折叠问题优先考虑勾股方程，先根据切线长定理+Rt△ADE求出AD＝4，AB＝6，再根据△EFM∽△FDN得到FN＝2EM．DN＝2FM，然后设参，利用Rt△EFM建立勾股方程，从而求出EM、FM的长度，进而得到BM的长度，最后利用勾股定理求出BF的长度即可得解． 【解答】解：如图，设△ADE内切圆圆心为O，连接OG，过O作OH⊥AB于点H，过O作OK⊥AD于点K，则四边形OKAH为正方形， 根据切线长定理可得DK＝DG1，EH＝EG1， 设⊙O半径为r，则OK＝OG＝OH＝r， ∴AK＝AH＝r， ∴AD＝DK+AK1+r，AE1+r， 在Rt△ADE中，DE＝DG+EG＝2，AD2+AE2＝DE2， 即（1+r）2+（1+r）2＝（2）2， 解得r＝3或r＝﹣3（舍去）， ∴AD＝4，AE＝2， ∴AB＝3AE＝6， ∵折叠， ∴DF＝AD＝4，EF＝EA＝2，∠EFD＝90°， 过F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，则∠EMF＝∠DNF＝90°， ∵∠DFN＝∠FEM＝90°﹣∠EFM， ∴△EFM∽△FDN， ∴， ∴FN＝2EM．DN＝2FM， 设EM＝x，则FN＝2x， ∴FM＝4﹣2x， 在Rt△EFM中，EM2+FM2＝EF2， 即x2+（4﹣2x）2＝22， 解得x或x＝2（舍去）， ∴EM，FM＝4﹣2x， ∴BM＝AB﹣AE﹣EM， 在Rt△BFM中，BF， ∴cos∠ABF； 故答案为：． 二十七．正多边形和圆（共2小题） 41．（2024•淮安）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝　　． 【答案】． 【分析】过Q作QH⊥CB，连接EC，则易证EQHC是矩形，所以EQ＝CH，再延长QP、CB交于点G，PI⊥CB于点I，解Rt△BPI，求出PI和BI长度，设参，最后利用△PGI∽△QCH求参即可得解． 【解答】 解：如图，延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，则∠QHC＝∠PIC＝90°， 由反射光线的性质可知∠GQH＝∠CQH， ∴90°﹣∠GQH＝90°﹣∠CQH， 即∠G＝∠QCH， ∴QG＝QC， ∵QH⊥GC， ∴CH＝HG， 设BG＝a，则GC＝a+2， ∴CHCG， ∵六边ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC120°， ∴∠ABG＝60°， ∵P是AB中点， ∴BPAB＝1， 在Rt△BPI中，PI＝BP•sin60°，BI＝BP•cos60°， ∴GI＝a， 在正六边形ABCDEF中，QH2（含有120°等腰三角形中，底是腰的倍）， ∵∠QHC＝∠PIC＝90°，∠G＝∠QCH， ∴△PGI∽△QCH， ∴，即， 解得a， ∴CH， 连接EC， ∵∠EDC＝∠BCD＝120°，DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴∠QEC＝∠ECH＝90°， ∵∠QHC＝90°， ∴四边形EQHC是矩形， ∴EQ＝CH． 故答案为：． 方法2：延长EF、BA交于M点，延长FE、CD交于N点， ∴△AMF、△DEN均为边长为2的等边三角形， ∵∠CQN＝∠PQM，∠N＝∠M， ∴△PQM∽△CQN， 设QE＝x，则QF＝2﹣x，QM＝4﹣x，QN＝2+x， ∴，即， 解得x． 42．（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据正八边形的性质求出∠AOB＝45°，根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，由三角形的面积的计算方法可求出△AOB的面积，进而得到正八边形的面积即可． 【解答】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M， ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB45°， 在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°， ∴AMOA， ∴正八边形的面积为8S△AOB＝812， 即可估计π的近似值为2， 故答案为：2． 二十八．弧长的计算（共2小题） 43．（2024•甘南州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　π　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧CD所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为． 故答案为：π． 44．（2024•兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　108　． 【答案】108． 【分析】利用弧长公式根据点P移动的弧长＝3个⊙M周长，列出关于n的方程，解方程即可． 【解答】解：∵⊙M的周长为2π cm， ∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6π cm， ∴6π， 解得n＝108， 故答案为：108． 二十九．圆锥的计算（共1小题） 45．（2024•徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 　1cm　． 【答案】1cm． 【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：设扇形的半径为R cm，弧长为l cm， 由题意得：4π， 解得：R＝4（负值舍去）， 则l×4＝4π， 解得：l＝2π， ∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷（2π）＝1（cm）， 故答案为：1cm． 三十．作图—基本作图（共3小题） 46．（2024•西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】作GF⊥BA于点G，因为∠C＝90°，所以CF⊥BC，由作图得BF平分∠ABC，所以GF＝CF＝3，而AF＝5，则AG4，再证明BG＝BC，则AB•GFAF•BC＝S△ABF，得3（BG+4）5BG，求得BG＝6，则BF3，于是得到问题的答案． 【解答】解：作GF⊥BA于点G，则∠AGF＝∠BGF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴CF⊥BC， 由作图得BF平分∠ABC， ∴GF＝CF＝3， ∵AF＝5， ∴AG4， ∵BG，BC， ∴BG＝BC， ∵AB•GFAF•BC＝S△ABF， ∴3（BG+4）5BG， 解得BG＝6， ∴BF3， 故答案为：3． 47．（2024•辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 　a﹣10　（用含a的代数式表示）． 【答案】a﹣10． 【分析】利用基本作图得到AE＝AB＝10，EF平分∠AEC，接着证明∠AEF＝∠AFE得到AF＝AE＝10，然后利用FD＝AD﹣AF求解． 【解答】解：由作法得AE＝AB＝10，EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝AE＝10， ∴FD＝AD﹣AF＝a﹣10． 故答案为：a﹣10． 48．（2024•甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 　35　度． 【答案】35． 【分析】利用等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°， 由作图可知BG平分∠ABC， ∴∠ABG∠ABC＝35°． 故答案为：35． 三十一．轴对称-最短路线问题（共1小题） 49．（2024•西宁）如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PB，PE，则PB+PE的最小值是 　2　． 【答案】2． 【分析】利用轴对称﹣最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答． 【解答】解：如图，作B点关于直线AC的对称点，正好落于点D，连接ED交AC于点P，连接PE，PB，此时PB+PE的值最小， ， 由作图知道，PB＝PD，DE＝PB+PE， ∵正方形ABCD的边长为4，△ABE是等腰直角三角形， ∴EB＝EA ＝2，BD4，∠EBD＝45°+45°＝90°， ∴在Rt△EBD中，ED2， ∴PB+PE的最小值2． 故答案为：2． 三十二．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 50．（2024•海南）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D′在边BC上，点C的对应点为C′，则DE的最小值为 　6　，CF的最大值为 　　． 【答案】6；． 【分析】由折叠可知DE＝D'E，则D'E⊥BC时，D'E最小，即DE最小，此时四边形CDED'是正方形，则DE＝CD＝6；当B与D'重合时，CF最大，此时E在BD的垂直平分线上，求出BD，OB，再证△BOF∽△BCD，求出BF，即可解答． 【解答】解：由折叠可知DE＝D'E，则D'E⊥BC时，D'E最小，即DE最小，此时四边形CDED'是正方形，则DE＝CD＝6； 当B与D'重合时，CF最大，此时E在BD的垂直平分线上，如图： 矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，则BD＝10，则OB＝5， ∵∠BOF＝90°＝∠C，∠CBD＝∠OBF， ∴△BOF∽△BCD， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；． 51．（2024•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　　． 【答案】． 【分析】连接BE，延长FE交BA的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），进而得到△BED′为直角三角形，设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α，证明△BHE为等腰三角形，求出AH，即可解答． 【解答】解：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于H， ∵矩形ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点， ∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°， ∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′， ∴ED＝ED′＝1，∠ED′F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D′EF， 则Rt△HAE≌Rt△FDE（ASA），DF＝AH， ∴BE， ∵BD′＝2， ∴， ∴△BED′为直角三角形， 设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α， ∴∠AEB＝90°﹣2α，∠AHE＝90°﹣α， ∴∠HEB＝∠AHE＝90°﹣α， ∴△BHE为等腰三角形， ∴BH＝BE， ∴AH＝BH﹣AB， ∴DF＝AH， 故答案为：． 三十三．胡不归问题（共1小题） 52．（2024•广元）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则ACBC的最大值为 　5　． 【答案】． 【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1，首先推导出；延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2，得到；由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示： ∵tan∠C＝2， 在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得， ∴，即， ∴， 延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示： ∴， ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°， 在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°， 由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示： 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求 的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示： ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵AB＝5， ∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即 的最大值为， 故答案为：． 三十四．相似三角形的判定与性质（共3小题） 53．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　2　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　　． 【答案】2，． 【分析】易得CD∥PQ，则△APQ∽△ADC，得出，代入数据即可求出CD＝2；根据△APQ∽△ADC，得出，设DE＝t，则AP＝2t，通过证明△CDE∽△BAE，得出，则，进而得出，结合△APQ∽△ADC，可得，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式． 【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴△APQ∽△ADC， ∴，即， ∵x＝y， ∴CD＝2； ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 设DE＝t， ∵AP＝2ED， ∴AP＝2t， ∵CM∥AB， ∴△CDE∽△BAE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 54．（2024•济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线． （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F． （2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G． （3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． （4）画射线AH． （5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M． （6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　①②⑤　.（只填序号） ①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行 比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD﹣x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD＝∠ACD＝45°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC90°＝45°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴BD＝AD＝DC，故①正确； 根据题意作图可得：∠MAC＝∠ABD＝45°，BM＝BC， 过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB＝90°，如图： ∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∵∠DAM＝∠DAC+∠MAC＝45°+45°＝90°， ∴∠DAM＝∠MKB＝∠ADC＝90°， ∴四边形ADKM为矩形， ∴MK＝ADBCBM， ∴∠MBK＝30°， ∴∠ABM＝∠ABD﹣∠MBK＝45°﹣30°＝15°，故②正确； ∵∠APN＝∠ABM+∠BAD＝15°+45°＝60°，∠ANP＝∠MBK+∠DAC＝30°+45°＝75°， ∴∠APN≠∠ANP，故③错误； 设AP＝x，则PD＝AD﹣x， ∵AM∥BC， ∴∠AMB＝∠MBC＝30°， ∴tan∠AMB＝tan30°，即AMx， tan∠MBC＝tan30°，即AD， ∴1，故④错误； 添加解法：在Rt△MBC中，tan∠MBC， ∴（3）ADAM， ∴1，故④错误； ∵∠BMC＝∠BCM75°， ∵∠MNC＝∠ANP＝75°， ∴∠MNC＝∠BCM， 又∵∠BMC＝∠CMN， ∴△BMC∽△CMN， ∴MC：MN＝MB：MC， ∴MC2＝MN•MB，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 55．（2024•泰安）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 　　． 【答案】． 【分析】先证∠DAF＝∠ABD，从而求出AF，再证△ADE≌△ADF（ASA）即可得解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AH是⊙O的切线， ∴∠BAF＝90°， ∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB， ∴△DAF∽△DBA， ∴tanB， ∵DF＝1， ∴AD＝2， ∴AF， ∵点D为的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF， ∵∠ADE＝∠ADF＝90°， ∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF， 即∠AED＝∠AFD， ∴AE＝AF． 故答案为：． 三十五．解直角三角形的应用（共2小题） 56．（2024•西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°；③如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 　30720　千米（参考数据：π≈3，sin37°≈0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.8） 【答案】30720 【分析】过OD⊥AB于D，则BD＝CDBC，根据BC∥OA得∠CBO＝∠AOB＝37°，解Rt△OBD中得BD＝OB•cos∠CBO＝5120千米，则BC＝2BD＝10240千米，进而求出以BC为直径的圆的周长即可得出答案． 【解答】解：过OD⊥AB于D，如图所示： ∴BD＝CDBC， ∵BC∥OA，∠AOB＝37°， ∴∠CBO＝∠AOB＝37°， 在Rt△OBD中，OB＝6400千米，cos∠CBO＝BD/OB， ∴BD＝OB•cos∠CBO＝6400×cos37°≈6400×0.8＝5120（千米）， ∴BC＝2BD＝2×5120＝10240（千米）， ∴以BC为直径的圆的周长为：BC•π＝10240π≈10240×3＝30720（千米）． ∴北纬37°纬线的长度约为30720千米． 故答案为：30720． 57．（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　34.1　cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，1.732） 【答案】34.1． 【分析】过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G，先利用平角定义可得∠ABG＝60°，然后分别在Rt△ABG和Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G， ∵∠ABE＝120°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABE＝60°， 在Rt△ABG中，AB＝2cm， ∴AG＝AB•sin60°＝2（cm）， 在Rt△BCF中，∠EBC＝80°，BC＝11cm， ∴CF＝BC•sin80°≈11×0.9848＝10.8328（cm）， ∵器身底部CD距地面的高度为21.5cm， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度＝AG+CF+21.510.8328+21.5≈34.1（cm）， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度约为34.1cm， 故答案为：34.1． 三十六．方差（共2小题） 58．（2024•常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　＞　（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】＞． 【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【解答】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m， ∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上， ∴， ∴． 故答案为：＞． 59．（2024•兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高． 其中正确的是 　①②　.（填序号） 【答案】①②． 【分析】①根据方差的意义判断即可；②根据算术平均数的定义判断即可；③根据随机事件的意义判断即可． 【解答】解：由折线统计图可知， 甲的成绩在3和5之间波动，乙的成绩在3和9之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确； 乙的10次成绩中有9次成绩大于甲，其中一次相同，可推知②正确； 每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误． 故答案为：①②． 三十七．圆的性质（共1小题） 60．（2024•德州）有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6cm，CB＝CD＝8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 　　cm． 【答案】． 【分析】连接AC，作∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作EF⊥BC，先证明点E到四边形ABCD个边的距离相等，再利用相似三角形的性质求出半径即可． 【解答】解：连接AC，作∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作EF⊥BC，如图： ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD， ∴点E到四边形ABCD个边的距离相等， 在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的圆心为点E， 设半径为r，则BF＝r，CF＝8﹣r， AC10cm， ∵∠ABC＝90°＝∠EFC， ∴△ABC∽△EFC， ∴，即， 解得r， 故答案为：． 考点卡片 1．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 2．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 3．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 4．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 5．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 6．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 7．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 8．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 9．解一元二次方程-公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 10．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 11．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 12．规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 13．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 14．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 15．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 16．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 17．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 18．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 19．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 20．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 21．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 22．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 23．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 24．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 25．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 26．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 27．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 28．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 29．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 30．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 31．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 32．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 33．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 34．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 35．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 36．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 37．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 38．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1． 39．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 40．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 41．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 42．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 43．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 44．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 45．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 46．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 47．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 48．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 49．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 50．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 51．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 52．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 53．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 54．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 55．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 56．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 57．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 58．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 59．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 60．胡不归问题 胡不归问题是一类加权线段和最值问题（带系数线段和最值问题），这是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”，典型特质是求AP+k•BP的形式．“PA+k•PB”型的最值问题是中考考查的热点，此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题． 61．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 62．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 63．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 64．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 65．算术平均数 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 66．方差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 67．圆的性质 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线．圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/19 23:55:48；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$