专题练习09： 圆锥曲线的向量问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练09 圆锥曲线的向量问题 题型一：向量共线问题 1、向量的单共线 1．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍,设点的轨迹为曲线,直线与交于、两点,点是线段的中点,、是上关于原点对称的两点,且. （1）求曲线的方程； （2）当时,求直线的方程； （3）当四边形的面积时,求的值. 2.已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为． (1)求C的轨迹方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围. 3．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 4.在直角坐标系中，已知． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点． ①证明：l与ON相交； ②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值． 2、向量的双共线 5．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求的值； （3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标. 6.已知椭圆C：＋＝1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点M,且＝λ,＝μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ＋μ的值是否为定值？若是,求出λ＋μ的值；否则,请说明理由. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是上一点． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，，与直线交于点．设，，求证：为定值． 3、证明三点共线 8．（2023·上海浦东新·统考三模）已知，曲线． (1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值； (2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程； (3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线． 9.设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为. (1)求的值； (2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点. 题型二：向量加法构造平行四边形 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，若M为椭圆C上一点，线段与圆C：相切于该线段的中点N． (1)求椭圆C的方程； (2)过点做直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C上存在点P，使得四边形若OAPB为平行四边形，求直线l的方程． 11.已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，是上一点，，若四边形是平行四边形，求的坐标. 题型三：向量中的数量积问题 12．已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 13.已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分． （1）若，求b的值； （2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围． 14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．      (1)求的标准方程； (2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由． 题型四：利用向量求角 15.已知椭圆C：（）过点，右焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小． 题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 17.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． (1)求椭圆的方程． (2)设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 18.如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点 ，过点作直线的垂线，垂足为. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的最大值. 题型七：点在圆上、点在圆外、点在圆内向量转化 18.已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19.如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 题型七：向量关系式的转化 21．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 22．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 23．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练09 圆锥曲线的向量问题 题型一：向量共线问题 1、向量的单共线 1．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍,设点的轨迹为曲线,直线与交于、两点,点是线段的中点,、是上关于原点对称的两点,且. （1）求曲线的方程； （2）当时,求直线的方程； （3）当四边形的面积时,求的值. 【解析】（1）由题意可得,化简可得, 因此,曲线的方程为. （2）设点、,联立,可得, , 由韦达定理可得,, 则,, 所以点的坐标为, 因为,可得点, 将点的坐标代入曲线的方程得,解得, 因此,直线的方程为. （3）由（2）可得,则点, 则点, 因为点在曲线上,则,可得,因为,则, 点到直线的距离为, 点到直线的距离为, , 所以,, 因为,解得. 2.已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线，的斜率之积为． (1)求C的轨迹方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，若，求λ的取值范围. 【解析】(1)由题意，不妨令，， 设，则，斜率之积为．化简得， ∴曲线C的轨迹方程为． (2)显然点在曲线的内部，若直线与轴重合，则直线与曲线没有公共点， 当直线不与轴重合时，令直线的方程为， 联立直线方程与曲线的方程，消去并整理得 ，令，，则， ，，，∴， ∵与方向相同，∴，不妨令，，则，① ，∴，② 由①②得， ∴，即， ∴，∴，∴的取值范围是． 3．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算； （2）根据题意利用点差法分析运算； （3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、， 则可得， 因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即， 可得，即，所以， 又因为点在椭圆上，则的周长为， 解得， 可得， 所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程.    （2）设，则的中点， 由题意可知：，则， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减可得， 整理得，即， 又因为，则， 且点均在直线上，则点即为点，即为的中点. （3）设， 当直线的斜率为0时，则， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则，解得，即； 当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为， 可得， 联立方程，消去x得， 则，解得或， 可得， 因为，则，整理得， 由，可得， 又因为，则， 整理得； 综上所述：点的轨迹方程为.    【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4.在直角坐标系中，已知． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点． ①证明：l与ON相交； ②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值． 【解析】（1）因为， 所以，               所以，化简得， 所以P的轨迹C的标准方程为． （2）①因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴， 所以． 设点， 所以, 由题意得，， 相减得，          所以， 所以， 所以， 所以，                   同理得，，又， 相乘得，，                 因为，所以，                      因为，所以，所以，             所以l与ON相交．                          ②l的方程为，直线DE的方程为, 直线ON的方程为， 联立得，，               故，           又 ，                   当且仅当即时取等号， 又，即当且仅当时取等号， 所以，故的最大值为． 2、向量的双共线 5．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求的值； （3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，. 【分析】 （1）由题意，得到和，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）由直线的方程为，根据，求得，得到，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解； （3）设直线的方程为，由，得到和，联立方程组，结合根与系数的关系和，求得，得到直线的方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意，因为椭圆过点，可得， 设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得，即 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由直线的方程为，可得而， 设，因为， 可得， 从而， 于是，所以， 由，整理得，可得， 所以. （3）显然直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，可得， 由，可得， 所以，从而，同理， 又，∴——①， 联立，得， 则——②， 且——③ ③代入①得，∴，(满足②) 故直线的方程为，所以直线恒过定点. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略： （1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； （2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 6.已知椭圆C：＋＝1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点M,且＝λ,＝μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ＋μ的值是否为定值？若是,求出λ＋μ的值；否则,请说明理由. 【分析】（1）由椭圆所过的点及离心率求椭圆参数,进而写出椭圆方程即可. （2）由题设,可设直线l为y＝k(x－1) 、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立椭圆方程并应用韦达定理求x1＋x2,x1x2,由向量数乘的坐标表示可得λ、μ关于x1、x2的表达式,进而判断λ＋μ是否为定值. 【解析】（1）依题意得：b＝,e＝＝,a2＝b2＋c2, ∴a＝2,c＝1, ∴椭圆C的方程为＋＝1； （2）直线l与y轴相交于M,故斜率存在,又F (1,0), 设直线l方程为y＝k(x－1),则M(0,－k), 设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2), 由,消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0, ∴x1＋x2＝,x1x2＝,又＝λ, ∴(x1,y1＋k)＝λ(1－x1,－y1), ∴λ＝,同理μ＝, ∴λ＋μ＝＋＝＝＝－. ∴当直线l的倾斜角变化时,λ＋μ的值为定值－. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是上一点． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，，与直线交于点．设，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (1)设C的焦距为，则， 即，，； 由双曲线的定义，得，即， 所以，故C的方程为． (2)设，，，显然直线AB的斜率存在， 可设直线AB的方程为，代入， 得． 由过点的直线与C交于两点A，B，得， 由韦达定理，得，；       ① 由在直线上，得，即；       ② 由在直线AB上，得．             ③ 由，得， 即解得．同理，由，得， 结合①②③，得 ．故是定值． 3、证明三点共线 8．（2023·上海浦东新·统考三模）已知，曲线． (1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值； (2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程； (3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线． 【答案】(1)4 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长； （2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程； （3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线. 【详解】（1）若曲线为圆，则 圆方程为：，此时圆心到直线的距离 此时； （2）曲线的方程为 当焦点在轴上时， 此时 此时椭圆的标准方程为 当焦点在轴上时， 此时 此时椭圆的标准方程为； （3）当时，方程为，，，设， 直线的方程为：， 令 联立 ， 因为， 分子 ， 即，因而A，，三点共线． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可. 9.设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为. (1)求的值； (2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点. 【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为， 不妨设， 因为三角形的面积为，所以， 所以，又，所以. （2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为， 若直线与轴交于点，故可设直线的方程为， 设，，则， 联立，得， 且， 化简得且， 所以，， 因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在， 因为，，三点共线，所以， 即，即， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 化简得，所以经过轴上的定点. 题型二：向量加法构造平行四边形 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，若M为椭圆C上一点，线段与圆C：相切于该线段的中点N． (1)求椭圆C的方程； (2)过点做直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C上存在点P，使得四边形若OAPB为平行四边形，求直线l的方程． 【解析】（1）∵，，且ON是的中位线， ∴，，， 而，，， ∴，∴椭圆C的方程为：． （2）存在，理由如下： ①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时椭圆上不存在符合题意的点P， ②当直线AB的斜率存在且k＝0时，此时O，A，B三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P， ③当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k， ，，，设直线AB的方程为， 联立方程，消去y得：， ∴，∴，， ∴，∵四边形OAPB是平行四边形， ∴， ∴，代入椭圆方程得：， 化简整理得：，∴， ∴椭圆C上存在三个点A，B，P，满足题意，此时直线AB的方程为 11.已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，是上一点，，若四边形是平行四边形，求的坐标. 【解析】（1）令椭圆长轴长，短轴长， 由已知，得    ∴解得 ∴椭圆的方程是． （2） 设，， 由得， ，解得， ，， 四边形是平行四边形，∴， ∴， ∴，， 代入椭圆方程，得， 即， ∴，解得， 又， ∴， ∴ ， ∴点的坐标是． 题型三：向量中的数量积问题 12．已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，，解得，．∴双曲线方程为； （2）设直线的方程为，设定点， 联立，得． ∴，且，解得且． 设，，∴，， ∴， ． ∴ 为常数，与无关， ∴，即，此时．∴在轴上存在定点，使得为常数． 13.已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分． （1）若，求b的值； （2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3），． 【详解】（1）由，点A为曲线与曲线的交点， 联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得， 又，， 所以， 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 ， 由，可得； （3）设直线，可得原点O到直线l的距离， 所以直线l是圆的切线，设切点为M， 所以，并设与圆联立， 可得， 可得，，即， 注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点， 由，可得， 所以有，解得或舍去， 因为为在上的投影可得，， 所以， 则． 14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．      (1)求的标准方程； (2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）由题可得，故可得，则， 故的标准方程为. （2）由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 题型四：利用向量求角 15.已知椭圆C：（）过点，右焦点为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）当直线l的斜率不存在时，验证，即．当直线l的斜率存在时，设l：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，分别表示出坐标，利用向量的数量积，转化求解即可． 【详解】（1）由题意可得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2） 当直线l的斜率不存在时， 有，，， 则，，故，即． 当直线l的斜率存在时，设l：，其中． 联立，得， 由题意，知恒成立， 设，则，． 直线MA的方程为， 令，得，即，同理可得． 所以，． 因为 ， 所以． 综上所述，． 题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 17.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． (1)求椭圆的方程． (2)设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 【解析】（1）设椭圆的方程为． 由题意可知，解得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）可知． 设，直线的方程为． 由，得， 则，所以． 由，得， 所以，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即．易知． 设，则， 则．① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则． 整理，得．②由①②，得． 所以，则，所以，故． 18.如图，已知抛物线， 点，抛物线上的点 ，过点作直线的垂线，垂足为. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的最大值. 【解析】（2）投影法， 而代入得： . 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，的最大值. 注：也可将目标式转化为：， ，也可，可谓殊途同归！ 题型七：点在圆上、点在圆外、点在圆内向量转化 18.已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，﹒ 解析：(1)由题可知，， 则， 由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴， ∴P的轨迹方程为C：； (2)假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为， 联立，化为，易知恒成立， ∴(*) 由题可知， 将(*)代入可得： 即 ∴，解， ∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T. 19。如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，定点 解析：（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即， ∵，∴， 又∵，∴， 故椭圆C的方程为：， （2）将联立，消元可得， ∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P， ∴， ∴， 此时，， ∴ 由得， 假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M， 设，则， ，， 整理得， 对任意实数m，k恒成立，则， 故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 20.已知椭圆C：，点，分别为椭圆的左、右焦点． (1)求椭圆的短轴长和点，的坐标； (2)设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若点在以为直径的圆的外部，求的取值范围． 【答案】(1)短轴长为2，；(2) 解析：(1)将椭圆化为标准方程为，则，，， 椭圆的短轴长为2，； (2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则， 联立，消去可得，， 则恒成立， 依题意，，又， ，即， ， 又，则， ，即， 又，则实数的取值范围为． 题型七：向量关系式的转化 21．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 【答案】(1)焦距为，离心率为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率； （2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论； （3）设，由，得出和，①当直线的斜率不存在时，得出，即可得出的面积；②当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，得出和，结合点在椭圆上，得出，再根据弦长公式得出，根据点到直线距离公式得出点到直线的距离，根据即可得出面积． 【详解】（1）由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． （2）设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线．    （3）设， 因为，，， ①当直线的斜率不存在时，则， 所以，， 又是椭圆上的点，此时， 故， ②当直线的斜率存在时，可设， 由，得， 所以，， 所以， 又点在椭圆上，代入整理得，， 从而， 于是， 点到直线的距离， 所以．    22．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)最大值为，双曲线方程为 (3)过定点和 【分析】（1）根据向量运算得到，根据渐近线方程得到，，代入计算得到答案. （2）考虑和两种情况，根据得到，再利用均值不等式计算得到答案. （3）确定直线方程，计算两点的坐标，根据得到圆方程，再根据且，得到定点. 【详解】（1），即，即， 故，    双曲线的渐近线方程为，，在渐近线上， 不妨取，则，则， 点在双曲线上，则， 故，， 故， （2）当时，，与轴的交点为， ， ，同号，于是， ，，， 当且仅当时，此时，双曲线方程为； 当时，，，， ，点在双曲线上，则，，， 当时，同样当且仅当时， 综上所述：的最大值为，双曲线方程为. （3），， ，， 点在双曲线上，故，从而， 故，即， 设以为直径的圆上的任意一点为，， 则， 该圆的方程为，不恒为零， 则圆过的定点满足：且，故所求的定点为和. 【点睛】关键点睛：本题考查了求双曲线方程，过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定圆方程，根据不恒为零，取且是解题的关键. 23．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【答案】(1)； (2)l恒过定点. 【分析】（1）线段RS为通径时最短，再根据的关系即可求解； （2）联立直线AB的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结果. 【解析】（1）由线段RS长度的最小值为，得， 又，所以，解得 所以C的标准方程为． （2）由， 可知PF平分，∴． 设直线AB的方程为，，， 由得， ，即， ∴，， ∴， ∴，∴， 整理得，∴当时，上式恒为0， 即直线l恒过定点． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$