专题练习08： 圆锥曲线的存在性问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练08 圆锥曲线的探索性问题 题型一：探究参数存在问题 1.已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P． (1)求点P的轨迹E的方程； (2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，， ①求证：是定值． ②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②存在； 【解析】 【分析】 （1）利用几何知识可得，结合双曲线定义理解处理；（2）根据题意设直线及点的坐标，①分别求，，，利用韦达定理证明；②根据①结合题意求的坐标，代入双曲线方程运算求解． (1) ∵， ∴AC的垂直平分线交BA的延长线于点P． 连接PC，则， ∴， 由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外）， ，，则， ∴E的方程是． (2) ①证明：由已知得，，满足， 设直线l方程为，，， 联立，得， ，， ， 同理， ∴ 对，令，得， ∴，， ∴， ∴是定值． ②假设存在m的值，使 由①知，， 则， ∴， 直线QK的方程为， 令， 得； 直线l的斜率为1，直线l的方程为， 令，得； ∴， ∴， 代入，得， 整理得，， 解得，或（∵，舍去） ∴，存在m的值为，使． 2．已知椭圆C1：＋＝1(a>0)与抛物线C2：y2＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合． (1)求C1，C2的方程； (2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在常数k(k≠0)，使得直线l的斜率为k且＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 3．解析　(1)因为C1，C2的焦点重合，所以＝，所以a2＝4．又a>0，所以a＝2． 于是椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝4x． (2)假设存在直线l使得＝2，当l⊥x轴时，|MQ|＝3，|PN|＝4，不符合题意， ∴直线l的斜率存在，∴可设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则x1＋x4＝，x1x4＝1，且Δ＝16k2＋16>0， 所以|PN|＝·＝． 由可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x2＋x3＝，x2x3＝， 且Δ＝144k2＋144>0，所以|MQ|＝·＝． 若＝2，则＝2×，解得k＝±． 故存在斜率为k＝±的直线l，使得＝2． 3.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且＝λ． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在m，使＋λ＝4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． [规范解答]　(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c， 由已知得＝，所以c＝a，b2＝a2－c2＝． 因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4， 所以4＝2a＝4，所以a＝2，b＝1．所以椭圆E的方程为x2＋＝1． (2)根据已知得P(0，m)，由＝λ，得－＝λ(－)．所以＋λ＝(1＋λ)． 因为＋λ＝4，所以(1＋λ)＝4． 若m＝0，由椭圆的对称性得＝，即＋＝0．所以m＝0能使＋λ＝4成立． 若m≠0，则1＋λ＝4，解得λ＝3． 设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，由，得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0， 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝． 由＝3得－x1＝3x2，即x1＝－3x2，所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0， 所以＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0． 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立．所以k2＝． 因为k2－m2＋4>0，所以－m2＋4>0，即>0． 所以1<m2<4，解得－2<m<－1或1<m<2． 综上，当－2<m<－1或m＝0或1<m<2时，＋λ＝4． 4.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】 【分析】 (1)设点，根据题意和抛物线的定义求出p的值即可； (2)设点、、、，根据两点求直线斜率公式可得的表达式，结合题意列出关于的方程，求出，进而得出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可. (1) 设点，∵，∴， ∴，∴， 所以抛物线E的标准方程为. (2) (i)设点，，，， 则， 同理：，，. 又因为，所以，即， 所以，即，∴. （ii）由（i）得：代入可得：， 所以， 点O到直线AB的距离为. ∴. 同理可求得：. ∴， ∴， ， ∵，∴. 综上，实数的取值范围为. 5.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． (1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； (2)是否存在实数p，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． [规范解答]　(1)∵直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)， ∴F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2． 设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值2＋3＝5． (2)假设存在，抛物线x2＝2py与直线y＝2x＋2联立，得x2－4px－4p＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝(4p)2＋16p＝16(p2＋p)>0，则x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，∴Q(2p，2p)． ∵|2＋|＝|2－|，∴⊥．则·＝0， 得(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)(2x2＋2－2p) ＝5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4＝0， 代入得4p2＋3p－1＝0，解得p＝或p＝－1(舍去)． 因此存在实数p＝，且满足Δ>0，使得|2＋|＝|2－|成立． 题型二：探索曲线上是否存在符合条件的点 1、存在点使线段或线段（和）为定值 6.已知椭圆的离心率为,又点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试探究：是否为定值,如果是,请求出该值；如果不是,请说明理由． 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组,解出这三个量的值,即可得出椭圆的标准方程；（2）对切线分三种情况讨论,设出直线的方程,根据直线与椭圆相切可得出参数所满足的等量关系式,求出点的坐标,计算出的值,即可得出结论. 【解析】（1）由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为. （2）①当切线的斜率存在且不为时,设的方程为, 联立直线和椭圆的方程得, 消去并整理,得, 因为直线和椭圆有且仅有一个公共点,即方程有两个相等的根, ,化简并整理,得, 因为直线与垂直,所以直线的方程为, 联立,解得,即点. , 所以,； ②当切线的斜率为时,直线,过点作直线的垂线为, 即此时或,； ③当切线的斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线为, 即此时或,则. 综上所述,恒为定值． 2、存在点使向量数量积为定值 7.设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝，S△ABC＝． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得·为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由． [规范解答]　(1)在△ABC中，由余弦定理AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC＝(CA＋CB)2－3CA·CB＝4． 又S△ABC＝CA·CB·sinC＝CA·CB＝，∴CA·CB＝，代入上式得CA＋CB＝2． 椭圆长轴2a＝2，焦距2c＝AB＝2．所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1． (2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立 消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝． 假设x轴上存在定点D(x0，0)，使得·为定值． ∴·＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(1＋k2)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋x＋k2＝ 要使·为定值，则·的值与k无关，∴2x－4x0＋1＝2(x－2)，解得x0＝， 此时·＝－为定值，定点为． 8.在平面直角坐标系中,椭圆过点,． （1）求椭圆E的方程； （2）点是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足．探讨是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由． 【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程,通过解方程组即可求出答案. （2）分别设出两点的坐标,从而根据题意得出点的坐标,把点的坐标代入椭圆方程,同时结合点在椭圆上,点在单位圆上,可得出；然后即可求出, ,从而可求出为定值. 【解析】（1）因为点,在椭圆上,所以,解得,, 所以椭圆方程为． （2）令,,则, 所以, 即． 又,,,所以, 即, 所以, 即,又,,所以, 所以, 故为定值． 3、存在点使斜率之和或之积为定值 9.已知抛物线,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点． （1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：； （2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）证明：设,,, 故可设直线l的方程为, 由得, 则,, 由题意可知,,, 则,． 因为, , 所以,故． （2）假设存在点满足题意,设直线AT,BT的斜率分别为k1,k2． ,, 则 ． 因为,且为常数, 所以,即, 故存在点满足题意． 10．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2． （1）求椭圆的方程． （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，得． 因为过椭圆的上顶点和右顶点，所以的方程为，即． 又由点到直线的距离为2，得，所以． 设，，则，解得，从而， 所以椭圆的方程为． （2）依题意设直线的方程为，，，，． 联立方程组消去得，△， 所以，，，． 假设存在定点，，使得直线，的斜率之积为非零常数， 则． 要使为非零常数，当且仅当，即时成立， 此时，， 所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数． 4、存在点使两角度相等 11.已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点. (1)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)面积的最大值为，此时直线的方程为或； (2)存在， 【解析】（1）将代入椭圆方程， 得到，故， 故椭圆方程为. 当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为， 此时直线的方程为或. （2）在x轴上存在点使得恒成立， 理由如下： 因为，所以，即， 整理得， 即， 所以， 则，解得， 故在x轴上存在点，使得恒成立.    12．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2． (1)求点P的轨迹方程； (2)经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 7．解析　(1)由题知，|PA|等于点P到直线y＝－1的距离， 故P点的轨迹是以A为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x2＝4y． (2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)， 此时由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝0， 由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y联立得x2－4kx－8＝0， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， ＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0， 故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2)． 13.已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由． 【分析】（1）根据也是抛物线：的焦点,求得,设点,根据,求得点的坐标,代入椭圆方程,再根据三者的关系求出,即可得出答案； （2）假设存在满足设,,联立,消,利用韦达定理求得,,由,故,分析计算即可得出答案. 【解析】（1）也是抛物线：的焦点,, ,且抛物线的准线方程为, 设点, ,,, ,, ,解得,, 椭圆方程为； （2）假设存在满足设,, 联立,消整理得, 由韦达定理有,,其中恒成立, 由显然,的斜率存在,故,即, 由,两点在直线上,故,, 代入整理有, 将代入即有：,要使得与的取值无关,当且仅当““时成立, 综上所述存在,使得当变化时,总有． 14．已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P 的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由． 6．解析　(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2， 取F关于y轴的对称点F′，连F′P，故|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4． 所以点B的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a＝2，c＝1，曲线C方程为＋＝1． (2)假设存在满足题意的定点Q，设Q(0，m)，设直线l的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去x，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0． 由直线l过椭圆内一点作直线，故Δ＞0，由求根公式得：x1＋x2＝，x1·x2＝， 由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ斜率和为零．故 ＋＝＋＝＝0， 2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0． 存在定点(0，6)，当斜率不存在时定点(0，6)也符合题意． 5、存在点使等式恒成立 15.已知△ABC的顶点，，满足：． (1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程； (2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设，用坐标表示 ，即可整理出的轨迹方程； （2）设直线l为，先讨论，结合条件，由对称性易得点N在y轴上；再讨论，此时结合条件以及角平分线定理可得y轴为的平分线，即，最后联立方程组，整理出，即可联立解出N的纵坐标，即可得结果 (1) 设，则，整理得，故的轨迹方程为； (2) 设直线l为，当时，可得点P，Q关于y轴对称，可得，要使恒成立，即成立，即点N在y轴上，可设为.当时，联立方程组，整理得，设，则， 要使恒成立，即成立，由角平分线定理则只需使得y轴为的平分线，即只需，即，即，解得，综上可得，存在与M不同的定点，使得恒成立 16．设、分别是椭圆的左、右焦点，，直线过且垂直于轴，交椭圆于、两点，连接、、，所组成的三角形为等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，试问：椭圆上是否存在点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（本小题满分14分） （Ⅰ）、分别是椭圆的左、右焦点，， 由可得，（1分） 等边三角形中：，，（3分） 则，得，（4分） 又，，（5分） 则椭圆；（6分） （Ⅱ）设，、，， 则由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设， 代入椭圆的方程中， 整理得，（8分） 由题意得△． 由韦达定理有：，①（9分） 且②（10分） 假设存在点，使成立，则其充要条件为： 点，，（11分） 点在椭圆上，即． 整理得（12分） 又、在椭圆上，即，， 由①②代入：，解得，（13分） （14分） 17．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由题意， 点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：， ， 椭圆的标准方程为； （2）假设轴上存在点，使得恒成立 当直线的斜率为0时，，，，，则，，① 当直线的斜率不存在时，，，则， 或② 由①②可得． 下面证明时，恒成立 当直线的斜率为0时，结论成立； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，， 直线方程代入椭圆方程，整理可得，， ，， 综上，轴上存在点，，使得恒成立． 题型三：直线存在问题 18．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c，0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF 的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 2．解析　(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，所以a＝2．又原点O到直线DF的距离为， 所以＝，所以bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0， 所以b＝，c＝1．故椭圆E的方程为＋＝1． (2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，所以k>－． 因为2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5， 所以4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5， 所以4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±， k＝－不符合题意，舍去．所以存在满足条件的直线l，其方程为y＝x． 19.已知椭圆G：,与x轴不重合的直线l经过左焦点,且与椭圆G相交于A,B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C,D两点． （1）若直线l的斜率为1,求直线OM的斜率； （2）是否存在直线l,使得成立？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）由题意可得,,由直线的斜率为1, 则直线的方程为,设,,,, 联立,得, 可得,,则,, 故直线的斜率为； （2）假设存在直线,使得成立,由题意,直线不与轴重合, 设直线的方程为, 联立,得． 设,,,, 则, 可得． ． 则弦的中点的坐标为, 故的方程为． 联立,得, 由对称性,设,,,,则． 可得． ,且, , 故,代入,,, 得,解得． 直线的方程为． 20.已知椭圆的焦距为4,其左､右顶点为,点为其上一动点,且的面积最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图,若为曲线上异于的两点,直线不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为,若直线与直线相交于点,是否存在直线与直线平行？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）依题意：,又, 解得, 椭圆的标准方程. （2）设,直线的方程为, 与椭圆方程联立,得, 则, 由根与系数的关系得,, 由题知,,设, 由三点共线得,由三点共线得, 则 所以的斜率,则直线的方程为. 若,由则, 可得,则无解, 故直线不存在. 题型四：定圆存在问题 21.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可得，所以， 因为，可得，且， 所以，解得或（舍去）， 又因为点在双曲线上，所以， 联立方程组得或（舍去）， 所以双曲线方程为：． （2）（ⅰ）若直线的斜率不存在，设方程为， 因为，再设，则，可得， 由，联立方程组，解得，可得原点到直线的距离为． （ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为， 又，设，则，即， 则，（*） 联立方程组，整理得 当且，即且时， ， 代入（*）得， 即（其中）， 原点到直线的距离为， 综合（ⅰ）（ⅱ），存在以原点为圆心，半径为的圆与直线相切， 所求定圆的方程为． 22.已知双曲线（，），点是的右焦点，的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，以为直径的圆记为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设双曲线的焦距为， 因为点是的右焦点，的一条渐近线方程为 所以，解得，所以的标准方程为 （2）存在定圆满足题意，方程为，理由如下： 因为过点的直线与的右支交于两点，所以直线斜率不为0， 设直线方程为，， 由，得， ， ，， 所以，， 由直线与的右支交于两点可知，解得， 又因为 ， 所以圆的方程为， 由对称性可知，若存在定圆与圆相内切，则定圆圆心一定在轴上， 不妨设定圆方程为， 则由圆与圆相内切可知，， 即， 整理得，， 因为上式与无关， 所以，解得， 所以存在定圆满足题意 题型五：探索直线与圆锥曲线的位置关系 23.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解析】（1）设，则， 即，整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）假设曲线上始终存在两点，关于直线对称， 当时，设直线方程为，，， 联立，整理得， 则， 所以，． 设的中点为， 则，， 将代入，则， 所以，所以对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以，则． 易知当时，曲线上存在两点，关于直线对称． 所以的取值范围为． 24.已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、,是坐标原点,则的充要条件是. （1）试根据上述定理,写出直线与圆相交于,,坐标原点为,且的充要条件,并求的值； （2）若椭圆与直线相交两点、,而且,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由. 【分析】（1）代入题干中已给定理的条件,解之即可； （2）以圆心到直线距离与圆的半径的大小关系,来判断直线与圆的位置关系. 【解析】（1）由定理可知的充要条件为：, 即,. （2）椭圆与直线相交两点、, ,即. 圆的半径为, 又圆心到直线的距离为, , 直线与圆相切. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练08 圆锥曲线的探索性问题 题型一：探究参数存在问题 1.已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P． (1)求点P的轨迹E的方程； (2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，， ①求证：是定值． ②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由． 2．已知椭圆C1：＋＝1(a>0)与抛物线C2：y2＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合． (1)求C1，C2的方程； (2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在常数k(k≠0)，使得直线l的斜率为k且＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 3.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且＝λ． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在m，使＋λ＝4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 4.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 5.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． (1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； (2)是否存在实数p，使|2＋|＝|2－|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 题型二：探索曲线上是否存在符合条件的点 1、存在点使线段或线段（和）为定值 6.已知椭圆的离心率为,又点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试探究：是否为定值,如果是,请求出该值；如果不是,请说明理由． 2、存在点使向量数量积为定值 7.设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝，S△ABC＝． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得·为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由． 8.在平面直角坐标系中,椭圆过点,． （1）求椭圆E的方程； （2）点是单位圆上的任意一点,设,,是椭圆上异于顶点的三点且满足．探讨是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由． 3、存在点使斜率之和或之积为定值 9.已知抛物线,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点． （1）设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：； （2）在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由． 10．已知椭圆的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2． （1）求椭圆的方程． （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、存在点使两角度相等 11.已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点. (1)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 12．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2． (1)求点P的轨迹方程； (2)经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 13.已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由． 14．已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P 的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由． 5、存在点使等式恒成立 15.已知△ABC的顶点，，满足：． (1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程； (2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 16．设、分别是椭圆的左、右焦点，，直线过且垂直于轴，交椭圆于、两点，连接、、，所组成的三角形为等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，试问：椭圆上是否存在点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 17．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型三：直线存在问题 18．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c，0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF 的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 19.已知椭圆G：,与x轴不重合的直线l经过左焦点,且与椭圆G相交于A,B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C,D两点． （1）若直线l的斜率为1,求直线OM的斜率； （2）是否存在直线l,使得成立？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由． 20.已知椭圆的焦距为4,其左､右顶点为,点为其上一动点,且的面积最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图,若为曲线上异于的两点,直线不过坐标原点,且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为,若直线与直线相交于点,是否存在直线与直线平行？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由. 题型四：定圆存在问题 21.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，是双曲线上的两个动点，且恒有，是否存在定圆与直线相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由． 22.已知双曲线（，），点是的右焦点，的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，以为直径的圆记为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由. 题型五：探索直线与圆锥曲线的位置关系 23.已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 24.已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、,是坐标原点,则的充要条件是. （1）试根据上述定理,写出直线与圆相交于,,坐标原点为,且的充要条件,并求的值； （2）若椭圆与直线相交两点、,而且,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$