专题练习06：圆锥曲线的面积问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练07 圆锥曲线的面积问题 题型一 利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积 1 ．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积． 2.已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值. 3.已知抛物线上的两个动点和，焦点为，线段的中点为，且点到抛物线的焦点的距离之和为8 (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 题型二 由水平宽x铅锤高求三角形面积 4．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值． （3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标． 5.已知为椭圆的左右顶点，，椭圆的离心率为． (1)求的方程． (2)斜率为1的直线与抛物线相切，且与相交于两点，求四边形的面积． 6．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点． (1)当的坐标为时，求点的坐标； (2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值． 7.已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值. （参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）. 8.已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值． 9.已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值. 10.已知椭圆，已知点，椭圆上有两点，且在线段上， (1)求的最小值； (2)若是点关于轴的对称点，连结并延长交直线轴于点，求面积的取值范围. 题型三 三角形的面积比问题之共角、等角模型 11.已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围． 12.设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且. (1)求动点D的轨迹E的方程； (2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围. 题型四 三角形的面积比问题之对顶角模型 13.已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程． 14.已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为． (1)求椭圆C的方程； (2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围． 15.已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且． (1)求椭圆的长轴和短轴的比值； (2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围． 16.在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围； (2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 题型五 对角线互相垂直的四边形面积 18.已知直线与抛物线交于两点，. (1)求； (2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 19 ．设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线l：x＝a2交x轴于点A，且． （1）试求椭圆的方程； （2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值． 20．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 21.已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值. 题型六 把四边形分割成两个三角形的面积 22.设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 23.．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且． （1）求此双曲线的方程； （2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值． （3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围． 24.．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，△的周长为6，且直线，的斜率之积为． （1）求椭圆的方程； （2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围． 25．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且． （1）求双曲线的两条渐近线的夹角； （2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值； （3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积． 题型七 面积定值 26.在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由． 27．已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值. 28．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 29．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由． 30.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值． 题型八 已知面积求参 31.已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程． 32.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练07 圆锥曲线的面积问题 题型一 利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积 1 ．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 解析：（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即， 双曲线方程为，即． （2）由（1）知：，，即直线的方程为． 设，，联立，得， 满足且，， 由弦长公式得， 点到直线的距离． 所以． 2.已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【解析】（1），， 由椭圆过点得，解得，， ∴椭圆的方程为. （2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得， 当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点 则有，∴. 将方程代入椭圆方程中整理得：， ∴，， ， ∴，当且仅当，即时取等号. 当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意. ∴面积的最大值为2. 3.已知抛物线上的两个动点和，焦点为，线段的中点为，且点到抛物线的焦点的距离之和为8 (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) （1）由题意知：线段的中点为，所以，则，，抛物线的标准方程为； （2）设直线:（），由，得，，即，即，，设的中垂线方程为:，即，可得点C的坐标为，直线:，即，点C到直线的距离，，令，则（），令，，令，则，在上；在上，故在单调递增，单调递减，当，即时，. 题型二 由水平宽x铅锤高求三角形面积 4．已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求面积的最小值． （3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标． 【解答】解：（1）设椭圆的方程为，椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，所以，， 又椭圆经过点，代入椭圆方程，求得， 所以椭圆的方程为：； （2）设，，， 由，所以， ，故面积的最小值为9； （3）设直线的方程为：，则点， 联立，消去得， ，， 所以， 则的中点的坐标为，又，得， 则直线的方程为：， 令，得点的坐标为，则， 所以， 当且仅当时，比值为定值，此时点，为， 故或． 5.已知为椭圆的左右顶点，，椭圆的离心率为． (1)求的方程． (2)斜率为1的直线与抛物线相切，且与相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 解析：（1）由题意知，可得，即， 又因为C的离心率为，即，所以， 所以椭圆C的方程为. (2)设l方程为，联立方程组，整理得， 因为直线与相切，可得，解得，即直线l方程为， 将代入，可得， 设，则 因为， 所以. 6．已知点是抛物线上的动点，过点的直线与抛物线交于另一点． (1)当的坐标为时，求点的坐标； (2)已知点，若为线段的中点，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)2 解析：(1)当的坐标为时，则，所以， 所以抛物线的方程为：， 由题意可得直线的方程为：，即， 代入抛物线的方程可得解得（舍）或6， 所以，的坐标为 (2)法一：设直线的方程：， 即， 设直线与轴的交点为，，， 由 可得，，， 因为为线段的中点，所以 令，，即，所以 则的面积 ， 把代入上式，， 当时，，所以的面积的最大值为2． （2）法二： 可得，，， 因为为线段的中点，所以， 设点到直线的距离为，则， 把代入上式，， 所以，当时，的面积的最大值为2 7.已知椭圆的中心是坐标原点O，左右焦点分别为，，设P是椭圆C上一点满足轴，，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值. （参考公式：已知的三边分别是，且内切圆的半径是 ，则的面积）. 【答案】(1)；(2) 解析：(1)设, 由题意是椭圆上一点，满足轴，，离心率为． ∴，解得． ∴椭圆的标准方程为； (2)由（1）可知，的周长为， 设直线为，由，得． 设，则，． ∴ ∴ ， 令内切圆的半径为，则 ，即 ， 令，则， 当且仅当 ，即时等号成立， ∴当时，取得最大值，即内切圆半径的最大值. 8.已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值． 【解析】（1）设椭圆C的焦距为，则，即， 所以，即， 又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为， 所以，即， 综上解得， 所以椭圆C的方程为． （2）易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得， 则． 又， 易知与同号， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为． 9.已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值. 【解析】（1）依题可得，，解得， 所以椭圆的方程为. 所以离心率. （2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴， 故可设， 由可得，， 所以， ，而，即， 化简可得， ， 化简得， 所以或， 所以直线或， 因为直线不经过点， 所以直线经过定点. 设定点 ， 因为，所以， 设， 所以， 当且仅当即时取等号，即面积的最大值为. 10.已知椭圆，已知点，椭圆上有两点，且在线段上， (1)求的最小值； (2)若是点关于轴的对称点，连结并延长交直线轴于点，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2) （1）解：设，，则，所以，所以当时，取得最小值，所以的最小值为； （2）解：设，则，设的方程为，联立，消得，，则有，直线的方程为，令，得，所以为定点，则，令，，则，则，因为函数在上递增，所以，所以，所以，即面积的取值范围为. 题型三 三角形的面积比问题之共角、等角模型 11.已知椭圆，椭圆的焦点在y轴上．经过点且与椭圆有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设A为椭圆的上顶点，点P是椭圆上在第一象限内的一点，点Q与点P关于原点对称，直线与椭圆的另一个交点分别为M，N两点，设与的面积分别为，求的取值范围． 【解析】(1)设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的离心率， 则有，解得， 所以椭圆的方程为； (2)， 设，则，且， 则， 设的方程为，则的方程为， 联立，消得， 则， 联立，消得， 则， 所以， 同理可得， 所以， 设， 则， 因为，则，则， 所以， 即. 12.设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且. (1)求动点D的轨迹E的方程； (2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两个不同的点A、B，点T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围. 【解析】(1)设，则，因，则， 又P在圆上，即， 所以动点D的轨迹E的方程是. (2)当直线的斜率时，直线与椭圆E相切，不符合题意， 因此，设直线的方程为：， 因直线与圆相切，则，即， 由消去x并整理得：，， 设，则， 而T是线段AB中点，则 ， 令，则，而， 当，即时，，于是. 题型四 三角形的面积比问题之对顶角模型 13.已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程． 【解析】（1）由题意知，， 又，∴，， ∴椭圆标准方程为. （2）∵轴，∴， 设，则，∴，即， ∵，∴，∴， ∴，即， 设，，则，， ∴. ①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得. 得， ∴，即，解得. 故直线的方程为或. 14.已知点在椭圆上，点在椭圆C内．设点以为的短轴的上、下端点，直线分别与椭圆C相交于点，且的斜率之积为． (1)求椭圆C的方程； (2)记，分别为，的面积，若，求的取值范围． 【解析】（1）设，依题意知，， 则，整理有：． 因为椭圆C过点，所以，所以椭圆的方程为． （2）由椭圆，可得，， 可得，代入椭圆，整理得， 解得，则，所以， 又由，代入椭圆，整理有， 解得，则，所以， 所以， ， 于是 ， 因为，所以，所以， 故的范围为． 15.已知椭圆的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且． (1)求椭圆的长轴和短轴的比值； (2)如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围． 【解析】（1）设，则，， 所以，， 所以长轴和短轴的比值为； （2）由（1），设椭圆方程为， 由题意直线的斜率存在且不为0，设其方程为，． 由得：， 则，所以， 所以， 因为，设， 则，，即， 又， 所以， 所以的取值范围是． 16.在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围； (2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为 设点P的坐标为，由题意得，化简得 故动点P的轨迹方程为； （2）若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为， 则 因为，所以，所以 即，解得，因为，所以， 故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点在椭圆上，直线过交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，点在轴上方时，求点，的坐标； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，是否存在直线，使得与的面积满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，，，又， 联立方程组可解得：，， 所以椭圆的方程为． （2）设，依题意，，，因为，所以， 即， 又在椭圆上，满足，即，，解得，即， 直线， 联立方程组，解得． （3）存在直线或，使得与的面积满足， 设，，，，，， 直线（斜率不存在时不满足题意）， 则，． 联立方程组，整理得． 则，． 由直线的方程：，得纵坐标． 由直线的方程：，得纵坐标， 由，得． 所以， 所以，， 代入根与系数的关系式，得，解得． 存在直线或满足题意． 题型五 对角线互相垂直的四边形面积 18.已知直线与抛物线交于两点，. (1)求； (2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积. 【解析】（1）设， 由，可得， 易得，所以， 则， 即，因为，所以. （2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为. 联立，化简可得，则， 设，则， 则， 因为，所以. 19 ．设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线l：x＝a2交x轴于点A，且． （1）试求椭圆的方程； （2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值． 【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为． 【分析】 （1）由题意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程； （2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y＝k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论． 【详解】 （1）由题意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0） ∵ ∴F2为AF1的中点 ∴a2＝3，b2＝2 ∴椭圆方程为 （2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|＝2a＝2，四边形DMEN的面积． 同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积． 当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y＝k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）＝0 设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2，x1x2 所以，|x1﹣x2|，所以|DE||x1﹣x2|， 同理|MN|. 所以四边形的面积 令u，则S＝4 因为u2，当k＝±1时，u＝2，S，且S是以u为自变量的增函数，所以． 综上可知，． 故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键． 20．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ). 【详解】 试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值． 试题解析：（Ⅰ）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. （Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，. 由得. 则，. 所以. 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积 . 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为. 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12. 综上，四边形面积的取值范围为. 【考点】 圆锥曲线综合问题 【名师点睛】 高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 21.已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为.因为，所以， 当为上顶点或下顶点时，的面积最大， 因为的最大面积为，所以，即， 所以，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，联立消去得， 解得， 所以，所以两点的坐标分别为， 所以. 因为，设四边形的面积为， 所以. 设直线的方程为. 联立消去得， 所以， 即， ， 所以 ， 所以当时，， 此时. 所以四边形面积的最大值为. 题型六 把四边形分割成两个三角形的面积 22.设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积． 【解析】（1）由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：； （2） 由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则，又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，解得，则，则 23.．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且． （1）求此双曲线的方程； （2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值． （3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围． 【解答】（1）解：双曲线的离心率，， 则， 双曲线的渐近线方程为， 设，，，，， 则，， ， ，即， 可知所求双曲线方程为， 点在双曲线上， ，① ， ． 又，② 联立①②解得：，则， 所求双曲线方程为； （2）证明：设，，则． 双曲线的渐近线方程为， 设其中一条平行的直线方程为，即． 联立，解得， 不妨设点，则， 又点到直线的距离， （定值）； （3）解：为双曲线上任意一点， ，又， ， 即， ， 即． ，，， 则，， ，． 24.．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，△的周长为6，且直线，的斜率之积为． （1）求椭圆的方程； （2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围． 【解答】解：（1）△的周长为6，，即，① 直线，的斜率之积为，可求得② 联立①②及，解得，，． 椭圆的方程为； （2），， 延长交椭圆于点，设，，，， 由（1）知，， 直线的方程为，联立，得． ，， 由对称性可知，，设与的距离为， 则四边形的面积 ， ， ， 令，． ， 在，上单调递减，，， 故四边形面积的取值范围为，． 25．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且． （1）求双曲线的两条渐近线的夹角； （2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值； （3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积． 【解答】解：（1）双曲线的，， 可令，解得，设， 由，可得， 解得， 则双曲线的方程为， 可得双曲线的方程为， 即有， 可得夹角； （2）当直线的斜率不存在，可得，，，， 可得△的面积为； 直线的斜率存在，设过点的直线设为，联立双曲线方程， 可得，设，，，， 又，，可得， 可得△的面积为 ， 设，可得， 综上可得△的面积的最小值为； （3）设，可得， 双曲线的渐近线方程为， 到直线的距离为， 由平行于直线的直线， 联立直线，可得，， ， 即有行四边形的面积为 ． 题型七 面积定值 26.在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由． 【解析】(1)解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离. 整理得， 曲线C的方程为：． (2)解：的面积为定值，理由如下： 设， ①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则 此时，，由题可得， 故； ②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切 得：① ， ，则直线MO的方程为： ，， 由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即 设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得 ，由，可得，② 则有，， 所以，将①代入得： 由直线与轴交于， 则的面积为. 故 综上：面积为定值． 27．已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求点的坐标，根据求椭圆方程；（2）首先设点，利用点的坐标表示点的坐标，并利用四边形的对角线表示四边形的面积，化简为定值. 【详解】 （1）由题意，设直线：， 令，则，于是.所以，， 故椭圆的方程为. （2）设，且， 又，，所以直线：， 令，，则. 直线：，令，， 则. 所以四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为定值. 【点睛】 方法点睛：解决定值、定点的方法 （1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算. 28．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【分析】 （Ⅰ）根据椭圆截直线所得的线段的长度为，可得椭圆过点 ，结合离心率即可求得椭圆方程； （Ⅱ）分类讨论：当直线的斜率不存在时，四边形的面积为 ； 当直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值． 【详解】 (Ⅰ)由解得 得椭圆的方程为. （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或， 此时四边形的面积为． 当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程 ， 点到直线的距离是 由得 因为点在曲线上，所以有 整理得 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为． 【点睛】 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 29．在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由． 【答案】(1)；(2)为定值 解析：(1)点到直线的距离与到的距离相等， 的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为直线， 设轨迹的方程为，则，可得， 所以，曲线的方程为． (2)设点、、， 抛物线方程为，即，所以． 则的方程为：，即， 同理的方程为：． 联立、方程得，， 在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点， 则，可得， 易知，则直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可知，所以，则直线的方程为， 故直线过定点． 所以，， 因此，，故为定值. 30.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 解析：(1)∵的周长为8， ∴，即， ∵离心率， ∴，， ∴椭圆C的标准方程为． (2)方法一：设， 则直线斜率，∵， ∴直线斜率， ∴直线的方程为：， 同理直线的方程为：， 联立上面两直线方程，消去y，得， ∵在椭圆上， ∴，即， ∴， ∴ 所以与的面积之比为定值4． 方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，， 则直线的方程为， ∵，∴直线的方程为， 将代入，得， ∵P是椭圆上异于点，的点， ∴， 又∵，即， ∴，即， 由，得直线的方程为， 联立得， ∴ 所以与的面积之比为定值4． 题型八 已知面积求参 31.已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程． 【解析】（1）由椭圆定义得，，所以，故， 所以椭圆的方程为． （2）设代入方程， 得 所以，， 所以，解得， 则式变为则， 底边上的高，所以的面积． 令，解得， 把，代入式，经检验，均满足， 此时直线的方程为或． 32.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别做两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)（i）；（ii） (1)设点，∵，∴， ∴，∴， 所以抛物线E的标准方程为. (2)(i)设点，，，， 则， 同理：，，. 又因为，所以，即， 所以，即，∴. （ii）由（i）得：代入可得：， 所以， 点O到直线AB的距离为. ∴. 同理可求得：. ∴， ∴， ， ∵，∴. 综上，实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$