专题练习05：圆锥曲线的定直线问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练05 圆锥曲线的定直线问题 题型一：斜率等差交点在定直线上 1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 解:（1）由题意在椭圆中，右顶点为，离心率为， ∴， ∴ ∴∴椭圆的方程为： （2）由题意及（1）得在椭圆中，设存在常数，使得 当直线斜率不存在时，其方程为：， 代入椭圆方程得，，此时,可得 当直线斜率存在时，设直线的方程为，，， 将直线方程代入椭圆方程得： ∴， ∵P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点 ∴直线的方程为： ∴ 由几何知识得：，， ∵ ∴ 将，，，代入方程，并化简得：, 解得： 综上，存在常数，使得 2．已知曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍. (1)求曲线的方程； (2)直线交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线与曲线C交于F，G两点，与直线交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为，，，求证：是，的等差中项 解:（1）设，因为曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍， 所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为； （2）由题意可得，设，则， 当直线的斜率为0时，，， ，， 所以此时有 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，可得， 所以， 所以，同理， 所以， 由可得，所以，所以， 综上可得： ，是，的等差中项. 3．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． (1)求抛物线的方程； (2)设直线、、的斜率分别为、、，求证：． 解:（1）由题意，知，所以，所以拋物线C的方程为． （2）因为直线过抛物线C的焦点，由题意知，直线斜率不为0，所以设的方程为 ， 设，，联立，消去得， 即，所以，， 所以 ， 因为，，所以，所以． 4.已知，． (1)证明：总与和相切； (2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先求出椭圆在处的切线方程为，双曲线上一点的切线方程为，从而得到在点的切线方程为，故设曲线在点的切线方程为，结合求出，则，得到曲线C与相切； （2）设直线，与联立，得到两根之和，两根之积，从而得到的值，结合题意得到为定值与a无关，为定值与b无关．分与时，两种情况推出矛盾，故不存在，使为定值对任意a，b均成立． 【详解】（1）下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得： ， 所以， 把代入，得：， 于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为， 整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 所以椭圆在处的切线方程为； 上一点的切线方程为，理由如下： 设过点的切线方程为，与联立得， ， 由， 化简得， 因为，代入上式得， 整理得， 同除以得，， 即， 因为，， 所以， 联立，两式相乘得，， 从而， 故， 即， 令，则，即， 解得，即， 所以上一点的切线方程为， 综上：在点的切线方程为. 故曲线 且在点的切线方程为． 当时，，联立得，， 解得，则， 当时，，，满足， 当时，，，满足， 即曲线C与相切， 而此时且．故总与和相切． （2）设直线． 设与交于和，    联立得， 由韦达定理得，， 由题意，， 代入整理得， 因为为定值对任意a，b均成立，故为定值与a无关，为定值与b无关． 当时，必有， 此时． 故有， 代入解得，矛盾． 当时，且时成立． 此时直线，由（1）知与曲线仅有1个交点，矛盾． 故不存在，使为定值对任意a，b均成立． 【点睛】结论点睛： 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 题型二：相交弦的交点在定直线上 5.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1)离心率为，标准方程为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的离心率及其标准方程； （2）设，利用两点间距离公式得，然后根据、分类讨论求解即可； （3）设直线的方程为，、，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线、的方程，进而求解即可； 【解析】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 6.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值； （3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而． （3）由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 7. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，分别为曲线与轴的两个交点，直线交于点，求证:点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (1)设动点， ∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为， ∴，整理得， ∴曲线C的方程为； (2)设，，，直线方程， 与椭圆方程联立，整理得：， ， 由韦达定理得：，化简得：， 由已知得,, 则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和： ，代入，、可得：，化简可得：， 所以N点在一条定直线上． 8．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设曲线与轴交于、两点，过定点的直线与曲线交于、两点（与、不重合），证明：直线，的交点在定直线上． 【解析】（1）设，根据题意，，整理得 所以动点的轨迹是椭圆，方程为． （2）由题意知，直线的斜率不为，设过点的直线方程为， 代入椭圆的方程，整理得， 因为，所以设，，， 则，①，由（1）得，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，消去 整理得，② 将，代入② 整理得，③ 把①式代入③，整理得， 即直线与直线的交点的横坐标恒等于 所以直线，的交点恒在定直线上． 9．已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程． 【解析】(1)因为,所以c=1, 由题意知:,解得,则椭圆的方程为:. (2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则, 则,而,其交点, 所以G在定直线x=1上;当M不在椭圆顶点时,设, 由,整理得:, 则, 当x=1时,,得,得, 得,上式显然成立, 所以G在定直线x=1上. 10．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【解析】（1）设双曲线的焦距为， 因为离心率为2，所以，， 联立，得：，所以点的坐标为， 因为，所以的面积为，所以，双曲线的方程为. （2）设，，直线的方程为， 直线的方程为，直线的方程为， 联立， 所以点的横坐标为，， 联立，得：，，， 所以 ， 直线与直线的交点在直线上. 题型三：成调和（比例）型的点在定直线上 11.已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，再结合可求出，从而可求得椭圆方程， （2）设，，，，设的方程为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，由可得，再结合前面的式子化简可求出关于的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由题意可知，因为，所以解得，． 所以所求椭圆的方程为 （2）设，，，， 直线的斜率显然存在，设为，则的方程为． 因为，，，四点共线，不妨设， 则，，，， 由，可得， 化简得．（*） 联立直线和椭圆的方程，得， 消去，得， ，得， 由韦达定理，得，．代入（*） 化简得，即． 又，代入上式，得，化简得． 所以点总在一条定直线上．    【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线的方程，利用弦长公式表示出，代入化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论. 12.已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切. (1)求抛物线的方程； (2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）设直线的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线的方程和B点坐标，求出， 即可求解作答. 【详解】（1）依题意得，物线的焦点坐标为，设直线的方程为， 而圆的圆心，半径，由直线与圆相切， 得，又，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知抛物线：的准线为，设， 由，求导得，设，则以为切点的切线的斜率为， 于是切线的方程为， 令，得，即交y轴于点， 因此，， 则，设N点坐标为，从而， 所以点N在定直线上.      13.设椭圆过点，且左焦点为 (1)求椭圆C的方程； (2)当过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程； （2）设点，记，可知，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点M的轨迹方程，即可证得结论成立. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）设， 由题意可知：均不为0， 由，可得， 设，则，且， 又因为四点共线，则， 且， 则，可得，即， 可得 又因为在椭圆C上，则，即， 可得，即， 所以点Q总在直线上.    【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 题型四：交点在定直线上 14.已知抛物线：上的点到焦点的距离为. (1)求点的坐标及抛物线的方程； (2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)点的坐标为或，抛物线的标准方程为； (2)点在定直线上，证明见解析. 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义可求，由此可得抛物线方程，由点在抛物线上求，可得点的坐标； （2）由条件设直线方程为，联立直线与抛物线方程，由设而不求法可得，利用导数的几何意义求切线的方程，求交点的坐标，由此证明结论. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点到抛物线的焦点的距离为， 由抛物线定义可得，点到准线的距离为， 所以，故， 所以抛物线的标准方程为， 由已知，所以， 所以点的坐标为或； （2）因为过点， 由题可知直线的斜率存在，所以设直线l方程为， 与抛物线联立得， 方程的判别式， 设，，则，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线的方程为， 抛物线在点处的切线的方程为， 联立的方程得， 即点坐标为. 又，， 所以点在定直线上.    【点睛】知识点点睛：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，同时考查运算求解的能力，属于较难题. 15.已知双曲线． (1)求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数． (2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意开始求整点通项,再应用等差数列求和个数计算即可得； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）因为双曲线方程为，令时,整点时为,整点个数为, 区域内部（不含边界）整点为个. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，      直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 16.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值),则直线过定点 17.如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，，，，分别垂直于坐标轴，垂足依次为，，，． (1)若矩形和矩形面积分别为，，求的值； (2)求证：直线与直线交点在定直线上． 【答案】(1)4； (2)证明见解析. （1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：， 由消去x并整理得，，设点，，则，， 矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，， 所以． （2）由（1）得，，，， 于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：， 由消去y并整理得：，而， 因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上. 所以线MN与直线CD交点在定直线上. 18.已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)点P在定直线x=9上.理由见解析. (1)设点，则， 又，所以， 整理，得， 即轨迹M的方程C为：； (2)点P在定直线上. 由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0) 若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意； 设直线MN方程为：，点， 则，消去x，得， 有， ，，， 所以直线PA方程为：， 直线PB方程为：， 所以点P的坐标为方程组的解， 有，即， 整理，得，解得， 即点P在定直线上. 19.已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点. (1)设的斜率分别为，求的值; (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 （1）设，， ， ， 所以. （2）设 ， 得到， ， ， 直线， 直线， 联立得:， 法一：， 解得. 法二：由韦达定理得， . 解得， 所以点在定直线上. 题型五：三角形的内心在定直线上 20.已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程， （2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，定在椭圆上， 若也在椭圆上，则，方程组无解， 所以为椭圆上第三个点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）得：，，设，，：． 要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线， 即证，即，即证， 只要证， 由，得， ，得， 所以 所以成立， 即得证， 即内切圆的圆心在定直线上． 22.作斜率为的直线l与椭圆交于两点，且在直线l的左上方. (1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设方程，联立利用韦达定理，用表示中点坐标，最后消参，就可以得到线段AB的中点所在的直线方程，即证明完成； （2）因为内切圆圆心在角平分线上，所以要找，的斜率的关系，最后计算得，又因为在直线l的左上方，所以会发现的角平分线为一个固定的直线，就证明到的内切圆的圆心在一条定直线上. 【详解】（1）设，，中点坐标为，， 所以有，联立，得， 得，得， 由韦达定理可知，， 所以， 所以，化简得：， 所以线段AB的中点在直线上. （2）由题可知，的斜率分别为，，所以，， 因为得 由（1）可知，， 所以， 又因为在直线l的左上方，所以的角平分线与轴平行， 所以的内切圆的圆心在这条直线上. 【点睛】（1）计算直线与圆锥曲线相交的两点的中点，一般设直线方程，联立方程组，再用韦达定理证明即可； （2）三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，所以利用找角与斜率的关系即可. 23.如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）是；当点在直线的上方时，；当点在直线的下方时，. 【解析】（Ⅰ）由题意可得，结合椭圆性质可得，再代入点即可得解； （Ⅱ）由题意设直线，联立方程，结合韦达定理、直线的斜率可得，再由直线斜率的知识可得的平分线，即可得解. 【详解】（Ⅰ）设点， 因为，所以，所以， 又是椭圆上的点，所以即， 所以，， 所以，； （Ⅱ）由题意设直线，即， 设，，由（Ⅰ）得椭圆方程为， 则，消去x得， 由可得， 则，， 因为，， 所以 ； 所以当点在直线的上方时，的平分线为直线， 所以此时内心位于定直线上； 当点在直线的下方时，的平分线为直线， 所以此时内心位于定直线上. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用，细心计算、合理转化是解题关键，属于中档题. 24.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的内心恒在一条定直线上，该直线为 【分析】（1）联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解； （2）根据（1）中的韦达定理证明，即可得结果. 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得， 故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为， 故的内心恒在直线上. 【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略： (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 题型七：点在定圆上 25.已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为. (1)求的方程； (2)过的左顶点且斜率为的直线交的右支于点，与直线交于点，过且平行于的直线交直线于点，证明：点在定圆上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点到直线距离公式求解； （2）根据题意做出几何图形，求出点的坐标，利用斜率公式求出，进而可得，从而有，即可证明求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线的方程为， 因为的最小值为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以， 又因为离心率，所以， 所以的方程为：. （2）由题得，的左顶点，右焦点， 所以直线为线段的垂直平分线，    所以的斜率分别为， 所以直线的直线方程为与联立有， ， 设，则有，即 所以， 当轴时，，则有 为等腰直角三角形， 所以,故直线的方程为：，故， 当不垂直于轴时，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以 所以为定值， 所以点在定圆上. 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出即可得解； （2）由题意可设PA，的斜率分别为，设直线AP的方程为，联立双曲线方程，求出，由三角函数可得，即化为得证. 【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为， 设到渐近线的距离为， 所以， 所以的方程为. （2）设C的左顶点为A，则, 故直线为线段的垂直平分线. 所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为. 与C的方程联立有， 设B），则，即， 所以 当轴时，，是等腰直角三角形， 且易知 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故 因为， 所以 所以 因为 所以 所以为定值， 所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 27.已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】(1) 根据渐近线斜率及到焦点距离最值列式求解即可. (2)根据角相等得出向量夹角相等，进而得出m,k的关系得出定点，最后根据垂直关系得出圆的方程. 【详解】（1）设, 则由已知得, 解得, 所以的方程. （2）由(1)得,, 设，则 于是, 同理, 由，得 即 即, 整理得， 因为，所以, 所以的方程可化为 因此过定点 . 又因为垂足为,所以动点 在以为直径的圆上， 该圆的方程为. 28.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程； （2）方法一：设直线，，联立方程组利用设而不求法证明直线和直线过定点，结合条件证明结论. 方法二：直线，，通过齐次化变形，证明，，由此证明直线和直线过定点，结合条件证明结论. 【详解】（1）由，， 三角形面积， 解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）由（1）得，设，，，， 直线，． 联立 消去y整理得， 方程的判别式， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得．若，则， 则直线MN过定点，与题意矛盾； 若，则，则直线MN过定点． 同理可得 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 整理得． 若，则，则直线AB过定点，与题意矛盾； 若，则，则直线AB过定点． 又因为，所以， 所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上． 方法二：设，，，， 直线，． 椭圆方程变形为， 直线变形为， 代入椭圆方程得， 即， 左右两边同时除以得，， 则，为方程的两个根，则， 所以，直线MN过定点． 同理可得， 则，为方程的两个根，则， 所以， 直线AB过定点． 又因为，所以， 所以直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上． 【点睛】关键点点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 题型八：点在定曲线上 29.已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）． (1)求C的方程； (2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的方程． （2）分别联立直线与椭圆、椭圆的方程消元，可证明线段、中点相同，然后结合可得，由此可证明. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 到直线的距离为， ， 又，解得，， 椭圆的方程为：． （2）椭圆的3倍相似椭圆的方程为， 设，，，各点坐标依次为，，，，，，，， 将代入椭圆方程，得：， ， ，， ， 将代入椭圆的方程得， ，，， ， 线段，中点相同，， 由可得， ，所以， ，化简得，满足式， ，即点在定曲线上 30.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，． (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可； （2）设直线的斜率分别为，，，．将代入，得， ，根据韦达定理化简得即可解决. 【详解】（1）依题意设的方程为， 因为经过点，， 所以，解得， 故的方程为． （2）证明：设直线的斜率分别为，，，． 将代入，得． 由题设可知，，， 所以 ， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上． 31.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知点是双曲线的右支上异于顶点的任意点，点在直线上，且，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据右焦点和渐近线方程，可列出关于的方程，进而求解即可； （2）先设出和直线与直线的交点，先表示出坐标，再由，列出方程组，最后消参可得定曲线方程. 【详解】（1）解：由于双曲线右焦点为，渐近线为， 所以，， 解得， 所以双曲线的方程为： （2）证明：设，直线与直线的交点为， 设直线为， 由题可知：， 联立 ，化简得， 所以，由可得 ， 那么， 所以， 由于是中点，所以， 因为，所以 且，解得， 因为直线与直线的交点为， 根据斜率相等可得， 代入的坐标得 化简得 ， 将两式相乘得，即为， 所以直线与直线的交点在定曲线上. 32.已知椭圆：的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交，另一交点为，点是的中点，点在直线上，且，求证：直线与直线的交点在某定曲线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)由条件列方程求，由此可得椭圆方程；(2) 设直线的斜率为，由条件求出,，的坐标，再证明即可. 【详解】（1）设椭圆的左焦点为，依题意得： 所以，而 所以 根据椭圆的定义得：，即 又因为 所以   所以的方程为； （2）因为，所以三点不共线，所以设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由得： 又因为 所以 又因为 所以直线的方程为：， 由   得： 所以 ， 又因为点是的中点 所以 所以 即 所以 所以 所以 故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆方程为． 即直线与直线的交点在某定曲线上． 【点睛】本题解决的关键在于联立方程组，利用根与系数的关系求出的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练05 圆锥曲线的定直线问题 题型一：斜率等差交点在定直线上 1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，离心率为，P是直线上任一点，过点且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．已知曲线上任意一点到的距离是它到的距离的倍. (1)求曲线的方程； (2)直线交x轴于N，与曲线C在第一象限的交点为E，过点N的直线与曲线C交于F，G两点，与直线交于点K，记EF，EG，EK的斜率分别为，，，求证：是，的等差中项 3．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、． (1)求抛物线的方程； (2)设直线、、的斜率分别为、、，求证：． 4.已知，． (1)证明：总与和相切； (2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 题型二：相交弦的交点在定直线上 5.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 6.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 7. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，分别为曲线与轴的两个交点，直线交于点，求证:点在定直线上． 8．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设曲线与轴交于、两点，过定点的直线与曲线交于、两点（与、不重合），证明：直线，的交点在定直线上． 9．已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程． 10．已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 题型三：成调和（比例）型的点在定直线上 11.已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 12.已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切. (1)求抛物线的方程； (2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程. 13.设椭圆过点，且左焦点为 (1)求椭圆C的方程； (2)当过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 题型四：交点在定直线上 14.已知抛物线：上的点到焦点的距离为. (1)求点的坐标及抛物线的方程； (2)过点的任意直线与抛物线交于点，过点的抛物线的两切线交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 15.已知双曲线． (1)求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数． (2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 16.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 17.如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，，，，分别垂直于坐标轴，垂足依次为，，，． (1)若矩形和矩形面积分别为，，求的值； (2)求证：直线与直线交点在定直线上． 18.已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由. 19.已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点. (1)设的斜率分别为，求的值; (2)求证：点在定直线上. 题型五：三角形的内心在定直线上 20.已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 22.作斜率为的直线l与椭圆交于两点，且在直线l的左上方. (1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 23.如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由． 24.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 题型七：点在定圆上 25.已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为. (1)求的方程； (2)过的左顶点且斜率为的直线交的右支于点，与直线交于点，过且平行于的直线交直线于点，证明：点在定圆上. 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上. 27.已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 28.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，，，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上． 题型八：点在定曲线上 29.已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）． (1)求C的方程； (2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 30.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，． (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上． 31.已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知点是双曲线的右支上异于顶点的任意点，点在直线上，且，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上． 32.已知椭圆：的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作直线与椭圆相交，另一交点为，点是的中点，点在直线上，且，求证：直线与直线的交点在某定曲线上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$