专题练习03：圆锥曲线的定点问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练03 圆锥曲线的定点问题 类型一：斜率关系过定点—“筷子模型”“手电筒模型” 1、斜率之和 1．椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据和求解； （2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，由求解；当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，由，利用韦达定理，求得k，t的关系，代入求解. 【详解】（1）由题意得，① 又，得，② 由①②得，． 又， 所以椭圆的方程为． （2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，， 则，，所以， 解得． 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，得． 设，，则，， 则 ， 即， 依题可知，所以，代入直线方程，得， 即，联立方程组， 综上所述可知直线恒过定点． 2．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出. 【详解】（1）由题意得：，，， 故可知， 椭圆方程为：. （2）   M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即， 由韦达定理可知：，， ，则， ， 又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点. 所以直线过定点． 3．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）由题意可得动圆的圆心到点的距离与到直线的距离相等，从而可求得其轨迹方程， （2）当直线､中其中一条的斜率不存在，可求得直线的方程为；当直线､的斜率都存在时，故设直线､的斜率，，然后表示出，再由可得，设直线方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子可求得直线过的定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 由题意可得，动圆的圆心到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为； （2）由（1）可得， 当直线､中其中一条的斜率不存在，不妨设，， 易得，直线的直线为，与联立可得， 故直线的方程为； 当直线､的斜率都存在时，故设直线､的斜率， 设 所以，同理可得， 因为，所以，所以，即， 所以， 所以，即， 由题意可设方程为，联立，消整理得， 所以，，， 所以即，所以， 令得，，此时有定点， 综上所述，直线经过定点    【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是设直线､的斜率，再由结合两角和的正切公式，与斜率公式可得，考查计算能力，属于较难题. 4．已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为． (1)求双曲线C的标准方程． (2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）根据虚轴长可得，再根据点到C的渐近线的距离求出即可得解； （2）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，根据y轴是的平分线，可得，从而可求出，即可得出结论. 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 又∵，∴，∴双曲线C的标准方程为； （2）直线l过定点．理由如下： 由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为， ∵y轴是的平分线，∴， 即， 联立，消去y并整理，得， 则，且，即， 则，， ∴，解得， ∴直线l的方程为，且，其过定点， ∴直线过定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点. 5．（2023上海交大附中模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； (3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 20．(1)； (2)； (3)存在定点，定点为. 【分析】（1）根据确定是线段的中点，再根据直线与垂直确定即可； （2）将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径即可求出椭圆方程； （3）先求出椭圆的方程，设出直线方程，联立后得出、两点纵坐标的关系式，根据、的坐标表示出直线的方程，令，化简得出点的横坐标为定值. 【详解】（1）由题意知，由得是线段的中点，故. 又因为直线与垂直，所以，即， 所以椭圆的离心率为. （2）由（1）得过、、三点的圆的圆心为，半径为. 因为过、、三点的圆恰好与直线相切，所以，解得. 又，所以，从而. 故椭圆的方程为.      （3）由（1）及得，，椭圆的方程为. 设直线方程为，，则， 联立得， ，. 直线的方程为， 令得 . 故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.    2、斜率之积 6．已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程； （2）（i）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点；（ii）设，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理求得的最小值为；当直线斜率不存在时，由抛物线定义知，从而可求解. 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； （2）（i）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. （ii）设，当直线斜率存在时， 设直线的方程为， 与抛物线联立得，消去得， 由题意，所以. 所以 ， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 故的最小值为.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 7．已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题可知， 因为，所以. 又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）   证明：当直线的斜率不存在时，显然不符合题意， 故设，，直线， 联立消去整理得， 方程的判别式， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得. 若，则，则直线过定点，与题意矛盾； 若，则，则直线过定点. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交中的定点问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，然后代入计算. 8．已知为坐标原点，，，和交点为. (1)求点的轨迹； (2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点坐标为或 【分析】（1）利用已知条件表示出点坐标，进而表示出直线，的方程，联立即可得出点轨迹方程. （2）假设存在定点，设点坐标为，，联立方程组，得出，，由整理得出，对恒成立，即可得出结论. 【详解】（1）设点 ，， ，即， 点坐标为， ，即， 点坐标为， 根据两点坐标可得， 直线方程为：， 直线方程为：， 两式移项相乘得：， 整理得， 点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆， 即其方程为. （2）假设存在定点， 设点坐标为，， 联立方程组消得， 直线与椭圆交于两点， 即， ， ， ， ， ， 整理得： ， ，对恒成立， ，得， ， 所以存在定点坐标为或. 3、斜率之商 9．已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值； (3)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点. 【答案】(1) (2)1 (3)直线MB恒过定点 【分析】（1）根据离心率，长轴长为4，求得，即可求出椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，利用弦长公式求得AB，并求得AB边上的高，表示出三角形面积，由基本不等关系求得最大值即可. （3）设直线MB的方程为，联立与椭圆方程，结合韦达定理，设、，得到，结合，然后，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得：， 解得：，，则，则有C：； （2）由于直线l不能与y轴垂直，故设， ，代入可得 恒成立，设，， 则有， 点O到直线l的距离为 所以 当且仅当：时取最大值；    （3）设直线MB的方程为 ，代入可得 ，可设、 则有，， 因为，所以， 因为在椭圆上，所以，所以， 代入，且， 可得， 即，即 即 由于，化简得，即直线MB恒过定点.    【点睛】方法点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 10．已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点. (2)①证明见解析；②最大值为. 【分析】（1）根据题目所给条件列出方程化简即可得解； （2）①设直线的方程为，根据结合根与系数的关系化简，可得即可得证；②根据三角形面积公式得出面积表达式，利用配方法求最大值即可. 【详解】（1）由题意，得， 化简得， 所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点. （2）如图，    ①证明：设. 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意， 所以直线的斜率必不为0. 设直线的方程为. 由得， 所以，且 因为点是曲线上一点， 所以由题意可知， 所以，即 因为 所以，此时， 故直线恒过轴上一定点. ②由①可得，， 所以 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 11．已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.    (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据对称性求得为定值，结合双曲线定义求得轨迹方程； （2）解一：根据在双曲线上，用点差法得，，代入可得，将方程代入求得直线恒过定点. 解二：分别联立直线与双曲线、圆，求出的坐标，设定点，由三点共线得，得直线恒过定点. 【详解】（1）证明：由图，由点与D关于PQ对称，则， 所以，故为定值. 由， 由双曲线定义知，点T的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，设双曲线E方程为， 所以，，， 所以双曲线E的方程为. （2）解一：因为，如图，    令，， 两式相减得：， 同理，两式相减得：， ，即， 由题知直线斜率一定存在，设直线方程， 则， 整理得，所以， 故直线恒过定点. 解二：由已知得：，：， 联立直线方程与双曲线方程消去整理得， 由韦达定理得，所以，即. 所以. 联立直线方程与圆的方程消去整理得， 由韦达定理得，所以，即， 因为，即，所以， 若直线MN过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点. 由三点共线得， 即， 所以直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.此题中由于两点分别是直线与双曲线、圆的交点，故只能求出两交点的坐标，用两点坐标结合直线方程得到直线恒过定点. 12．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为. (1)求椭圆的方程及的值；（、分别指直线的斜率） (2)设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线过定点； ②设的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先利用题给条件求得，，进而得到椭圆的方程及的值； （2）设直线MN的方程为，与椭圆的方程联立，利用题给条件即可证得直线过定点；先求得的解析式，再求其值域即可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知得，，∴，故椭圆E的方程为. 则，，令， 则. （2）①由（1）知，，又， ∴. 令，，则（*）， 设直线MN的方程为， 与椭圆方程联立得，. 则，，. 又（*）可化为 ， 整理得，解得或（舍）. 故直线MN的方程为，过定点. （另解，可设直线方程为，联立整理得，或（舍））， ②由①知，直线MN过定点，则， 由①知，， ∴， 令，， 则， 因为在单调递增，，则， ∴的取值范围是. .   13．已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1). (2)直线过定点,定点为. 【分析】（1）根据双曲线离心率以及双曲线经过的点，列出满足的等式，求出其值，即可求得答案； （2）写出直线的方程，分别联立双曲线和圆的方程，求得点的坐标，即可求得直线的斜率，进而可表示出其方程，即可判断直线所过定点. 【详解】（1）由双曲线的离心率是， 可得， 又点在双曲线C上，即，解得， 故双曲线C的方程为. （2）由题意可知，且的方程为 ， 联立，可得，，， 设，由题意可知该方程有一根为， 故，则， 的方程为 ， 联立，可得，， 设，由题意可知该方程有一根为， 故，则， 由于，即，由于，故， 故，， 所以直线的斜率为 ， 故直线的方程为， 即，即， 由于，故， 即直线过定点. 【点睛】难点点睛：解决直线和双曲线位置关系中的直线过定点问题，解答的思路并不难找到，即根据联立直线和曲线方程，求出点的坐标，求出的斜率，表示出其方程，即可求得定点，但困难的是计算十分复杂，计算量大，并且都是关于参数的运算，需要十分细心. 类型二：相交弦过定点—“蝴蝶模型“ 14．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1)（）； (2)是，定点为. 【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答. （2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答. 【详解】（1）设动点，则直线、的斜率分别为， 于是，整理得，显然点不在轨迹上， 所以的方程为（）. （2）设直线上的点，显然，    依题意，直线的斜率满足， 且，直线斜率，则，有， 设，，则（且）， 当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为， 消去y得， 则，， 又，即， 则，整理得， 解得或，此时方程中的， 当时，直线：恒过点， 当时，直线：，由于舍去， 当直线时，则有，即有，而，解得， 直线：过点， 所以直线恒过点． 15．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，圆过且交直线于两点，直线分别交于另一点（异于点）.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）设，先求出圆的方程，令，利用韦达定理求出，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据三点共线得，求出，同理求出，整理可得出答案. 【详解】（1）由题意， 由可知：， 整理得，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设， 依题意，圆的方程为， 令，则，， 由韦达定理可得， 由已知直线不与轴垂直，设直线的方程为， 与椭圆联立得：， 由韦达定理可得， 由三点共线得， 所以， 同理， 所以， 去分母整理得：， 将韦达定理带入得：， 整理得或， 当时，直线过点，不合题意，所以， 所以直线的方程为，恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 16．设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【分析】（1）由焦距为2，直线PA与PB的斜率之积为，列方程求出，可得椭圆C的标准方程； （2）设的直线方程，与椭圆联立方程组，结合韦达定理表示出直线，令可求得直线所过的定点. 【详解】（1）由题意有，， 设，，化简得,结合， 可得，由椭圆焦距为2，有，得，， 椭圆C的标准方程为； （2）设直线方程：，，，，    联立方程，得， 所以，， 所以， 又， 所以直线方程为：， 令，则． 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 17．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N． (1)求C的方程； (2)证明：直线MN过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，即可得到C的方程； （2）根据题意，分别得到的坐标，然后分直线的斜率存在以及不存在分别讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可设双曲线方程为，左焦点为，则， 离心率为，则，则，， 则C的方程为. （2）   因为点，为C的左，右顶点，P为直线上的动点， 所以，设，， 则直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程可得，消去可得 ，方程两根为， 由韦达定理可得，所以，， 即； 设直线方程为， 联立直线与双曲线的方程可得，消去可得 ，方程两根为， 由韦达定理可得，则，， 即； 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 当直线的斜率不存在时，，可得， 此时，，则直线经过点， 当时，，， 所以三点共线，即直线经过点. 综上，直线经过定点. 18．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可； （2）设出直线 方程，与椭圆方程联立，求出点S、T的坐标，写出直线 方程即可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上， 所以设椭圆方程为 ，焦距为， 所以周长为 ，即 ， ， 因为左焦点，所以，， 所以 ， 所以椭圆E的标准方程为 . （2） 由题意知， , ，直线斜率均存在， 所以直线，与椭圆方程联立得 ， 对恒成立， 则 ，即 ，则 ， 同理 ， ， 所以 ， 所以直线 方程为： ， 所以直线过定点，定点坐标为 . 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率可得，设点结合椭圆方程整理得，根据题意分类讨论求得，即可得结果； （2）设直线及的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线的斜率是否存在. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得， 设点为椭圆上一点，则，则， 因为，所以， ①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得； 综上所述：，则， 故椭圆的标准方程为. （2）①当斜率不存在时，设且，则， 则直线为，令，得， 即， 同理可得. ∵与关于轴对称，则， 解得，矛盾； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 设，其中且， 联立方程组，消去化简可得， ，则， 所以， 由，可得， 所以直线的方程为，令，得， 即， 直线的方程为，令，得， 即， 因为和关于轴对称，则， 把代入上式，则， 整理可得，则， ∵，则，可得， 化简可得， 则直线的方程为，即， 所以直线过定点； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 类型三：相交弦中点连线过定点 20．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍. （1）求椭圆的方程； （2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点，. 【分析】 （1）利用点差法可得，再由直线的方程为，求出轴上的截距，结合题意即可求解. （2）设直线的方程分别为，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出，，求出直线方程，化简整理即可求解. 【详解】 本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养. （1）设， 则， 且 两式相减得 即， 即， 所以 又直线的方程为， 令，得 所以， 所以椭圆的方程为. （2）由题意得，直线的方程分别为， 设，联立， 得， 所以， 则 同理 所以 由 得， 所以直线的方程为 整理得， 所以直线过定点. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点、以及直线的方程为，考查了运算求解能力，综合性比较强. 21．已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）；（2）（0，） 【解析】 试题分析：（1）由焦距为2，得，可得其焦点坐标为，又点在椭圆上，根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为，即可求出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及探究直线过哪个定点． 试题解析：（1）由题意知设右焦点 椭圆方程为 （2）由题意，设 直线，即 代入椭圆方程并化简得 同理 当时， 直线的斜率 直线的方程为 又 化简得 此时直线过定点（0，） 当时，直线即为轴，也过点 综上，直线过定点 考点：圆锥曲线中的最值与范围问题 22．椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为 【解析】 试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解的值，即可求得椭圆的方程； （2）设直线：，联立椭圆方程，求得的坐标， 由题设若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，得该定点一定是直线与的交点，进而求得直线过定点． 试题解析： （1）设，由题，整理得， ，整理得， 结合，得，， 所求椭圆方程为． （2）设直线：，联立椭圆方程，得， 得，， ∴，， 由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上． 设该点为，，， 由，得，代入，坐标化简得， 经过定点为． 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 23．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点． 【答案】（1）;（2）． 【分析】 (1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点． 【详解】 （1）解：∵点在椭圆上，∴， 又∵离心率为，∴，∴， ∴，解得，， ∴椭圆方程为． （2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为， 联立，得， 设，，则，， ∴， 由中点坐标公式得， 将的坐标中的用代换，得的中点， ∴直线的方程为，， 令得，∴直线经过定点， 当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点． 当时，过定点． 【点睛】 （1）本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出直线的方程为，，其二是讨论当时，直线也经过定点. 类型四：圆过定点 24．已知F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点． (1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围； (2)若过点P的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． [规范解答]　(1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＝k(x1－m)，y2＝k(x2－m)，因为＋＝2k，即＋＝2k， 整理得(x1＋x2)(1－m)＝2(1－m)，又公差不为0，所以x1＋x2＝2， 由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0， 由x1＋x2＝＝2，得k2＝>0，所以m>1． 又点M(m，0)在椭圆长轴上(不含端点)， 所以1<m<，即实数m的取值范围为(1，)． (2)赋值法 假设以EF为直径的圆恒过定点． 当EF⊥x轴时，以EF为直径的圆的方程为x2＋y2＝1； 当EF⊥y轴时，以EF为直径的圆的方程为x2＋2＝， 则两圆的交点为Q(0，1)． 下证当直线EF的斜率存在且不为0时，点Q(0，1)在以EF为直径的圆上． 设直线EF的方程为y＝k0x－(k0≠0)， 代入＋y2＝1，整理得(2k＋1)x2－k0x－＝0， 设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝，x3x4＝， 又＝(x3，y3－1)，＝(x4，y4－1)， 所以·＝x3x4＋(y3－1)(y4－1)＝x3x4＋ ＝(1＋k)x3x4－k0(x3＋x4)＋＝(1＋k)·－k0·＋＝0， 所以点Q(0，1)在以EF为直径的圆上．综上，以EF为直径的圆恒过定点(0，1)． 25．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点Q(1，)，且离心率e＝． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，直线l：x＝4与直线PA，PB分别交于M，N两点，又点E(7，0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由． [规范解答]　(1)由，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为：＋＝1． (2)向量法 设点P(x0，y0)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，由椭圆的第三定义知k1k2＝e2－1＝－， 又PA：y＝k1(x＋2)，令x＝4，得M(4，6k1)， 同理：PB：y＝k2(x－2)，令x＝4，得N(4，2k2)， 则kEMkEN＝(－)(－)＝－1，过E，M，N三点的圆的直径为MN． 设圆过定点R(m，0)，则·＝0，因为＝(4－m，6k1)，＝(4－m，2k2)． 所以·＝(4－m)2＋12k1k2＝0，即(4－m)2＝9，解得m＝1或m＝7 (舍)． 故经过E，M，N三点的圆是以MN为直径，过x轴上不同于点E的定点R(1，0)． 26．（宝山2023二模）已知抛物线： （1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程； （2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，求线段的长； （3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、(均不与点重合)，且以线段为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）焦点 准线 ……3分 （2），则直线的方程为， ……4分 代入抛物线方程并化简得 设，则由韦达定理得 ……6分 由抛物线定义可知， 所以线段的长为. ……8分 另解：用弦长公式求解，相应给分. （3）假设存在定点,使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点，则 ……9分 设直线的方程为，代入抛物线方程得： 设，由韦达定理得 ……11分 整理得对任意的恒成立， ……15分 只需 此时Δ 所以存在定点,使得过点的直线与与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点 ……16分 另解：借助计算，则相应给分。 27．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解. （2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得， 故抛物线的方程为. （2）   设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. 28. （2023南洋模范中学三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； （3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）最大值为，双曲线方程为 （3）过定点和 【解析】 【分析】（1）根据向量运算得到，根据渐近线方程得到，，代入计算得到答案. （2）考虑和两种情况，根据得到，再利用均值不等式计算得到答案. （3）确定直线方程，计算两点的坐标，根据得到圆方程，再根据且，得到定点. 【小问1详解】 ，即，即， 故， 双曲线的渐近线方程为，，在渐近线上， 不妨取，则，则， 点在双曲线上，则， 故，， 故， 【小问2详解】 当时，，与轴的交点为， ， ，同号，于是， ，，， 当且仅当时，此时，双曲线方程为； 当时，，，， ，点在双曲线上，则，，， 当时，同样当且仅当时， 综上所述：的最大值为，双曲线方程为. 【小问3详解】 ，， ，， 点在双曲线上，故，从而， 故，即， 设以为直径的圆上的任意一点为，， 则， 该圆的方程为，不恒为零， 则圆过的定点满足：且，故所求的定点为和. 【点睛】关键点睛：本题考查了求双曲线方程，过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定圆方程，根据不恒为零，取且是解题的关键. 30．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)证明:; (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程; (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)面积最大值为，此时双曲线方程为. (3)过定点，定点为和. 【分析】（1）根据向量线性关系得到，结合双曲线渐近线方程，得到，将点坐标代入双曲线方程，得到，进而得到，计算出； （2）考虑时，设出的方程，表达出，表达出，结合第一问中，求出，利用基本不等式求出面积的最大值，并得到双曲线方程为；再考虑时，同样表达出，得到最大值及双曲线方程； （3）表达出的方程及，，结合，得到，设以为直径的圆上的任意一点为，则，求出圆的方程，得到且，求出定点坐标. 【解析】（1）因为，所以，即， 双曲线的渐近线方程为，位于两条渐近线上， 若，则，若，则， ①， 又点双曲线上， ，解得：， 故， ； （2）当时，与轴的交点为， 若，则，若，则， ， 由（1）可得:同号，于是，， ，， 当且仅当时，，故面积最大值为， 此时，双曲线方程为； 当时，易得， ， ， 由①式可得:，且点在双曲线上， ， ， ， 当时，同样当且仅当时，， 双曲线方程为； （3）由题意，，， ，， 点在双曲线上， ，从而， ， 设以为直径的圆上的任意一点为， 由，可得该圆的方程为， 不恒为， 故要恒成立，必须有且， 故所求的定点为和. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 31．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程； （2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标， 假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得. 【详解】（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即， ∵，∴， 又∵，∴， 故椭圆C的方程为：， （2）将联立，消元可得， ∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P， ∴， ∴， 此时，， ∴ 由得， 假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M， 设，则， ，， 整理得， 对任意实数m，k恒成立，则， 故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 32．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1）根据两点间距离和点到直线距离列式化简可得曲线方程； （2）先设直线，再联立方程得韦达定理求出M，N坐标，再应用A，O，M，N四点共圆得出，最后结合韦达定理求参即可. 【详解】（1）由已知得：，两边平分并化简得：即为曲线的方程． （2）   设点，． 直线与双曲线C的方程联立， 消去y得． 由韦达定理：，． 由条件，直线AG的方程为，直线AH的方程为， 于是可得，． 因为A，O，M，N四点共圆，所以， 所以，于是．    即，化简得 又，，代入整理得：． 将韦达定理代入化简得：． 【点睛】关键点点睛：A，O，M，N四点共圆的应用，关键是转化为，从而建立M，N的坐标关系，引进韦达定理. 33．已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点． (1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值； (2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)圆过定点 【分析】（1）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，根据弦长公式表示，再代入求得结果. （2）表示圆的方程，由对称性可知定点在轴上，令进行求解即可. 【详解】（1）如图， 由，设，直线， 代入，整理得：， 由解得： 由韦达定理：， 由， 同理，． 为定值． 另法：由， 同理，． 由于，不妨设， 则． 由， 得． 所以为定值． （2）由题意：圆的方程为 即 由对称性可知：若存在定点，则必在轴上 令，有 由（1）可知， 代入方程后有：， 即， 令即．故圆过定点． 类型五：切点弦过定点 34．抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长． (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆和抛物线的几何性质即可求解； （2）设点，，求出直线的方程，利用直线和圆相切,直线和圆相切分别出关于和的一元二次方程，利用韦达定理即可求出直线经过的定点. 【详解】（1）由椭圆方程可知短轴长为， ∴抛物线的焦点到准线的距离， 故抛物线方程为． （2）∵是抛物线上位于第一象限的点，∴且，∴． 设，，则直线方程为， 即， ∵直线DM：与圆E：相切， ∴，整理可得，，① 同理，直线DN与圆E相切可得，，② 由①②得a，b是方程的两个实根， ∴，， 代入，化简整理可得， ， 令，解得， 故直线MN恒过定点． 类型六：确定定点使某个条件成立 35．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点 【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解. （2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则， 又由椭圆经过点，代入得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令， 由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，，且， 设存在点，设点坐标为，由，可得， 又因为， 所以，所以， 所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有， 则，所以， 所以，整理得， 即，即， 解得，符合题意，即存在点满足题意． 【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 36．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解. （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不等式求最大值即可. （3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得三点共线得到成立. 【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为. （2）依题意，设，直线的斜率显然存在， 故设直线为，联立，消去，得， 因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，， 故， 令，所以，当且仅当，即时取得等号， 综上可知：面积的最大值为. （3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即，解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为， 由（2）知， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线，所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. .   【点睛】方法点睛：直线与椭圆交于，当且仅当时，取得最大值. 37．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点 【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解. （2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则， 又由椭圆经过点，代入得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令， 由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，，且， 设存在点，设点坐标为，由，可得， 又因为， 所以，所以， 所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有， 则，所以， 所以，整理得， 即，即， 解得，符合题意，即存在点满足题意． 【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 A O x F1 B F2 y (1)图 M l P O x F E y (2)图 y P O x M A B E(7,0) N l: x=4 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练03 圆锥曲线的定点问题 类型一：斜率关系过定点—“筷子模型”“手电筒模型” 1、斜率之和 1．椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点． 2．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 3．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由. 4．已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为． (1)求双曲线C的标准方程． (2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 5．（2023上海交大附中模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； (3)设．过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2、斜率之积 6．已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 7．已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点. 8．已知为坐标原点，，，和交点为. (1)求点的轨迹； (2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由. 3、斜率之商 9．已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值； (3)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点. 10．已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 11．已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.    (1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标. 12．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为. (1)求椭圆的方程及的值；（、分别指直线的斜率） (2)设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线过定点； ②设的面积分别为，求的取值范围. 13．已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 类型二：相交弦过定点—“蝴蝶模型“ 14．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 15．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，圆过且交直线于两点，直线分别交于另一点（异于点）.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 16．设椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线，交于点E．判断直线是否过定点，并说明理由． 17．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N． (1)求C的方程； (2)证明：直线MN过定点． 18．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线 ， 与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标. 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点. 类型三：相交弦中点连线过定点 20．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍. （1）求椭圆的方程； （2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由. 21．已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标． 22．椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 23．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点． 类型四：圆过定点 24．已知F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点． (1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围； (2)若过点P的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 25．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点Q(1，)，且离心率e＝． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，直线l：x＝4与直线PA，PB分别交于M，N两点，又点E(7，0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由． 26．（宝山2023二模）已知抛物线： （1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程； （2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，求线段的长； （3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、(均不与点重合)，且以线段为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 27．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 28. （2023南洋模范中学三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； （3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 30．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)证明:; (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程; (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点;如果不是，说明理由. 31．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 32．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值． 33．已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点． (1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值； (2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 类型五：切点弦过定点 34．抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长． (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点,,证明：直线经过定点． 类型六：确定定点使某个条件成立 35．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 36．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 37．已知椭圆的焦距为2，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 A O x F1 B F2 y (1)图 M l P O x F E y (2)图 y P O x M A B E(7,0) N l: x=4 $$