专题练习01：与直线有关的最值范围 新定义问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练01 与直线有关的最值范围 新定义问题 题型一 倾斜角与斜率的最值范围 1．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从特殊位置考虑，满足即可. 【解析】如图所示，从特殊位置考虑. ∵点关于直线的对称点为， ∴直线的斜率，∴. ∵关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为，此时直线的斜率不存在. 综上，. 故选：B. 2．已知直线，若直线l与连接、两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线过的定点，利用数形结合方法求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【详解】直线，由，解得，即直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 显然直线的斜率为，直线的斜率为， 由于直线经过点，且与线段总有公共点，则，即，     又，于是，因此或， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D 3．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，易得，再根据在直线上存在点满足，圆心到直线的距离不大于半径求解. 【详解】解：设，因为， 所以， 因为在直线上存在点满足， 所以圆心到直线的距离不大于半径， 即， 解得或， 又因为， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型二 两点间的距离最值 4．若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，解得， 把代入，得，， 点到原点的距离， 当且仅当时取等号． 点到原点的距离的最小值为．故选：D． 5．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为与的交点坐标为 所以， 当时， ， 所以的最大值是，故选：B. 题型三 点到直线的距离最值 6．点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解析】将直线l：变形可得， 解可得，所以直线过定点. 当时，点到直线l：的距离最大， 最大值为. 又，直线的斜率为， 所以，，解得， 所以，直线的方程为，整理可得.故选：A. 7．在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案. 【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，    当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1， 故点到直线l的距离大于1， 当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为， 故点A到直线的距离的取值范围为， 故选：B 8．已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 9．设实数，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】， 所以表示直线上的点与点的距离， 所以最小值为.故选：C. 10．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为，则到原点距离最小值为原点到的距离，结合点到直线的距离公式可求． 【详解】由题意线段的中点的集合为与直线和直线距离相等的直线，记为， 则到原点距离最小值为原点到的距离， 设直线， 则， 解得， 所以， 根据点到直线的距离公式可得，到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为，故选：D. 12．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解. 【详解】若为定值， 即点到直线两条直线距离之和为定值， 显然，这两条直线平行，如图，    所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且， 即，且，为定值， 所以“”是“为定值”的必要不充分条件. 故选：B 题型四 平行线间的距离最值 13．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值， 其最小值为平行直线 与的距离， 直线的方程可化为， 所以 故选：C. 14．已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B， 因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知， 当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为， 又由两点间的距离公式可知，.故选：D． 15．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 【答案】5 【解析】直线化简为：， 令且，解得，，所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，，所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 16．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出示意图，根据题意判断，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，进而求出答案. 【解析】联立直线方程，易得.如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线的斜率为，所以线段的长度就是过A，B两点的平行直线间的距离，易得，故两条平行直线间的距离的最小值是.    故选：B. 题型五 线段和与差的最值 17．已知为直线上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则解之得即． 易得，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为．    故答案为：. 18．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】设点为直线l：的动点， 则， 可看作与点，的距离之和. 设关于直线l的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当与共线时（即图中位置P），取等号 即的最小值是.故选：C. 19．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 20．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．故选：A. 21．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 22．（2023秋•松江区校级期末）已知，分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解． 【解答】解：因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点，过作于，连接， 有，，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点，距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了数形结合和线段等量关系的转化思想，属于中档题． 23．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 24．已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点， 此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知， 此时, 在直线上另取点,连接， 则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故故选：C. 题型六 线段积与面积的最值范围问题 25．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 26．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，则直线l的方程是 ． 【答案】x＋2y－4＝0 【解析一】设直线l的方程为y－1＝k(x－2) （其中k＜0） 则可得A，B(0,1－2k)． ∵S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝≥＝4 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4， 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 【解析二】设所求直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1. 又∵＋≥2⇒ab≥4， 当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【解析三】过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别是 设（其中） 则， ∴ 当且仅当，即时取等号，此时直线的斜率为 ∴直线l的方程是x＋2y－4＝0. 27．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解； （2）设直线的方程为，表示出点、，进而可得，表示出后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线的方程为， 则，所以， 又直线过点，所以，所以， 所以直线的方程为即； （2）设直线的方程为，则，， 所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当取最小时，（正值舍去）， 此时直线方程为即. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解. 28．（2023秋•徐汇区校级月考）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点． （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程； （2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程， 【解答】解：（1）设的方程为， 由直线过得， 由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，时取等号，此时的方程为，即； （2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在， 可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为，的最小值为4． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于中档题． 29．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程； （2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程； （3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程. 【详解】（1）设，，则的中点为， 因为的中点在直线上， 所以，即， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即. （3）由（2）知，， ， 所以 ， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型七：含参双动直线的最值范围 30．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 31．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由直线解析式，确定两定点的坐标以及两直线的位置关系，由垂直，根据勾股定理，可得两线段平方和为定义，结合完全平方公式与基本不等式，可得答案. 【详解】解：由题意可得动直线过定点， 直线可化为， 令，可解，即， 又，故两直线垂直，即交点为， ， 由基本不等式可得： ， ，解得：， 当且仅当时取等号． 故选：B． 题型八：新定义问题 32．设、为不同的两点，直线：，,以下命题中正确的序号为 ． （1）不论为何值，点都不在直线上； （2）若，则过的直线与直线平行； （3）若，则直线经过的中点； （4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交. 【难度】★★ 【答案】（1）（2）（3）（4） 33．对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题: ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||； ②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2； ③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||. 其中的真命题为（    ） A．①③ B．①② C．① D．③ 【答案】C 【分析】根据新定义，逐项分析判断即可得解. 【解析】对于①，若点C在线段AB上，设点C的坐标为(x0，y0)， 则x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间， 则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立，故①正确； 对于②，在△ABC中，若∠C=90°， 则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确； 对于③，在△ABC中， ||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||. 当x0-x1与x2-x0同号，且y0-y1与y2-y0同号时，等号成立，故③不一定成立. 因此只有命题①成立， 故选：C. 34．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，    由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； ③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 35．在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，，，记，，，，，，，则由中的所有点所组成的图形的面积是 　　 【分析】根据条件确定集合对应的轨迹，利用集合的定义，确定对应图形，再求面积的大小． 【解答】解：过与分别作直线的垂线，垂足分别为，， 则由题意知，即． 所以三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且． 所以集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为的圆内部． 根据的定义知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用定义确定集合对应的平面区域，以及利用数形结合求面积的应用问题，是难题． 36．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【解析】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练01 与直线有关的最值范围 新定义问题 题型一 倾斜角与斜率的最值范围 1．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线，若直线l与连接、两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 3．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是 ． 题型二 两点间的距离最值 4．若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ） A．2 B． C． D．4 题型三 点到直线的距离最值 6．点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 7．在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知动点在直线上，则的最小值为 . 9．设实数，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．8 10．若动点，分别在直线和直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 12．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 平行线间的距离最值 13．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 14．已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 16．已知的边所在直线的方程是，边所在直线的方程是，边所在直线的方程是.若夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型五 线段和与差的最值 17．已知为直线上的一点，则的最小值为 ． 18．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．6 19．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 20．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 21．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（ ） A． B． C． D． 22．（2023秋•松江区校级期末）已知，分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 23．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 24．已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 题型六 线段积与面积的最值范围问题 25．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 26．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，则直线l的方程是 ． 27．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 28．（2023秋•徐汇区校级月考）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点． （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 29．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 题型七：含参双动直线的最值范围 30．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 31．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．2 B． C．3 D． 题型八：新定义问题 32．设、为不同的两点，直线：，,以下命题中正确的序号为 ． （1）不论为何值，点都不在直线上； （2）若，则过的直线与直线平行； （3）若，则直线经过的中点； （4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交. 33．对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题: ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||； ②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2； ③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||. 其中的真命题为（    ） A．①③ B．①② C．① D．③ 34．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 35．在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，，，记，，，，，，，则由中的所有点所组成的图形的面积是 　　 36．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【解析】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$