第八章 立体几何初步全章综合测试卷-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·河北石家庄·期中）下列命题中正确的是（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 【解题思路】举反例，结合棱台以及正棱锥的概念即可求解CD，根据圆锥的形成过程即可求解A，根据棱柱的性质即可求解B. 【解答过程】对于A，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥， 若以斜边所在直线为旋转轴，得到的是同底的两个圆锥的组合体，故A错误. 对于B，根据棱柱的定义可知，棱柱的上下底面互相平行，故B正确， 对于C，如图，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点， 所以有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，C错误， 对于D，如图，三棱锥中，，满足底面是等边三角形， 三个侧面，，都是等腰三角形， 但长不一定等于，即三条侧棱不一定全相等，故D错 故选：B. 2．（5分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【解题思路】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【解答过程】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 3．（5分）（23-24高一下·福建·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【解答过程】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 4．（5分）（23-24高一下·湖北武汉·期中）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【解答过程】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A. 5．（5分）（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【解题思路】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【解答过程】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B.    6．（5分）（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【解答过程】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 7．（5分）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【解题思路】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【解答过程】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 8．（5分）（23-24高一下·天津·期末）在正方体中，E，F，H分别是，，的中点，给出下列结论： ①平面； ②平面； ③直线EF与直线所成的角为； ④平面与底面所成二面角的大小为. 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【解题思路】对于①，由题意可得共面，从而进行判断，对于②，根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理判断，对于③，取的中点，连接，可得为直线EF与直线所成的角，然后求解判断，对于④,由正方体的性质可得为平面与底面所成二面角，然后求解判断. 【解答过程】对于①，因为∥，所以共面， 因为平面，所以平面，所以①错误， 对于②，因为平面，平面，所以，即， 因为，平面，所以平面，所以②正确， 对于③，取的中点，连接，因为为的中点，所以∥，， 因为∥，所以∥，所以为直线EF与直线所成的角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以，因为，所以，所以③错误， 对于④，因为平面， 平面， 所以，所以为平面与底面所成二面角， 因为，所以平面与底面所成二面角的大小为，所以④正确， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·河北·期中）如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 【解题思路】对于A：根据题意结合台体的结构特征运算求解；对于B：根据台体的体积公式运算求解，对于C：由圆台补成圆锥，结合圆锥的侧面展开图分析求解；对于D：做辅助线，分析可知，结合几何知识运算求解. 【解答过程】对于选项A：如图1，作交于点E，易得， 则，所以圆台的高为，故A正确； 对于选项B：圆台的体积为，故B错误； 对于选项C：由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角， M为AD的中点，连接CM，如图2， 可得，，，则， 此时到的距离为， 故从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确； 对于选项D：延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，为中点，是与交点，如图3， 过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4， 则，与相似， 可得，，解得， 由垂径定理知N为FH的中点， 则与相似，且都是等腰直角三角形， 所以，故D正确； 故选：ACD． 10．（6分）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 【解题思路】作出平面判断AC；作出平面截正方体所得截面，推理、计算判断BD. 【解答过程】在正方体中，过作分别交于，连接，则， 对于A，平面，点平面，点， 又点平面， 因此是异面直线，A错误； 对于C，四边形是矩形，且是平面截该正方体所得的截面，而为正方形的中心， 则是的中点，，矩形的面积，C正确； 连接，矩形是正方体的对角面，则， 由为正方形的中心，得点为中点，因此， 点共面，则与共面，B正确； 对于D，，延长交于点，连接交于点， 延长交于，连接，令直线交于，连接， 则四边形是平面截正方体所得截面， 由分别为正方形，的中心，得， 连接， 多面体的体积， 而正方体的体积，因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为45° B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 【解题思路】利用线面垂直的判定定理可得平面，可得为直线与平面所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得平面，即得为二面角的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项. 【解答过程】对于A，因为，，两两互相垂直，，平面，平面， 故为直线与平面所成的角，又，所以， 故直线与平面所成的角为，故A正确； 对于B，取中点为，连接， 因为，，，两两互相垂直，所以， 因为，平面，所以平面，故为二面角的平面角， 则，故二面角的正切值为，故B项正确； 因为，所以，设到面的距离为， 则，解得，故C项错误； 对于D，因为，故为等边三角形， 因为平面，则点为点在平面上的投影，又， 即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等， 故为的外心也即重心，故D项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为 ． 【解题思路】根据已知条件可，从而将直三棱柱补为长方体，则长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径，求出半径，从而可求出外接球的表面积. 【解答过程】因为，，， 所以由余弦定理得， 即， 所以，所以， 所以将直三棱柱补为如图所示的长方体， 则由题意可知长方体的长，宽，高分别为， 长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径， 设外接球的半径为，则 ，得， 所以三棱柱的外接球的表面积为. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【解题思路】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【解答过程】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 【解题思路】利用勾股定理得到边长相等判断等腰三角形，再作出高线并求出面积，利用等体积法求解即可. 【解答过程】因为侧棱与底面垂直，所以面，平面， 所以，， 而，由勾股定理得， 因为三棱柱的底面为正三角形，所以， 由勾股定理得，所以， 在中，如图，作，所以是中点， 所以，由勾股定理得，故， 设点到平面的距离为，由等体积公式得， 故，解得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 16．（15分）（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【解题思路】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. 【解答过程】（1）由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2）令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 17．（15分）（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【解题思路】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【解答过程】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 18．（17分）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求点C到平面的距离． 【解题思路】（1）连接，利用线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的判定、性质推理即得. （3）连接，交于点E，连接BE，过点C作于，利用线面垂直的判定、性质推证平面，再借助直角三角形求出即可. 【解答过程】（1）如图，连接，在中，D，P分别是，AB的中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）由，得，则，即， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，又，所以． （3）如图，连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足， 由，侧棱垂直于底面，得且， 又，，CB，平面CBE，则平面CBE， 又平面CBE，则，又，，平面， 因此平面，即CF为点C到平面的距离， 由平面，平面，得，， 所以点C到平面的距离． 19．（17分）（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【解答过程】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·河北石家庄·期中）下列命题中正确的是（    ） A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 2．（5分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 3．（5分）（23-24高一下·福建·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高一下·湖北武汉·期中）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 6．（5分）（23-24高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 8．（5分）（23-24高一下·天津·期末）在正方体中，E，F，H分别是，，的中点，给出下列结论： ①平面； ②平面； ③直线EF与直线所成的角为； ④平面与底面所成二面角的大小为. 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·河北·期中）如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（    ） A．该圆台高为 B．该圆台体积为 C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5 D． 10．（6分）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）正方体的棱长为a，M，N分别是正方形，的中心（如图所示）.则下列结论正确的是（    ） A． B．AB与共面 C．平面与该正方体所得的截面面积为． D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为 11．（6分）（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）在如图所示的三棱锥中，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为45° B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为 ． 13．（5分）（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 14．（5分）（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，三棱柱的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 16．（15分）（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. (1)求证：、、、四点共面； (2)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 17．（15分）（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 18．（17分）（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求点C到平面的距离． 19．（17分）（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$