八年级数学下学期期中模拟试卷01（测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷01 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中，假命题是(     ) A．两组对边平行的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（    ） A． B． C．10 D．20 6．已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（    ） A．a＝8，b＝15，c＝17 B．∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．∠A＝∠B＝∠C 7．如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（    ） A． B． C．平行四边形的面积是 D． 8．将一张矩形纸片按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形；第二步，如图2，把这个正方形沿折成两个全等的矩形，再把纸展平；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中的处；第四步，展平纸片，按所得的点E折出，即得到矩形，则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，以的三边为边分别向外作三个等边三角形，这三个等边三角形分别为，和，若的面积是8，则图中阴影部分的面积和是（  ）    A．16 B．12 C．10 D．8 10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．如图，Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，则∠BAO= ． 13．我们定义为不超过a的最大整数．例如：．若，则a的取值范围是 ． 14．如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则 ．    15．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 16．如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．    三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2) ． 18．如图，一木杆在离地处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处(即米)，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面的高度． 19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 20．已知∶ ，． (1)求 和的值； (2)求式子的值． 21．如图，在四边形中，，且． (1)求的度数； (2)若，则四边形的面积为_____． 22．已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 23．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． (1)如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； (2)如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； (3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 24．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷01 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，符合题意； B、C、D均为最简二次根式 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式．掌握二次根式的性质是关键． 2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵AE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键． 3．下列命题中，假命题是(     ) A．两组对边平行的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确； B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确； C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题； 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，掌握判定定理是解题的关键. 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除混合运算法则判断即可． 【详解】A.，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练运算是本题的关键． 5．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【分析】先证四边形AHOF是矩形，可得AH=OF，由三角形的面积公式可得OG2+OE2=20，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD，四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形， ∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，FO=OG，HO=OE， ∴四边形AHOF是平行四边形， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形AHOF是矩形， ∴AH=OF， ∵阴影部分的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，多边形的面积等知识，求出是解题的关键． 6．已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（    ） A．a＝8，b＝15，c＝17 B．∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．∠A＝∠B＝∠C 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴A选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝2：2：1， ∴∠A＝72°，∠B＝72°，∠C＝36°，B选项不能构成直角三角形，符合题意； ∵， ∴C选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，D选项能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，解题关键是能熟练运用勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断求解． 7．如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（    ） A． B． C．平行四边形的面积是 D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积；再利用勾股定理通过计算求得的长，即可判断． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， 设为x， ∵， ∴，解得， 即，，故选项A、B正确，不符合题意； ∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ∴， 在中，， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，主要利用了平行四边形的对边相等． 8．将一张矩形纸片按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形；第二步，如图2，把这个正方形沿折成两个全等的矩形，再把纸展平；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中的处；第四步，展平纸片，按所得的点E折出，即得到矩形，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，根据勾股定理得出，然后根据图3折叠方式得出，则可得出AE的值，最后求出即可． 【详解】解：按图1方式折叠，可得正方形， 按图2方式折叠，可得， 则， 按图3方式折叠，则， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，熟知折叠后对应边的关系是解题的关键． 9．如图，在中，，以的三边为边分别向外作三个等边三角形，这三个等边三角形分别为，和，若的面积是8，则图中阴影部分的面积和是（  ）    A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据等边三角形的关系可得即可求解． 【详解】解：设的高为，如图，    ∵是等边三角形， ∴ 由题意得：， 同理可得：，， ∵在中，， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积和是， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形和直角三角形的性质，灵活运用所学知识是关键． 10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长． 【详解】解：由折叠可知：，，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； ， ， 由折叠可得，， ，故正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， 五边形的周长是：，故正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识． 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴实数x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12．如图，Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，则∠BAO= ． 【答案】54° 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质求解． 【详解】解：∵Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点， ∴AO=BO=DO ∴∠D=∠DAO=36° ∴∠BAO=∠DAB-∠DAO=90°-36°=54° 故答案为：54°． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键． 13．我们定义为不超过a的最大整数．例如：．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合定义内容及二次根式成立的条件确定a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的大小比较及二次根式成立的条件，准确理解题意，列出不等式组正确计算是解题关键． 14．如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则 ．    【答案】9 【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合． 15．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 【答案】/度 【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平角的定义可得结论． 【详解】解：如图，连接AD， 观察图形可知：，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 16．如图，在平行四边形中，两点均在对角线上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．    【答案】(答案不唯一) 【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可． 【详解】如图，连接BD交AC于点O，    ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， 若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF， ∴四边形BEDF为平行四边形， 故答案为：AE=CF．答案不唯一． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，一木杆在离地处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处(即米)，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面的高度． 【答案】为6米． 【分析】设木杆断裂处离地面的高度为米，再用含的代数式表示，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】解：设木杆断裂处离地面的高度为米，由题意得 解得米 答：木杆断裂处离地面的高度为6米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握构建直角三角形及用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的各边是解题的关键． 19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】见解析 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 20．已知∶ ，． (1)求 和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值，（1）把，代入求值即可； （2）先根据x、y的值求得，再利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵ ， ∴ ． 21．如图，在四边形中，，且． (1)求的度数； (2)若，则四边形的面积为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：连接， 设、、、分别为、、、， ，， ，， ，， ， ， ； （2）解：，， ，，， 由勾股定理得， 由（1）知： ∴． 22．已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形是菱形， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 23．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． (1)如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； (2)如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； (3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)△EFG是等腰直角三角形，理由见解析 (3)AB最小值为2． 【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证； （2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF．由∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠GFB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案； （3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2．再由（2）的结论直一步计算可得答案． 【详解】（1）证明：如图①，延长BE，DG交于点H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°． ∴∠BAE=∠DAG． ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴BE=DG，∠ABE=∠ADG． ∵∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠EBD +∠ADB+∠ADG=90°， 即∠EBD+∠BDG=90°， ∴∠BHD=90°． ∴BE⊥DG． 又∵BE=DG， ∴四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）解：△EFG是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB=CD， ∴∠HBC+∠HCB=90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF． ∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠BFG=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°． ∴△EFG是等腰直角三角形； （3）解：延长BA，CD交于点H，连接BD，分别取AD、BC、BD的中点E、F、G．连接HE，EF，HF，GE，GF， 则EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2， 由（2）可知△EFG是等腰直角三角形， ∴AB=2EG，2EG2=EF2， ∴EG=EF=， ∴AB=2EG≥2． ∴AB最小值为2． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 24．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$