15-16学年（北师大）七年级数学下册课件：4.1认识三角形（3份）

第3课时 三角形的中线、角 平分线、高 三角形的三条高的关系： 如图，画出锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形的三条高. ①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点. ②直角三角形的三条高相交于三角形的_________. ③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点. 【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点. 【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段. 内 一 直角顶点 外 一 复习引入 【思考】 三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗？ 提示：不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 探究点一 三角形的三种重要线段区分 【例】(9分)如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示： (1)∠ABC的角平分线； (2)AC边上的中线； (3)AC边上的高. 合作探究 【规范解答】如图所示： (1)BE为∠ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC， 或∠ABC＝2∠ABE=2∠CBE. ………………………………… 3分 特别提醒：△ABC的AC 边上的高在三角形外，不要画在三角形内，注意在垂足处标上垂直符号. (2)BD为AC边上的中线,可表示为AD＝CD＝ AC. …………… 6分 (3)BF为AC边上的高,可表示为BF⊥AC于点F，或∠AFB=90°. ……………………………………………………………………9分 探究点二 三角形中三条重要线段的综合应用 【例2】(7分)已知在△ABC中，∠C＞∠B, AD是BC边上的高，AE平分∠BAC， 试说明∠DAE= (∠C-∠B). 【规范解答】因为AD⊥BC, 所以∠BDA=90°, 所以∠BAD=90°-∠B. ………………………… 2分 又因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE= ∠BAC = (180°-∠B-∠C), ……………………………………… 4分 所以∠DAE=∠BAD-∠BAE =90°-∠B- (180°-∠B-∠C) =90°-∠B-90°+ ∠B+ ∠C = ∠C- ∠B= (∠C-∠B). ……………………………… 7分 特别提醒：不要直接在△ADE中求∠DAE. 三角形的三种重要线段识别的两点注意 (1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区分. (2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形,三角形的高可得到垂直关系或直角. 课堂小结 三角形的角平分线和高的综合应用的一般思路 先确定欲求角在哪个三角形中，然后由角平分线或高确定角的数量关系，最后由三角形的内角和求出相关角的关系或度数. 1.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线( ) (A)△ABE (B)△ADF (C)△ABC (D)△ABC，△ADF 巩固训练 【解析】选D.因为∠2=∠3，所以AE是△ADF的角平分线.因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE，所以AE是△ABC的角平分线. 2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分 别为C，D，E，则下列说法不正确的是( ) (A)AC是△ABC的高 (B)DE是△BCD的高 (C)DE是△ABE的高 (D)AD是△ACD的高 【解析】选C.选项A的说法符合高的概念，故正确；选项B的说法符合高的概念，故正确；选项C，DE是△BDC，△BDE，△EDC的高，不是△ABE的高，故错误；选项D的说法符合高的概念，故正确. 3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)都有可能 【解析】选C.一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形. 4.如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是 ( ) (A)∠ABE (B)∠BAD (C)∠DAC (D)∠C 【解析】选C.在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC =90°，所以∠CBE=∠DAC. 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_____. 【解析】因为AE平分∠BAC，所以∠1=∠EAD+∠2，所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD =90°-30°-10°=50°. 答案：50° 6.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°