第10讲 万有引力定律【5大题型】-2024-2025学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版（2019）必修第二册)

第10讲 万有引力定律 【考点归纳】 · 考点一：万有引力定律的理解 · 考点二：万有引力常量的G的测定 · 考点三：万有引力的计算 · 考点四：空壳内的万有引力的计算 · 考点五：万有引力的综合问题 【知识归纳】 知识点一．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点二．万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点三．万有引力的效果 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 【题型归纳】 题型一：万有引力定律的理解 1．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期末）对于质量和质量的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大 B．和所受的引力性质可能相同，也可能不同 C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力将增大 D．和所受引力总是大小相等的 2．（23-24高一下·安徽·期末）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．若，则两物体之间所受万有引力比的大 D．该表达式只能用来计算质点与质点间的万有引力大小 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（    ） A．牛顿在推理出万有引力的过程中应用到了牛顿运动定律 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力大小不一定相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 题型二：万有引力常量的G的测定 4．（21-22高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值，即 （选填“”或“”）。卡文迪什的实验涉及的物理思想方法是 （选填“等效替代法”或“微量放大法”）。 5．（20-21高一下·重庆万州·期中）引力常量的测量 （1）英国科学家 通过图所示的扭秤实验测得了引力常量G。 （2）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( ) A．增大石英丝的直径 B．减小T型架横梁的长度 C．利用平面镜对光线的反射 D．增大刻度尺与平面镜的距离 6．（2024高二·山西）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量 。    （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 题型三：万有引力的计算 7．（23-24高一下·广东广）甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍，同时它们之间的距离亦增加到原来的两倍，则甲、乙两物体间的万有引力大小将为（　　） A．8F B．4F C．F D． 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力与在地球表面受到地球引力的比值为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·山西朔州·期末）2024年5月8日，嫦娥六号探测器进入环月轨道，为登陆月球做准备。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力为地球表面受到地球引力的（　　） A． B． C． D． 题型四：空壳内的万有引力的计算 10．（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 11．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 题型五：万有引力的综合问题 13．（24-25高一下·山东）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，已知球体的体积，引力常量为G。 (1)求m对M的万有引力大小； (2)现从M中挖去半径为的球体（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切），如图所示，求： ①剩余部分的质量； ②剩余部分对m的万有引力大小。 14．（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 15．（22-23高一下·陕西西安·期末）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒三大定律。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。 （1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：） （2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的平方成反比。 【高分达标】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西贵港·期中）关于万有引力公式，下列说法正确的是（    ） A．对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值是不同的 B．甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力大小相等 C．由万有引力公式可知，当两物体紧挨在一起时，两物体间的万有引力无穷大 D．计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳的半径 2．（24-25高一下·全国）对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（　　） A．只要是两个球体，就可用上式计算万有引力 B．r趋近0时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 3．（2025·陕西宝鸡·一模）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 4．（23-24高二下·云南·期末）云南籍航天员桂海潮在我国航天事业中作出了突出贡献，于2024年4月18日获得了“英雄航天员”称号。若桂海潮随中国空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，桂海潮质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则地球对桂海潮的万有引力大小为（　　） A．mG B．MG C． D． 5．（2024高二上·江苏盐城）要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 6．（23-24高一下·全国）嫦娥五号探测器曾实施月面“挖土”，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为，半径为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，引力常量为，忽略月球自转。某次钻取中质量为的钻尖进入月球表面以下深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 7．（23-24高一下·广东佛山·期末）苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 8．（23-24高一下·河北保定·期末）如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知、、在一条直线上，且、相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m。则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 1．（23-24高一下·甘肃白银·期中）关于万有引力，下列说法正确的是（    ） A．万有引力只存在于天体与天体之间 B．计算某物体在万有引力作用下的加速度时，牛顿第二定律同样适用 C．地球上的物体除受到地球对它们的万有引力外，还受到重力作用 D．两质点间的万有引力的方向沿着二者的连线 2．（23-24高一下·广东梅州·期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力总是大小相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 3．（23-24高一下·四川南充·期中）如图所示，神舟十七号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为飞船的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A点距离地球最近，C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（  ） A．飞船在C点所受地球引力最大 B．飞船在A点运行速度最大 C．飞船从B点经C到D点的运动时间为 D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等 4．（23-24高一下·山西吕梁·期中）如图所示，木星是太阳系内质量和体积最大的行星，木星绕太阳沿椭圆轨道运动，P点为近日点，Q点为远日点，P点到太阳的距离为距离的四分之一，M、N为轨道短轴的两个端点，木星运行的周期为T，若只考虑木星和太阳之间的引力作用，下列说法正确的是（    ） A．木星从P到Q的加速度越来越小 B．木星与太阳连线和地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等 C．若木星的轨道长轴是地球轨道长轴的4倍，则木星绕太阳一圈的周期为4年 D．木星经过P、Q两点的速度大小之比为3:1 5．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心OO1间距离为，均匀球壳对壳内质点的引力为零。则下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 6．（2024·四川泸州·二模）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。下列说法正确的是（　　） A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要3.18年 B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为1.5天文单位 C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等 三、实验题 1．（2019高二·上海·专题练习）（1）（单选题）如图a、b、c为力学中的三个实验装置,可知这三个实验共同的物理思想方法是 . A．极限的思想方法            B．放大的思想方法 C．控制变量的方法            D．猜想的思想方法 （2）（多选题）上问c图是测定万有引力常量的实验装置图，万有引力常量由卡文迪许在万有引力定律发现102年后利用扭秤装置测出的，在这个实验中利用到的物理规律有 . A．牛顿运动定律                 　　　　　B．开普勒行星运动定律 C．有固定转轴力矩的平衡条件               D．光的反射定律 2．（2024·四川乐山·一模）卡文迪许利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）横梁一端固定有一质量为m半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m，半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F= ． （2）在下图所示的几个实验中，与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是 ．（选填“甲”“乙”或“丙”） （3）引力常量的得出具有重大意义，比如： ．（说出一条即可） 四、解答题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为，如果在球体中央挖去半径为的球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力变为多少？ 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心和大球体球心的距离是。求球体的剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力在两球心连线的延长线上）。 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）随着我国载人航天事业的飞速发展，越来越多的宇航员实现了太空旅行，某次飞船返回地面过程的示意图如图所示，飞船到地心的距离为R，其绕地球做圆周运动周期为T，可以在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切。已知地球半径为，万有引力常量为G，地球的质量为M，飞船的质量为m，飞船由A点运动到B点所需的时间为。求： （1）飞船在A处对地球的万有引力的大小； （2）地球半径为与飞船到地心的距离R的比值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 万有引力定律 【考点归纳】 · 考点一：万有引力定律的理解 · 考点二：万有引力常量的G的测定 · 考点三：万有引力的计算 · 考点四：空壳内的万有引力的计算 · 考点五：万有引力的综合问题 【知识归纳】 知识点一．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点二．万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点三．万有引力的效果 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 【题型归纳】 题型一：万有引力定律的理解 1．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期末）对于质量和质量的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（　　） A．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大 B．和所受的引力性质可能相同，也可能不同 C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力将增大 D．和所受引力总是大小相等的 【答案】D 【详解】A．当两个物体间的距离趋于零时，它们不能看作质点，该公式不在适用。故A错误； B．和所受的引力性质相同。故B错误； C．当有第三个物体放入之间时，和之间的万有引力不变。故C错误； D．由牛顿第三定律可知，和所受引力总是大小相等的。故D正确。 故选D。 2．（23-24高一下·安徽·期末）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．若，则两物体之间所受万有引力比的大 D．该表达式只能用来计算质点与质点间的万有引力大小 【答案】A 【详解】A．根据 有 根据单位运算可知，引力常量G的单位为，故A正确； B．当r趋近于无穷远时，万有引力趋近于无穷小，但当间距为零时，万有引力定律不适用，故B错误； C．两物体彼此之间的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等，故C错误； D．万有引力定律可以普遍使用，不仅仅只适用于两个质点间万有引力大小的计算，故D错误。 故选A。 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（    ） A．牛顿在推理出万有引力的过程中应用到了牛顿运动定律 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力大小不一定相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 【答案】A 【详解】A．牛顿在推理出万有引力定律的过程中应用到了牛顿运动定律。故A正确； B．当物体间的距离趋近于0时，该表达式不再适用。故B错误； C．两物体对彼此的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等。故C错误； D．所有物体间均存在万有引力。故D错误。 故选A。 题型二：万有引力常量的G的测定 4．（21-22高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值，即 （选填“”或“”）。卡文迪什的实验涉及的物理思想方法是 （选填“等效替代法”或“微量放大法”）。 【答案】 微量放大法 【详解】[1]根据万有引力公式 整理得 根据量纲法则，得引力常量的单位为 [2]卡文迪什测量引力常量使用的扭秤装置，入射光线不变，当入射角改变时，将扭秤转动的高度通过反射光线在屏上光斑移动显示出来，采用的微量放大法。 5．（20-21高一下·重庆万州·期中）引力常量的测量 （1）英国科学家 通过图所示的扭秤实验测得了引力常量G。 （2）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( ) A．增大石英丝的直径 B．减小T型架横梁的长度 C．利用平面镜对光线的反射 D．增大刻度尺与平面镜的距离 【答案】 卡文迪许 CD 【详解】（1）[1]牛顿发现万有引力定律后，英国科学家卡文迪许通过图所示的扭秤实验测得了引力常量G； （2）[2]A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故A错误； B．当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故B错误； CD．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”，利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的．当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故CD正确； 故选CD。 6．（2024高二·山西·学业考试）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量 。    （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 【答案】 BC/ CB 【详解】（1）[1] 根据万有引力公式可得 得引力常量 （2）[2] A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误； BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确； D．当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误； 故选BC。 题型三：万有引力的计算 7．（23-24高一下·广东广）甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍，同时它们之间的距离亦增加到原来的两倍，则甲、乙两物体间的万有引力大小将为（　　） A．8F B．4F C．F D． 【答案】C 【详解】根据万有引力定律的公式 得，甲、乙物体的质量均增加到原来的2倍，同时它们之间的距离亦增加到原来的2倍，则万有引力为 故选C。 8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力与在地球表面受到地球引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力定律 嫦娥六号在月球表面受到月球引力与在地球表面受到地球引力的比值为 故选B。 9．（23-24高一下·山西朔州·期末）2024年5月8日，嫦娥六号探测器进入环月轨道，为登陆月球做准备。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，不考虑地球和月球的自转，嫦娥六号在月球表面受到月球引力为地球表面受到地球引力的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】嫦娥六号在月球表面受到月球引力与地球表面受到地球引力之比为 故选C。 题型四：空壳内的万有引力的计算 10．（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有 联立可得 距离地表 则该位置距离地心距离为： 故选A。 11．（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量 所以 故选D。 12．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球密度为，则有 当“海斗一号”下潜深度为h时，有 其中 联立解得 故选B。 题型五：万有引力的综合问题 13．（24-25高一下·山东）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，已知球体的体积，引力常量为G。 (1)求m对M的万有引力大小； (2)现从M中挖去半径为的球体（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切），如图所示，求： ①剩余部分的质量； ②剩余部分对m的万有引力大小。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由万有引力定律可知球体与质点之间的万有引力 解得 （2）①完整球体的质量 挖去的小球质量 故剩余部分的质量 ②被挖掉的小球与质点之间的万有引力 由题意可知 解得 故剩余部分对质点的万有引力 解得 14．（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）地球表面上质量为的小水球，随地球自转，半径为，周期为，则向心力为 （2）月球对水球引力为 地球对水球引力 联立可得 15．（22-23高一下·陕西西安·期末）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒三大定律。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。 （1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：） （2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的平方成反比。 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）根据扇形面积公式可得时间内行星扫过的扇形面积满足 解得 根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小也为常量，所以行星做匀速圆周运动。 （2）设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有 根据开普勒第三定律可得 即 联立以上两式可得 其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。 【高分达标】 一、单选题 1．（23-24高一下·广西贵港·期中）关于万有引力公式，下列说法正确的是（    ） A．对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值是不同的 B．甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力大小相等 C．由万有引力公式可知，当两物体紧挨在一起时，两物体间的万有引力无穷大 D．计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳的半径 【答案】B 【详解】A．对不同两物体间的万有引力的计算，公式中引力常量G的值都是相同的，故A错误； B．甲物体对乙物体的万有引力与乙物体对甲物体的万有引力是一对作用力与反作用力，它们的大小相等，故B正确； C．当两个物体紧挨在一起时，距离较小，此时万有引力公式不再适用，不能得出万有引力无穷大的结论，故C错误； D．计算太阳与地球之间的万有引力时，万有引力公式中的r指的是太阳中心与地球球心间的距离，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·全国）对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（　　） A．只要是两个球体，就可用上式计算万有引力 B．r趋近0时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【答案】C 【详解】A．万有引力定律的表达式，适用于质量分布均匀的两个球体之间万有引力的计算，故A错误； B．当r→0时，两个物体均不能看成质点，上式不再成立，故B错误； CD．两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、作用在两个物体上，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2025·陕西宝鸡·一模）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 【答案】B 【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误； B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确； C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误； D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。 故选B。 4．（23-24高二下·云南·期末）云南籍航天员桂海潮在我国航天事业中作出了突出贡献，于2024年4月18日获得了“英雄航天员”称号。若桂海潮随中国空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，桂海潮质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则地球对桂海潮的万有引力大小为（　　） A．mG B．MG C． D． 【答案】D 【详解】根据万有引力定律可知，地球对桂海潮的万有引力大小为 故选D。 5．（2024高二上·江苏盐城）要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 【答案】D 【详解】A．根据可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故A错误； B．根据可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则两质点间的万有引力不变，故B错误； C．根据可知，使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故C错误； D．根据可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故D正确。 故选D。 6．（23-24高一下·全国）嫦娥五号探测器曾实施月面“挖土”，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为，半径为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，引力常量为，忽略月球自转。某次钻取中质量为的钻尖进入月球表面以下深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球密度为，则月球质量 半径为的球体质量为 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力是零，则质量为的钻尖进入月球表面以下深处受到的万有引力 故选D。 7．（23-24高一下·广东佛山·期末）苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 【答案】D 【详解】A．海水在A处时，设海水的质量为m，到月球的距离为r，月球的质量为M，地球半径为R，则万有引力为 所以 故A错误； B．海水在B处时，万有引力为 所以 故B错误； C．根据 可知，海水在A点比B点距离月球距离小，则万有引力大，故C错误； D．海水在A处比在B处所受的太阳的引力近似不变，受到的月球的引力大，所以太阳和月球引力的合力较小，即同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小，故D正确。 故选D。 8．（23-24高一下·河北保定·期末）如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知、、在一条直线上，且、相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m。则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知被挖出的小球体的体积为原球体的，质量也为原球体的，则原球体质量为8m。根据割补法可知，没挖之前球对质点的引力减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为 故B正确，A、C、D错误。故选B。 二、多选题 1．（23-24高一下·甘肃白银·期中）关于万有引力，下列说法正确的是（    ） A．万有引力只存在于天体与天体之间 B．计算某物体在万有引力作用下的加速度时，牛顿第二定律同样适用 C．地球上的物体除受到地球对它们的万有引力外，还受到重力作用 D．两质点间的万有引力的方向沿着二者的连线 【答案】BD 【详解】A．自然界任何两个物体之间都存在万有引力，故A错误； B．计算某物体在万有引力作用下的加速度时，牛顿第二定律仍然适用，故B正确； C．地球上的物体所受的重力是万有引力的一个分力，故C错误； D．两质点间的万有引力的方向沿着二者的连线，故D正确。 故选BD。 2．（23-24高一下·广东梅州·期中）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　） A．引力常量G的单位为 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力总是大小相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 【答案】AC 【详解】A．根据公式有 根据单位运算可知，引力常量的单位为，故A正确； B．当物体间的距离趋近于0时，万有引力表达式已经不再适用，可知，不能够认为当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大，故B错误； C．两物体彼此之间的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等，故C正确； D．所有物体间均存在万有引力，故D错误。 故选AC。 3．（23-24高一下·四川南充·期中）如图所示，神舟十七号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为飞船的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A点距离地球最近，C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（  ） A．飞船在C点所受地球引力最大 B．飞船在A点运行速度最大 C．飞船从B点经C到D点的运动时间为 D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等 【答案】BD 【详解】A．根据 飞船在A点所受地球引力最大，故A错误； B．根据开普勒第二定律，飞船在A点运行速度最大，故B正确； C．因为飞船从A点到C点速度逐渐减小，从C点到A点速度逐渐增大，故飞船从B点经C到D点的运动时间大于，故C错误； D．若用r代表椭圆轨道的半长轴，T代表飞船运动周期，则 根据开普勒第三定律，神舟十七号飞船和月球绕地球运行对应的k值相等，故D正确。 故选BD。 4．（23-24高一下·山西吕梁·期中）如图所示，木星是太阳系内质量和体积最大的行星，木星绕太阳沿椭圆轨道运动，P点为近日点，Q点为远日点，P点到太阳的距离为距离的四分之一，M、N为轨道短轴的两个端点，木星运行的周期为T，若只考虑木星和太阳之间的引力作用，下列说法正确的是（    ） A．木星从P到Q的加速度越来越小 B．木星与太阳连线和地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等 C．若木星的轨道长轴是地球轨道长轴的4倍，则木星绕太阳一圈的周期为4年 D．木星经过P、Q两点的速度大小之比为3:1 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力定律，从近日点到远日点，万有引力变小，加速度变小，故A正确； B．由开普勒第二定律可知，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，或地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，故B错误； C．根据开普勒第三定律， 可解得木星绕太阳一圈的周期为8年，故C错误； D．由开普勒第二定律可得，木星经过P、Q两点时，在很短的时间内,与太阳连线扫过的面积相等 其中，、分别为两点到太阳的距离，由题意可得，，带入上式解得 木星经过P、Q两点的速度大小之比为3:1，故D正确。 故选AD。 5．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知，两球心OO1间距离为，均匀球壳对壳内质点的引力为零。则下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上 B．剩余部分对小球A的引力大小为 C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的 D．被挖去部分的质量为 【答案】ACD 【详解】D．在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为的球，根据质量与体积成正比的关系可知被挖去部分的质量为 故D正确； AB．未挖去时的球体对A的万有引力为 挖去的球体对A的万有引力为 剩余部分对A的万有引力为 方向在OA连线上，故A正确，B错误； C．在空腔中任取一点P，令，则P点受到的引力分解为第一步先将空腔填满的引力，第二步在减掉挖去部分的引力，如图所示 即合力为 其中 可得 可知引力是相同的，故C正确。 故选ACD。 6．（2024·四川泸州·二模）2023年7月10日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。下列说法正确的是（　　） A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要3.18年 B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为1.5天文单位 C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等 【答案】BC 【详解】A．根据开普勒第三定律有 解得 故A错误； B．近日点和远日点分别在椭圆长轴的两端，半长轴为3.18天文单位，则长轴为 则近日点离太阳中心的距离为 故B正确； C．根据牛顿第二定律可知 “樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为 故C正确； D．根据开普勒第二定律可知环绕天体与中心天体之间的连线在相等的时间内扫过的面积相等，应该是同一个环绕天体天体，故D错误。 故选BC。 三、实验题 1．（2019高二·上海·专题练习）（1）（单选题）如图a、b、c为力学中的三个实验装置,可知这三个实验共同的物理思想方法是 . A．极限的思想方法            B．放大的思想方法 C．控制变量的方法            D．猜想的思想方法 （2）（多选题）上问c图是测定万有引力常量的实验装置图，万有引力常量由卡文迪许在万有引力定律发现102年后利用扭秤装置测出的，在这个实验中利用到的物理规律有 . A．牛顿运动定律                 　　　　　B．开普勒行星运动定律 C．有固定转轴力矩的平衡条件               D．光的反射定律 【答案】 B CD 【详解】（1）[1]桌面的受力微小形变借助于光的反射来放大；玻璃瓶的受力微小形变借助于液体体积变化；引力大小仍是借助于光的反射来放大，三个实验均体现出放大的思想方法，故B正确，ACD错误； （2）[2]卡文迪许测万有引力常量的实验中，引力大小借助光的反射来放大，实验中应用力矩平衡测出了力的大小，实验并未涉及牛顿定律及开普勒定律，故AB错误，CD正确。 2．（2024·四川乐山·一模）卡文迪许利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）横梁一端固定有一质量为m半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m，半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F= ． （2）在下图所示的几个实验中，与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是 ．（选填“甲”“乙”或“丙”） （3）引力常量的得出具有重大意义，比如： ．（说出一条即可） 【答案】 乙 引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性（或：引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小；引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量） 【详解】（1）根据万有引力公式可得 （2）由于引力较小，所以卡文迪许设计此实验时运用了放大法的思想，所以利用微小测量方法放大的思想的是乙图 （3）引力常量的得出具有重大意义，比如：引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性（或：引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小；引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量） 故本题答案是：(1).     (2). 乙    (3). 引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性（或：引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小；引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量） 四、解答题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为，如果在球体中央挖去半径为的球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力变为多少？ 【答案】 【详解】设原球体质量为，质点的质量为，球心与质点之间的距离为，则它们之间的万有引力 被挖去的球体的质量 被挖去的球体与质点之间的万有引力 所以，原球体剩余部分对质点的万有引力变为 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心和大球体球心的距离是。求球体的剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力在两球心连线的延长线上）。 【答案】 【详解】将挖去的部分补上，则完整的大球对球外质点的引力 半径为的小球的质量 补上的小球对质点的引力 因而挖去小球后剩余部分对质点的引力 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）随着我国载人航天事业的飞速发展，越来越多的宇航员实现了太空旅行，某次飞船返回地面过程的示意图如图所示，飞船到地心的距离为R，其绕地球做圆周运动周期为T，可以在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切。已知地球半径为，万有引力常量为G，地球的质量为M，飞船的质量为m，飞船由A点运动到B点所需的时间为。求： （1）飞船在A处对地球的万有引力的大小； （2）地球半径为与飞船到地心的距离R的比值。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）飞船在A处对地球的万有引力的大小 （2）飞船由A点运动到B点所需的时间为，则飞船沿椭圆轨道运动周期为 根据题意得椭圆轨道的半长轴 根据开普勒第三定律得 联立得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$