3.2平面向量的线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习

3.2平面向量的加法运算（讲义） 目录 1 知识点01三角形法则 2 2 知识点02平行四边形法则 3 3 题型一、 3 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01三角形法则之向量加法 ①向量加法定义：将两个向量首位相接，形成一个封闭的三角形，两个向量的和为这个三角形的第三边，即在三角形中：（首位相接的加法）A B C ②向量加法的推广，如：， 知识点02三角形法则之向量减法 ①相反向量：模长相等，方向相反的向量 ②相反向量图示：与A B B A ③利用数乘表示相反向量：与向量为相反向量，所以= ④向量减法定义：将两个起点相同的向量，形成一个封闭的三角形，两个向量的差为这个三角形的第三边，即在三角形中：（起点相同的减法）A B C ⑤向量减法的推广，如：， 【注意】 ①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合 ③要注意运用三角形法则时，两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． 知识点03平行四边形法则 ①向量减法定义：将两个起点相同的向量，补成一个封闭的平行四边形，两个向量的和为这个平行四边形的对角线向量，即在平行四边形中： A B C D ②要注意运用平行四边形法则时，两个向量必须共起点，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量 知识点04向量的数乘 数乘的定义：求实数与向量的积的运算 ①- 2 ②当时，与的方向相同； ③当时，与的方向相同； ④当时， ⑤ ⑥ ⑦ 题型一、平面向量的加法 1．（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算，即可得答案. 【详解】由题意得, 故选：A 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减运算法则得到答案. 【详解】． 故选：B 3．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】因为点M是边BC的中点，所以 因为点N在AM上，且 ，所以， 所以. 故选：C. 4．如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 5．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 7．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：A. 8．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】， 故选：D． 9．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断. 【详解】在平行四边形ABCD中，， 而，， ， . 故选：B. 10． （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算求出即可； 【详解】. 故选：D. 11．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 12．如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 13．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 14．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 15．如图，在正方形中，是边的中点，设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】因为在正方形中，是边的中点，， 所以. 故选：D 题型二、平面向量的减法 1．在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的减法及加法的三角形法则计算可得结果. 【详解】由三角形法则计算可得. 故选：C. 2．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即. 故选：A. 3．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 4．设D，E为所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意，画出图形，然后利用向量的基本定理进行求解. 【详解】如图所示，， 因为，， 所以，， 所以． 故选：D. 5．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 6．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 7．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 8．在中，为边上的中线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根距离向量的线性运算，得到，结合，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 因为为边上的中线，可得，所以， 所以. 故选：A.    9．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 10．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可. 【详解】如图， 因为，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 11．如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示， 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示． 【详解】解法一：依题意①，②，③， 由②③式解得，， 代入①式得． 解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则， 由，有， 有，解得，得． 故选：A． 12．如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【答案】B 【分析】向量的加法、减法法则计算即可. 【详解】由向量的加法、减法法则，得 ， ． 故选：B. 13．在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行四边形性质推出，根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】平行四边形中,，则∽， 因为点是上靠近的四等分点，所以， 所以，    故． 故选：B． 14．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量加法法则及减法法则计算即可. 【详解】. 故选：D.    15．在中，，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】. 故选：A $$3.2平面向量的加法运算（讲义） 目录 1 知识点01三角形法则之向量加法 2 2 知识点02三角形法则之向量减法 2 3 知识点03平行四边形法则 3 4 知识点04向量的数乘 3 5 题型一、平面向量的加法 3 6 题型二、平面向量的减法 6 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01三角形法则之向量加法 ①向量加法定义：将两个向量首位相接，形成一个封闭的三角形，两个向量的和为这个三角形的第三边，即在三角形中：（首位相接的加法）A B C ②向量加法的推广，如：， 知识点02三角形法则之向量减法 ①相反向量：模长相等，方向相反的向量 ②相反向量图示：与A B B A ③利用数乘表示相反向量：与向量为相反向量，所以= ④向量减法定义：将两个起点相同的向量，形成一个封闭的三角形，两个向量的差为这个三角形的第三边，即在三角形中：（起点相同的减法）A B C ⑤向量减法的推广，如：， 【注意】 ①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合 ③要注意运用三角形法则时，两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． 知识点03平行四边形法则 ①向量减法定义：将两个起点相同的向量，补成一个封闭的平行四边形，两个向量的和为这个平行四边形的对角线向量，即在平行四边形中： A B C D ②要注意运用平行四边形法则时，两个向量必须共起点，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量 知识点04向量的数乘 数乘的定义：求实数与向量的积的运算 ①- 2 ②当时，与的方向相同； ③当时，与的方向相同； ④当时， ⑤ ⑥ ⑦ 题型一、平面向量的加法 1．（    ） A． B． C． D．0 2．（   ） A． B． C． D． 3．在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 5．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 8．等于（   ） A． B． C． D． 9．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 10． （   ） A． B． C． D． 11．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 14．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，是边的中点，设，则（     ） A． B． C． D． 题型二、平面向量的减法 1．在中，（    ） A． B． C． D． 2．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 4．设D，E为所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 6．化简（    ） A． B． C． D． 7．化简：（    ） A． B． C． D． 8．在中，为边上的中线，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 13．在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 14．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 15．在中，，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． $$