数学（江苏卷02）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考江苏专用）·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 3．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．第85百分位数为18 B．众数为12 C．中位数为17 D．平均成绩为14 【答案】A 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：中位数为：，故C错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：A. 5．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列， 所以， 设等比数列的公比为q， 由题意知，， 所以， 化简，得，解得或舍去， 所以 故选： 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B 7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由，得，， 由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理可得， 得，整理得， 解得，所以，，． 在由余弦定理， 得， 整理得，则． 故选：D. 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，由， 可得，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上递减， 当时，，即函数在上递增， 所以，，即实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，为锐角，，可得到，① ，得，②， 由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选： 10．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，体积为，MN是该圆台的一条母线，A，B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN与底面所成的角为 B．该圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为 D．若∥平面，则三棱锥体积的最大值为 【答案】ABD 【详解】设圆台的高为，， 则，解得， 可得圆台的母线长为， 将圆台补成圆锥，可知圆锥的母线长为，即圆锥的轴截面为等边三角形， 对于选项A：所以直线MN与底面所成的角为，故A正确； 对于选项B：该圆台侧面展开图扇环的圆心角为，故B正确； 对于选项C：因为， 可知该圆台的外接球的球心O即为，半径即为， 所以球O的表面积为，故C错误； 对于选项D：设，连接， 因为∥，可知四点共面， 若∥平面，则平面，且平面平面， 可得∥，可知为平行四边形，则， 可知点为的中点， 取的中点，设，则， 因为， 则， 当且仅当时，取到最大值， 又因为三棱锥体积， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】因为， 取可得， 所以，A错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由， 用替换可得，， 所以，即， 所以函数为奇函数，B正确； 任取，， 则， 又当时，，且， 所以，故， 所以函数在上单调递减，C正确； 因为， 所以不等式可化为， 所以，又函数在上单调递减， 所以， 所以，所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 13．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【详解】设，则，将坐标分别代入， 可得，即，所以， 由焦半径公式可得，， 由可得，即，所以， 所以， 又，则， ， 所以四边形的周长为. 故答案为： 14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 . 【答案】 47 【详解】由中的对称性，不妨令，要最小， 百位必相邻，的百位为4，的百位为3； 对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1； 同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47； 要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： 取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位， 而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为， 所以m小于100的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 16．（15分） 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以； （2）设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立． （3）因为，所以要证， 只需证：， 根据（2）可知，那么， ， 所以. 17．（15分） 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 18．（17分） 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最小值； (3)求证：当时，． 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点 ，，切点 与在公共点处的切线方程为． （2）设为与的一个公共点， ，由，代入①， ， 令 当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减，当时，，， 当且仅当时取“”，． （3）由（2）知， 证：时，， 即证：对恒成立 令， 当时，在上单调递减；当时，在单调递增, 当时，，故函数在时取最小值， ，证毕！ 19．（17分） 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【详解】（1）双曲线， 双曲线的离心率. （2）①证明：由题意将与双曲线联立，， 化简得，， ， 同理将与双曲线联立，，同理可得， 同理 ，，． 从而可证． ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ， 令，则， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递增， ，， 又因为时，， ． 从而可证． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考江苏专用）·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．12 14．47 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面；（5分） （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，，（7分） 设平面的一个法向量为， ， 令得，故，（9分） 直线与平面所成角的正弦值为， 即，（10分） 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为.（13） 16．（15分） 【解析】（1）设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以；（4分） （2）设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立．（8分） （3）因为，所以要证， 只需证：，（10分） 根据（2）可知，那么， （13分） ， 所以.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；（3分） 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望．（8分） （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以.（10分） （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以；（13分） 当时，，而， 所以， 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，，设为与的一个公共点 ，，切点 与在公共点处的切线方程为．（5分） （2）设为与的一个公共点， ，由，代入①， ，（8分） 令 当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减，当时，，， 当且仅当时取“”，．（11分） （3）由（2）知， 证：时，， 即证：对恒成立（13分） 令， 当时，在上单调递减；当时，在单调递增, 当时，，故函数在时取最小值， ，证毕！（17分） 19．（17分） 【解析】（1）双曲线， 双曲线的离心率.（4分） （2）①证明：由题意将与双曲线联立，， 化简得，， ， 同理将与双曲线联立，，同理可得， （8分） 同理 ，，． 从而可证．（12分） ②由（1）可知，当时，且， 直线方程为：，且， 则到的距离， ，（13分） 令，则， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递增， ，，（15分） 又因为时，， ． 从而可证．（17分） 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考江苏专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．第85百分位数为18 B．众数为12 C．中位数为17 D．平均成绩为14 5．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，体积为，MN是该圆台的一条母线，A，B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN与底面所成的角为 B．该圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为 D．若∥平面，则三棱锥体积的最大值为 11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 13．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ． 14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 17．（15分） 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 18．（17分） 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最小值； (3)求证：当时，． 19．（17分） 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考江苏专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．第85百分位数为18 B．众数为12 C．中位数为17 D．平均成绩为14 5．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，体积为，MN是该圆台的一条母线，A，B是该圆台下底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN与底面所成的角为 B．该圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为 D．若∥平面，则三棱锥体积的最大值为 11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 13．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ． 14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 17．（15分） 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 18．（17分） 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最小值； (3)求证：当时，． 19．（17分） 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$