精品解析：天津市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025 （二）天津二中高一年级第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 若，，则与向量同向的单位向量是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 容易求出，，从而可求出与向量同向的单位向量. 【详解】解：由已知得，则， ∴与向量同向的单位向量是：. 故选：A. 【点睛】考查向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及单位向量的定义及求法，是基础题. 2. 中，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 故选：A. 3. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积定义结合向量模长公式即可计算求解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B. 4. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及投影向量的求解方法，即可得出在向量上的投影向量为，化简即可. 【详解】因为，向量与向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 5. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的夹角是，由数量积的定义求解即可. 【详解】解：设与的夹角是，，且， ， ， 故选：B. 6. 在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小. 【详解】 由正弦定理可得： 设，， 最大 为最大角 本题正确选项： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题. 7. 已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 8. 若单位向量，，满足，，则（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求得，进而或，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 得， 又，所以， 则或， 故或. 故选：D 9. 在平行四边形ABCD中，，则BD等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质及余弦定理可求解. 【详解】， ， 在中，由余弦定理可得， ， ， . 故选：D. 10. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，再由，得判断. 【详解】解：都为单位向量， 所以在的角平分线上， 由，得, 由，得， 所以为等腰非等边三角形， 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上. 11. 在中，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理建立方程求解即可. 【详解】因为，， 所以由余弦定理可得，即， 解得或（舍） 故答案为：6 12. 已知中，角所对的边分别为，若，其中，则角________________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意结合正弦定理得：, 又所以, a>b,由大边对大角可得B为锐角, 则＝. 13. 已知点，点，向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，且与不共线，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由已知可得，，且与的夹角为锐角， 则，可得， 又向量与不共线，则， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量减法运算求出的表达式，根据，，三点共线，可得存在实数k，使得，由此列出关于参数的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得， , 由于，，三点共线，故存在实数，使得， 即，则， 消去，解得， 故答案为：3 15. 已知正方形的边长为，是的中点，是线段上的点，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，表示各点坐标，设，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】 如图，以为原点建立平面直角坐标系，则， ∴. 设，则，故， ∴， ∴， ∵函数二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值，最小值为. 故答案为：. 16. 设点为的外心，，.若，则 ___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，结合三角函数的定义表示点坐标，根据点在线段的垂直平分线上求出点的横坐标，利用建立等量关系即可得到结果. 【详解】 如图，以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则. 设，由得， ∴. ∵点为的外心， ∴点在线段的垂直平分线上，故点的横坐标为， ∴的横坐标为. ∵，∴， ∵，∴， ∴，故，即. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求的值; （2）求. （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件计算，利用向量的夹角公式计算可得结果. （2）计算的坐标，根据模长公式可得结果. （3）根据向量垂直的坐标公式计算可得结果. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∵与的夹角为，， ∴，解得或， ∵，∴. 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， ∴. 【小问3详解】 由题意得，. ∵与垂直， ∴，解得. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）先求，再利用正弦定理运算求解即可； （3）先求，再利用两家和差公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以. 【小问2详解】 因为，则， 由正弦定理可得. 小问3详解】 因为，， 则， 所以. 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . （1）求角的大小； （2）若面积为，求的最小值； （3）若，边上的中线长为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得结果. （2）利用面积公式可得，根据余弦定理结合基本不等式可得结果. （3）根据条件可得，等式两边同时平方可求得的值. 【小问1详解】 ∵，，且 ， ∴，故， ∵，∴，故， ∵，∴. 【小问2详解】 ∵的面积为，∴，即，故. 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意， ∴，即的最小值为. 【小问3详解】 ∵为边上的中线，∴， ∴，即， ∴，即，解得或（舍）， 此时，为等边三角形，符合题意， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 （二）天津二中高一年级第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 若，，则与向量同向的单位向量是 A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知平面向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为 A. B. C. D. 7. 已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若单位向量，，满足，，则（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或 9. 在平行四边形ABCD中，，则BD等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 10. 已知非零向量与满足，且，则（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的三角形 D. 直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上. 11. 中，，，则________. 12. 已知中，角所对的边分别为，若，其中，则角________________. 13. 已知点，点，向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 已知与是两个不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______． 15. 已知正方形的边长为，是的中点，是线段上的点，则的最小值为____________. 16. 设点为的外心，，.若，则 ___________. 三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求的值; （2）求. （3）若与垂直，求实数值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b值； （3）求的值． 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . （1）求角大小； （2）若的面积为，求的最小值； （3）若，边上的中线长为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$