精品解析：河南省实验中学2024-2025学年高二下学期月考（一）数学试卷

河南省实验中学高二下月考数学（一） 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 2. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导函数，再将代入，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，， 将代入可得：，解得. 故选：B. 3. 若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，设出点，根据点处的切线斜率为，求得切点，再用点到直线的距离公式即可求得结果. 【详解】要使点P到直线的最小距离，只需点为曲线与直线平行的切线的切点， 即点为斜率为的切线的切点， 设，， 解得或（舍去）， 点到直线的距离为， 所以曲线上任一点到直线距离最小值为. 故选：. 【点睛】本题考查由切线的斜率，求切点坐标，涉及点到直线的距离公式，属基础题. 4. 用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 180 B. 240 C. 280 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 5. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可得为奇函数，再通过求导分析函数的单调性即可解不等式. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. ， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又因为，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增. 由，得，即， 所以，解得. 故选：D. 6. 高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可. 【详解】若数学和物理都排在上午，则有种； 若数学和物理都排在下午，则有种； 若数学排在上午，物理排在下午，则有种； 若数学排在下午，物理排在上午，则有种. 综上，不同的排法共有种. 故选：C 7. 已知定义在上的严格单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，构造，，求导得到其单调性，结合函数定义域，解不等式，求出答案. 【详解】严格单调递增，故，， 令，，则， 所以在上单调递减， 由定义域可知，， 则， 即，故，解得. 故选：D 8. 设，且时，恒成立，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，构造，，求导，分，和三种情况，得到函数单调性，结合和图象特征得到答案. 【详解】时，，即， 令，， 则， 当时，在上恒成立， 故在上单调递增， 其中，故时，恒成立，故时，恒成立， 当时，令，解得，负值舍去， 当时，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，当趋向于时，趋向于， 不能使得时，恒成立， 当时，，故在上单调递减， 其中，故时，恒成立，不合要求， 综上，实数的范围为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A. 是函数的极小值点 B. 函数在处取最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD 10. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如等.下列说法正确的是（ ） A. 末尾为1的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个 C. 位回文数有个 D. 位回文数有个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回文数的定义，结合排列组合即可求解AB；再用分步计数原理分析和位回文数的数目，即可判断CD. 【详解】对于A，末尾为1的五位回文数，则首位也是1，此时第二位和倒数第二位数字有10种选法，第三位有10种选法，故总的个数为个，A正确； 对于，十位大于个位，有种方法，此时第一位和第二位的数字被确定，第三四位的数字相同，故有10种选择，因此符合条件的六位回文数，有360个，B正确； 对于C，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第和第位也有10种，则共有种选法，故C错； 对于D，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法，即位回文数有个，所以 D正确. 故选：ABD． 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有三个极值点 B. 存在实数 C. 实数的取值范围是 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数分段求导，可得到函数的单调性和极值点，作出函数图像，可判断A、C；设立新函数，结合零点存在定理，可求得满足题意的实数，可判断B；通过设立新函数并求导，利用函数单调性可推导出D正确. 【详解】由题意，时，，则， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减. 所以在时取得极大值. 时，，则， 所以，时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以在时取得极小值. 对于A，函数有且仅有两个极值点，故A错误； 对于B，存在，使，证明如下： 若，则，， 所以. 设函数，则， 当时，，则，单调递增， 又因为根据零点存在定理，存在，使即.故B正确； 对于C，根据上述分析，可作出函数图像如图， 因为函数有三个零点，所以实数的取值范围是. 故C正确； 对于D，当时，令，解得，所以. 当时，设， 则 ， 所以函数在上单调递减，则，即. 又因为，所以，， 因为时，单调递增，所以即. 当时，设， 则. 设函数，则， 设函数，则. 所以，时，，即函数单调递减， 则有，即，故函数单调递增. 因为当时，，则有即， 所以当时，即. 又因为，所以，则， 因为，，且时，单调递增，所以即. 所以时，有.故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导函数的值域，再利用导数的几何意义求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当且仅当时取等号，由为曲线在点处的切线的倾斜角，得，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种． 【答案】150 【解析】 【分析】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、，二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加起来可得出结果. 【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、， 分配方法种数为； 二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，分配方法种数为. 综上所述，所有的分配方法种数为，故答案为． 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题． （原创题） 14. 已知存在不超过的极小值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再分别研究和的零点，通过数形结合的思想方法，得出的四个分类标准，依次讨论的单调性，求出极值点，使极小值点不超过即可求解. 【详解】， 则， 令，则，则得；得； 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 且有时，时，故其图象如下图， ①当时，，则得，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，无极小值点，不符合题意； ②当时，，则在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当时，有唯一根，即，则，得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点，且，满足题意， 故； ④当时，有两正根，且和，不妨设，则， 则得或；得或， 则在和上单调递增，在和上单调递减， 则和为的极大值点，为的极小值点， 欲使存在不超过的极小值点，则， 因，结合图象可知，， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 若. （1）求函数的单调区间与极值； （2）证明：恒成立； 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，再解不等式和即可得出单调区间； （2）构造新函数，通过研究函数的单调性，求出其最小值，证明即可. 【小问1详解】 ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，极大值为 所以的单调增区间为，单调减区间为， 极大值为，无极小值； 【小问2详解】 令， ， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以恒成立，即恒成立. 16. 某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？ （2）若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？ （3）由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法和特殊元素优先法即可求解； （2）利用捆绑法和插空法即可求解； （3）利用插空法和分类加法计数原理即可求解. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法. 再将剩下4个节目全排列，有种排法. 最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中， 有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法. 则共有种排法. 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中. 若两个节目放入同一个空，有种排法， 若两个节目不放入同一个空，有种排法， 故共有种排法. 17. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求的值； （2）对任意在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点和极值得到方程组，求出或，分别检验后，得到满足要求，得到答案； （2）在任意恒成立，将其看作关于的一次函数，得到在恒成立，令，求出最小值，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 又函数在处有极值为10， 或， 当时，， 令，则或， 当时，，当或时，， 故在上单调递减，在，上单调递增，且， 满足函数在处有极值为10，满足题意；此时. 当时，，则函数无极值点，不成立， 综上，； 【小问2详解】 对任意在区间上单调递增， 在任意恒成立， 记， 在上单调递增， 在恒成立， 令，开口向上， 函数对称轴为， . 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的增区间为，，减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，，，四种情况求解即可； （2）转化问题为，恒成立，令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 因为， 则， ①当时，，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； ②当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为； ③当时，， 当时，，则， 当时，，则， 此时，函数在上单调递增； ④当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 因为， 对任意的，有，所以时，，即， 令，则， 所以，函数在上单调递减，则，故， 因此，实数的取值范围是. （原创题） 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若. ①证明：有3个不同的零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数知识可得切线方程斜率，即可得答案； （2）①由题设，由导数知识结合零点存在性定理可得在R上的零点情况，进而可得单调性，最后再由零点存在性定理可完成证明； ②设的三个零点分别为，其中，注意到，据此可完成证明. 【小问1详解】 ，时 ，所以在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ①由题， 令令； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，又，所以，且当时，时，； 所以在与上各有一个零点，不妨分别记为， 所以时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 且，所以；则，又当时，时，； 所以在与上各有一个零点，且，所以有且仅有三个零点. ②设的三个零点分别为，不妨设，则； 则， 同乘，即， 再同乘，得. 则 又，，，所以， 即，得，因此该函数所有零点之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学高二下月考数学（一） 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 180 B. 240 C. 280 D. 300 5. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A. B. C. D. 7. 已知定义在上的严格单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，且时，恒成立，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则以下说法正确的为（　　） A. 是函数的极小值点 B. 函数在处取最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 10. 数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如等.下列说法正确的是（ ） A. 末尾为1的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个 C. 位回文数有个 D. 位回文数有个 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有三个极值点 B. 存在实数 C. 实数的取值范围是 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围为__________. 13. 精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种． （原创题） 14. 已知存在不超过的极小值点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 15. 若. （1）求函数的单调区间与极值； （2）证明：恒成立； 16. 某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？ （2）若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？ （3）由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？ 17. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求的值； （2）对任意在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. （原创题） 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若. ①证明：有3个不同的零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $