09：圆锥曲线的向量问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题09 圆锥曲线的向量问题 平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中. 向量的运算 向量的数量积 若，则 向量的数乘 若，则时， 向量的线性运算 若，则时，. 向量的翻译 向量垂直 当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况） 向量模长 当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直. 定角 求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即. 直角 当为直角时，则 锐角 当为锐角时，则； 钝角 当为钝角时，则； 点在圆上 直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则； 点在圆内 直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则； 点在圆外 直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则 平行四边形 若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 向量其他常见条件 1.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. 2.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. 题型一：向量共线问题 1、向量的单共线 【例1】（2022徐汇中学高二月考）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 2、向量的双共线 【例2】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线为，过焦点作直线交抛物线于、两点． (1)过点作直线的垂线，垂足为，若在上的数量投影为，求的面积； (2)设直线交轴于点，若，，求的值； (3)设为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【例3】（2023大同中学期中考试）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 3、证明三点共线 【例3】已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，且椭圆的离心率为，，为椭圆上任意两点，点的坐标为（），且满足. (1)求椭圆的方程； (2)证明：，，三点共线. 【例4】（2022·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值； (3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 【例5】（2024上海延安中学高三月考）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值； 题型二：向量加法构造平行四边形 【例6】（2023控江中学周练）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中，，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求k的值； (3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围． 【例7】设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量,若向量,,且,其中. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线与轨迹交于,两点,设,是否存在直线,使得四边形是矩形？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由. 题型三：向量中的数量积问题 【例8】（2022向明中学期末）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； (3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【例9】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.    (1)求的标准方程； (2)求线段长的最大值； (3)证明：为定值，并求此定值. 【例10】（2021·上海高三专题练习）双曲线，圆在第一象限交点为，曲线. （1）若，求b； （2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠； （3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围. 【例11】（2023·上海徐汇·统考三模）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.称在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线为曲线，并记在轴上方的部分为曲线，在轴下方的部分为曲线.    (1)写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点右侧，求的最大值. 题型四：利用向量求角 【例12】已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）. 【例13】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 题型五：锐角、直角、钝角的向量转化 【例14】已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围. 【例15】（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线. （1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程； （2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明. （3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：. 题型六：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 【例16】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【例17】（2021·上海高三专题练习）已知三点，，，曲线上任意一点满足. （1）求曲线的方程； （2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 题型七：点在圆上、点在圆外、点在圆内向量转化 【例18】设椭圆的离心率为，点为椭圆上一点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【例19】已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同两点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围. 【例20】如图，椭圆：的离心率为，左顶点为，直线过其右焦点且与椭圆交于两点，已知三角形面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）直线、分别与一条定直线交于，两点，若点始终在以为直径的圆内，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题09 圆锥曲线的向量问题 平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平移向量作为工具处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中. 向量的运算 向量的数量积 若，则 向量的数乘 若，则时， 向量的线性运算 若，则时，. 向量的翻译 向量垂直 当直线时，利用向量进行数量积的翻译，即,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情况） 向量模长 当时，通过平方推导，转化为，即翻译成垂直. 定角 求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即. 直角 当为直角时，则 锐角 当为锐角时，则； 钝角 当为钝角时，则； 点在圆上 直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当为直角时，则； 点在圆内 直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则； 点在圆外 直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当为锐角时，则 平行四边形 若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 向量其他常见条件 1.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. 2.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. 题型一：向量共线问题 1、向量的单共线 【例1】（2022徐汇中学高二月考）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 【解析】（1）不妨设， 因为的重心，所以， 所以， 又短轴长为6，所以，代入解得， 所以椭圆方程为:； （2）由上可知，设中点， 则， 又，消去并整理得， 同理， 又， 由题意得， 即， 因B，D在上，易得，化简得， 所以线段中垂线的斜率， 线段中垂线方程:， 令得， 又线段中点在椭圆内所以， 所以； （3）设，由得， 联立消整理得， 得， 所以， 当时，， 当时，， 解不等式得. 2、向量的双共线 【例2】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线为，过焦点作直线交抛物线于、两点． (1)过点作直线的垂线，垂足为，若在上的数量投影为，求的面积； (2)设直线交轴于点，若，，求的值； (3)设为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)以线段为直径的圆过定点，理由见详解 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可得，再根据投影的定义得到，从而求出，即可得解； （2）依题意直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，即可得到点坐标，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，根据平面向量线性运算表示，，再代入计算可得； （3）首先求出、的坐标，即可求出及圆心坐标，从而表示出圆的方程，即可求出过定点坐标. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 依题意可得，所以，则，， 所以在上的数量投影为，即， 所以，解得，所以，此时， 所以. （2）依题意直线的斜率存在且不为零， 设直线方程为，又、，则且， 令，则，即， 联立方程，消去可得， 则可得，， 又，、 所以，，，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以 . （3）以线段为直径的圆过定点，理由如下： 由（2）可得，， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得， ∵ ， 又 ， 则线段为直径的圆的圆心，半径， 故圆的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段为直径的圆过定点. 【点睛】思路点睛： 过定点问题的两大类型及解法： (1)动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． (2)动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【例3】（2023大同中学期中考试）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 【解析】（1）因为椭圆经过点， 所以解得（负值舍去）． 由的面积为可知，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，． 联立，消整理可得． 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得， 因为，所以的取值范围是， 所以，， 则 ， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 则，即，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （3）因为，，，， 所以直线的方程是：， 令，解得，所以点的坐标为． 同理可得点的坐标为． 所以，，． 由，， 可得，， 所以， 同理， 由（2）得， 所以 ， 因为，所以，所以， 则，所以， 所以的范围是． 3、证明三点共线 【例3】已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，且椭圆的离心率为，，为椭圆上任意两点，点的坐标为（），且满足. (1)求椭圆的方程； (2)证明：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. （1）椭圆C的右焦点为，且离心率为，∴a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程为. （2）由（1）知，的坐标分别为，设，∴，，，，∵，，∴三点共线，三点共线，即，整理得，两边平方得，①又M，N在椭圆上，则，代入①并化简得，又，，∴要证M，F，N三点共线，只需证，即，只需证，整理得，∴M，F，N三点共线. 【例4】（2022·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点关于直线的对称点为，且，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知动点在曲线上，点在直线上，且，求线段长的最小值； (3)过点且不垂直于轴的直线交曲线于、两点，点关于轴的对称点为，试问：在轴上是否存在一定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】(1)由点关于直线的对称点为，则 则， 所以，即 所以曲线的方程为： (2)由点在曲线上，设，点在直线上，设 由，即， 由，则 所以 当时，，此时不满足，即不满足. 所以，由，则 由，则设 由勾型函数的单调性，可知函数在上单调递减. 此时当时， 所以线段长的最小值为 (3)在轴上存在一定点，使得、、三点共线. 设 则 由题意设直线的方程为 由，可得 所以 直线的方程为 令，得 所以直线：恒过点 所以在轴上存在一定点，使得、、三点共线. 【例5】（2024上海延安中学高三月考）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值； 【解析】（1）椭圆：的长轴长为，离心率为， 则，，则，则 则椭圆的方程为； （2）设椭圆上点关于直线的对称点 则，解之得，则 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或 当时与点M重合，舍去.则 （3）设，则 又，则，直线的方程为 由，整理得 则，则 又，则， 则，则 令则，直线的方程为 由，整理得 则，则 又，则， 则，则 则 由点，和点三点共线，可得 则 整理得，则 题型二：向量加法构造平行四边形 【例6】（2023控江中学周练）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中，，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，，求k的值； (3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围． 【解析】（1）由题意得，2b＝2，，，解得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为． （2）当m＝1时，直线l的方程为， 设，，由，消去y得． 因为点P在椭圆C内，所以． 所以，所以． 所以，直线MN的方程为． 由，消去y得，则 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以． （3） 直线l的方程为， 由，消去y得． 所以，即，（*） 且，所以． 因为M，N关于原点对称，所以由（2）易知，． 由四边形OANB为平行四边形，得， 可得，解得． 因为将代入（*）式恒成立， 所以存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形， 所以当时，， 因为，所以，所以m的取值范围为． 【例7】设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量,若向量,,且,其中. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线与轨迹交于,两点,设,是否存在直线,使得四边形是矩形？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由. 【解析】（1）由题意得,, ,, 设,,则动点M满足, 由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以,为焦点的椭圆, 设椭圆的方程为,则,, , 故轨迹的方程为 （2）存在满足条件的直线.设直线的方程为, 由方程组,消去,整理得： 则恒成立,即直线与椭圆恒有两个不同的交点, 设交点为,,则①,② 由得,即,∴四边形OAPB为平行四边形 若存在直线使四边形OAPB为矩形,则, 即③ 将①､②代入③式得：,解得, 所以直线的方程为,此时四边形OAPB为矩形. 题型三：向量中的数量积问题 【例8】（2022向明中学期末）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积； (3)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)定值0，证明见解析. (1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：， 于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是， 则有， 所以双曲线C的方程为. (2)依题意，设点，则，即， ，当时，，此时， 点M到直线DP：的距离为，而，如图， 四边形ODMP的面积， 所以四边形ODMP的面积为. (3)显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：， 当时，恒成立，设， 则有，， 因此，， 所以为定值0. 【例9】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.    (1)求的标准方程； (2)求线段长的最大值； (3)证明：为定值，并求此定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，0 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，联立，根据求得的范围，再利用韦达定理求出，从而可求得的中点的坐标，即可求得直线的方程，再联立方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式计算即可得解； （3）结合（2）根据数量积的坐标表示化简整理即可得证. 【详解】（1）根据题意得，，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）设， 由，整理得， 所以，解得， 设的中点，则， 所以的中垂线方程为：，即直线的方程为， 由，整理得， 所以， 所以 ， 又因为，所以当时，； （3）由（2）可知，， 所以 . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例10】（2021·上海高三专题练习）双曲线，圆在第一象限交点为，曲线. （1）若，求b； （2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠； （3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围. 【答案】（1）2；（2）；（3）. 【分析】 （1）由已知且A为曲线、的交点，代入方程并联立方程组求参数即可. （2）根据圆的性质判断P在双曲线上，法一：利用双曲线定义求，结合余弦定理即可求∠；法二：由P是以为圆心，8为半径的圆与双曲线的交点求其坐标，应用向量的坐标表示得到，，利用向量数量积公式即可求∠； （3）由题设得直线，由点线距知与直线l相切并可求切点坐标，再结合双曲线斜率为负的渐近线与直线l平行，即可确定且OM⊥MN，联立、并利用向量数量积的几何意义即可求的范围. 【详解】 （1）若，点A为曲线与曲线的交点， ∵，解得， ∴. （2）∵，知，，结合题意有为曲线的两焦点，又P是曲线上一点且在第一象限， ∴当P在圆上，由，不符合圆的性质，故P一定在双曲线部分. 方法一：由双曲线定义知：，， ∴， 在中由余弦定理可得：，则∠. 方法二：，以为圆心，8为半径的圆为，P为其与双曲线在第一象限的交点，又， 可得，解得， ，， ，则∠. （3）设直线，可得原点O到直线的距离，所以直线是圆的切线，若切点为M，则， 设，与圆联立得，解得， ∴，又直线与双曲线得斜率为负得渐近线平行且OM⊥MN， ∴只有当时，直线才能与曲线有两个交点， 由，得，即有，解得或（舍）， 又∵由在上的投影可知：， ∴，即. 【点睛】 关键点点睛： （1）由交点及其横坐标代入方程求参数值. （2）利用圆的性质：圆中所有弦中直径最长判断P的位置，再应用双曲线定义、余弦定理或向量数量积的坐标表示求角. （3）由已知确定直线l的方程，结合点线距、双曲线渐近线判断直线l与、的位置关系，进而可得时，直线才能与曲线有两个交点且OM⊥MN，最后联立方程求范围，及由向量几何意义求范围. 【例11】（2023·上海徐汇·统考三模）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.称在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线为曲线，并记在轴上方的部分为曲线，在轴下方的部分为曲线.    (1)写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点右侧，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)； (3)1. 【分析】（1）利用向量平移求出的方程，并求出与x轴的两个交点坐标即可求出的方程. （2）直线与、的方程分别联立，借助相等的角及正切列式求解作答. （3）按在圆上和在曲线上分类讨论，计算的最大值作答. 【详解】（1）抛物线上的点按得到点， 所以抛物线由抛物线向下平移1个单位得到，则的方程为， 抛物线与轴相交于点， 则以为直径的圆的方程为. （2）将与圆方程联立，消去，有，因为， 所以，即，代入直线方程得， 联立与抛物线方程，得， 所以， 因为，故，解得， 由，可得，所以. （3）设，显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由直线与轴的交点在点右侧，所以，下面分两种情况讨论： 情况一：若在圆上，则， 情况二：若在曲线上，因为直线与轴的交点在点右侧，所以斜率大于0，所以点在第一象限， 由直线与曲线恰有两个公共点、，知直线与曲线曲线各有且仅有一个公共点， 因为直线与轴的交点在点右侧以及斜率大于0知： 直线与圆在轴及其上方无公共点，所以直线与曲线相切于点， 于是有，当且仅当时等号成立； 又因为时，， 当且仅当时等号成立，所以， 即直线与抛物线在轴下方部分无公共点，所以直线与曲线相切于点， 由求导得：，直线的斜率为， 于是得直线的方程为，且满足， 由解得，此时取，得， 直线与曲线相切于点、曲线相切于点，符合题意，此时有， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 题型四：利用向量求角 【例12】已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与圆相切，求的大小（为坐标原点）. 【答案】(1)； (2). (1)解：由已知可得，解得，故椭圆的方程为. (2)解：因为直线与圆相切，且直线的方程为， 所以，即， 联立，整理得， ， 设、，则，. 故， 则，故. 综上所述，M，，N，四点共圆． 【例13】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值. 【解析】（1）由题意可得，解得，， 所以圆的方程为，椭圆的方程为． （2） 证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为， 则，即， 又由，得点M的坐标为， 由，得点N的坐标为， 所以，，， 所以， 所以，即 题型五：锐角、直角、钝角的向量转化 【例14】已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和过点，得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据为钝角得到，得到不等式，求出，舍去，得到答案. 【详解】（1）由题意得，又，且， 解得， 故椭圆的方程为； （2）由题意得，， 直线的方程为，联立得，， 恒成立， 设，则， ， 因为为钝角， 所以， 即，即， 解得， 又时，三点共线，此时不是钝角，舍去， 故的取值范围是. 【例15】（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线. （1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程； （2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明. （3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：. 【答案】（1）建系答案见解析，；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）根据“定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍”，建立坐标系得到关于P点的坐标的关系式，即曲线的方程，原点距点M的距离为1. （2）根据曲线的方程以及图像的特点，得出曲线的两个性质，范围和对称性. （3）证明，即是证明，故需联立直线与曲线方程得到，.然后得出结果为0，即得到证明. 【详解】 解：（1）在线段上取点，使得，以点为原点，以线段所在的直线为轴建立平面直角坐标系. 设动点的坐标为，则有，，由题意，有 ， 整理得：.① （2）①范围：或， ②对称性： 曲线关于成轴对称； 曲线关于成轴对称； 曲线关于成中心对称. 范围证明： 令,得或, 曲线位于直线与两侧,所以或. ， 对称性证明： 在方程①中，把换成，方程①不变， 所以，曲线关于成轴对称； 在方程①中，把换成，方程①不变， 所以，曲线关于成轴对称； 在方程①中，把换成，或把换成，方程①不变， 所以，曲线关于成中心对称； （3）将代入，解得，(舍). 所以. (i)若直线垂直于轴： 将代入，解得， 此时，､.所以，，. . (ii)若直线不垂直于轴： 设､，，. 直线的方程为，将其代入，整理得， . 所以，，. . . 故，. 【点睛】 （1）根据题目信息建立适当坐标系，得到关于点的横纵坐标的等量关系. （2）利用图形观察特点，得出性质. （3）将证明垂直的问题转化为证明向量乘积为0的问题，联立方程组，对基本的运算由一定的要求. 题型六：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 【例16】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点； (1)求的离心率； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； (3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； （3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解. 【详解】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. （2）依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. （3）设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【例17】（2021·上海高三专题练习）已知三点，，，曲线上任意一点满足. （1）求曲线的方程； （2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】 （1）利用坐标写出 ，，，即可求出，，再根据，化简即可求得曲线的方程； （2）先假设存在，根据题意写出的方程，对进行讨论，联立方程解出，即可求得与的面积之比的表达式，利用其为常数,即可求得结论. 【详解】 解：（1），， ，，， 即，， ， ， ， 即， 化简得曲线C的方程：； （2）假设存在点满足条件， 则，， 直线的方程是：， 的方程是， 动点在曲线上， ， 曲线C的方程：； 即， 则， ， 曲线C在Q处的切线l的方程是：， 与y轴交点为：， ， ， ， ①当时，， ,使得：， ， 时不符合题意； ②当时， ， 与一定相交， 联立：， 即， 解得：， 联立：， 即， 解得：， ， 又， ， 又， ， 对任意， 要使为常数， 则要满足：， 解得：，此时， 故存在，使与的面积之比是常数2. 【点睛】 方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 题型七：点在圆上、点在圆外、点在圆内向量转化 【例18】设椭圆的离心率为，点为椭圆上一点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，. 解析：(1)由可得，① 的周长为，所以， 即② 联立①②得：，，， ∴椭圆的方程为； (2) 设点． 由，得， ，化简得， ∴， ∴． 由，得， 假设存在点， 则，， ∵以为直径的圆恒过点，∴， 即， ∴对任意都成立． 则，解得， 故存在定点符合题意． 【例19】已知椭圆，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同两点、. (1)求椭圆的标准方程； (2)当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 解析：(1)依题意作图如下： ，，， 椭圆的方程为：； (2)设、，先假设直线l的斜率k存在，则直线的方程为， 联立椭圆与直线l的方程： ，解得， ， 由于，，，，， 点F在圆内，故，即，，解得：； 若k不存在，则直线l与椭圆的交点为， 此时圆的半径为2，点F在圆周上，不满足要求，所以； 故答案为：，. 【例20】如图，椭圆：的离心率为，左顶点为，直线过其右焦点且与椭圆交于两点，已知三角形面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）直线、分别与一条定直线交于，两点，若点始终在以为直径的圆内，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 解析：（1）三角形面积， 可得∴， ∴. （2）由题设的倾斜角不为0， ∴设：，与联立， ∴， 设，，∵， ， ∴：， ∴， 同理， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$