06：圆锥曲线的面积问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题06 圆锥曲线的面积问题 一、三角形的面积处理方法 1、底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） 2、水平宽·铅锤高或 3、在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 二、三角形面积比处理方法： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型： 蝉模型： 三、四边形面积处理方法 1、对角线垂直 2、一般四边形 3、分割两个三角形 三、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 四、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型一 利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积 【例1】已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积. 【例2】（2023上海高二期末）椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称. (1)求椭圆的方程 (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)若点，求证：三点共线. 【例3】（2023上海位育中学练习）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率； （3）求面积的最大值． 【例4】（2024上海交大附中朋=月考）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：. （3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值. 题型二 由水平宽x铅锤高求三角形面积 【例5】如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积． 【例6】已知椭圆，的左焦点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积． 【例7】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)分别记和的面积为和，求的最大值． 【例8】已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值 【例9】已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值． 题型三 三角形的面积比问题之共角、等角模型 【例10】已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D． (1)若点C是的中点，求p的值； (2)设与的面积分别为，求的最大值． 【例11】已知椭圆： 的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程． 【例12】已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D． (1)若点C是的中点，求p的值； (2)设与的面积分别为，求的最大值． 【例13】已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值． 题型四 三角形的面积比问题之对顶角模型 【例14】已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值． 【例15】已知椭圆的离心率为，且经过点．    (1)求椭圆方程； (2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围． 【例16】在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【例17】（2023上海格致中学期末）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程C； (2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值； (3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型五 对角线互相垂直的四边形面积 【例18】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值. 【例19】设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值． 题型六 把四边形分割成两个三角形的面积 【例20】已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内． (1)若，求椭圆的标准方程； (2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值． 【例21】分别是椭圆于的左、右焦点. (1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 【例22】O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切． (1)求的方程； (2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值． 题型七 面积定值问题 【例23】在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值?请说明理由． 【例24】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． (1)求双曲线的方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 【例25】已知椭圆的离心率为，短半轴长为． (1)求C的标准方程； (2)若不过坐标原点O的直线l与C交于A，B两点，延长线段AO，BO与C分别交于点M，N，若直线AM，BN的斜率之积为，证明：四边形ABMN的面积为定值． 【例26】如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和. （1）求四边形的面积； （2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【例27】（2023闵行中学期中）已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且． （1）求此双曲线的方程； （2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值． （3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围． 【例28】（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考开学考试）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 题型八 已知面积求参 【例29】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m． 【例30】（2024七宝中学期中）已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【例31】（2024上海复兴高级中学月考）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，点是线段的中点，，是上关于原点对称的两点，且. （1）求曲线的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）当四边形的面积时，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题06 圆锥曲线的面积问题 一、三角形的面积处理方法 1、底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） 2、水平宽·铅锤高或 3、在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 二、三角形面积比处理方法： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型： 蝉模型： 三、四边形面积处理方法 1、对角线垂直 2、一般四边形 3、分割两个三角形 三、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 四、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型一 利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积 【例1】已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1)；(2). 解析：(1)由题意可得， 解得， 所以椭圆的方程为. (2)解法一： 由（1）得，则由题意可设直线， 代入椭圆方程整理可得， 设，则， 则由弦长公式知， 又设到的距离为，则由点到直线距离公式可得， 的面积， 即所求面积为. 解法二： 由（1）得，则由题意可设直线，即 代入椭圆方程整理可得， 设，则， ， 则的面积， 即所求面积为. 【例2】（2023上海高二期末）椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称. (1)求椭圆的方程 (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)若点，求证：三点共线. 【解析】(1)解：由题得，所以椭圆方程为， 因为椭圆过点所以，所以 所以椭圆的方程为. (2)解：由题得,所以直线的方程为即， 联立直线和椭圆方程得， 所以,点到直线的距离为. 所以的面积为. (3)解：设直线的方程为， 联立直线和椭圆的方程得， 设，所以， 由题得，， 所以， 所以 ， 所以,又有公共点, 所以三点共线. 【例3】（2023上海位育中学练习）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于、两点，且线段被直线平分． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率； （3）求面积的最大值． 【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则由已知可得，且， 解得，，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，，，，的中点为，， 则，两式作差可得：， 又，且，即， 所以， 故直线的斜率为； （3）由（2）设直线的方程为， 则点到直线的距离为， 联立方程，消去整理可得：， 所以， 所以 ， 所以三角形的面积为， 当且仅当，即时取等号， 此时三角形的面积的最大值为． 【例4】（2024上海交大附中朋=月考）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：. （3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为. 解析：（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，，且双曲线的实轴长为，所以解之得 双曲线的标准方程为 （2）联立方程组解之得所以点 ， ， ，∴ （3）当直线的斜率不存在时， ，，此时 当直线的斜率存在时，设方程为 代入椭圆方程得， 由弦长公式得 把直线方程代入双曲线方程得 由弦长公式得 因为直线与双曲线的右支相交于的，两点， 所以 设原点到直线的距离为， ∴ 综上可知，的最小值为. 题型二 由水平宽x铅锤高求三角形面积 【例5】如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积． 【答案】(1)(2) （1）设椭圆的方程为，是的直角三角形，，为直角，从而，即，，，在中，， ，椭圆标准方程为； （2）由（1）知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得①，设， ， ， ， ， ，当时，①可化为， ，的面积． 【例6】已知椭圆，的左焦点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积． 【解析】（1）由已知得：； 解得，所求椭圆方程为 (2)设，直线的斜率，故直线的方程为：， 联立，消去得：， 法一：∴或． 联立得， ∴的面积为 法二：∴ 联立得, ∴的面积为 法三：∴或．代入直线，得 ∴N到直线QM：的距离， ∴的面积为. 【例7】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)分别记和的面积为和，求的最大值． 【解析】（1）设，则， 的面积为，解得， 在中，，由余弦定理， 即， 所以，则，椭圆C的方程为． （2）设点P的坐标为，则直线的方程为， 将其代入椭圆方程中可得， 所以，所以，同理可求得， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【例8】已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值 【解析】（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，， 所以， 又，则， 所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则， 由得：， 则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 所以，面积的最大值为. 【例9】已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求面积的最大值． 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，即， 所以，即，① 又椭圆经过点，则，② 由①②解得，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线垂直于坐标轴时，点不能构成三角形，不符合题意， 当直线不垂直于坐标轴时，设，，，则， 联立得， 则，． 又，， 易知与同号， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为． 题型三 三角形的面积比问题之共角、等角模型 【例10】已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D． (1)若点C是的中点，求p的值； (2)设与的面积分别为，求的最大值． 【解析】（1）设直线l的方程为，代入， 得， 由题意，即， ∴l的方程为， 又∵l过， ∴； （2）l的方程化为，设， 则l的方程为，点C的纵坐标， 则， 由，得， 解得． 设M，N的纵坐标分别为 ， 令，显然， 则， 当且仅当时取等号，此时， 所以的最大值为． 【例11】已知椭圆： 的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，点为椭圆的上顶点，过点作互相垂直的两条直线（的斜率为正数）和，直线与以短轴为直径的圆和椭圆分别相交于点，，直线与圆和椭圆分别相交于点，，且的面积是面积的倍，求直线和的方程． 【解析】（1）根据题意可得解得 椭圆的标准方程 （2）圆 设，则 设，，， 则，同理可得：，， ∵的面积是面积的倍，则 代入整理得： 联立方程，得或，即，同理 联立方程，得或，即，同理 代入可得：，解得或 当时，直线，； 当时，直线， 【例12】已知椭圆的上、下顶点分别为，抛物线在点处的切线l交椭圆于点M，N，交椭圆的短轴于点C，直线交x轴于点D． (1)若点C是的中点，求p的值； (2)设与的面积分别为，求的最大值． 【解析】（1）设直线l的方程为，代入， 得， 由题意，即， ∴l的方程为， 又∵l过， ∴； （2）l的方程化为，设， 则l的方程为，点C的纵坐标， 则， 由，得， 解得． 设M，N的纵坐标分别为 ， 令，显然， 则， 当且仅当时取等号，此时， 所以的最大值为． 【例13】已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值． 【解析】(1)因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点， 所以有； (2)由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为， 与椭圆方程联立为：， 设， 因为，所以，， 直线AG的方程为：，令， 得，即， 同理可得：， ， 因为， 所以有， 于是有， 因此为定值. 题型四 三角形的面积比问题之对顶角模型 【例14】已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值． 【解析】(1)因为△PAB的面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点， 所以有； (2)由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为， 与椭圆方程联立为：， 设， 因为，所以，， 直线AG的方程为：，令， 得，即， 同理可得：， ， 因为， 所以有， 于是有， 因此为定值. 【例15】已知椭圆的离心率为，且经过点．    (1)求椭圆方程； (2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围． 【解析】（1）由离心率为，且经过点可得，又， 解得，所以椭圆； （2）设，则，， 令，， 可得， 代入，得， 又，得， 设，， 可得， 代入，得， 又，得， ∵，∴， ∵，，∴． 【例16】在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为. 设点P的坐标为，则由直线与的斜率之积等于，得， 化简得，故动点P的轨迹方程为. （2）若存在点P使得与的面积相等， 设点P的坐标为，则， 因为，所以，即. 作直线，作于，于，则， 所以，同理，所以可得， 整理得，解得； 因为，所以. 故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为. 【例17】（2023上海格致中学期末）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程C； (2)设直线与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段为直径作圆D，圆心为D，设是圆D上的动点，当t变化时，求的最大值； (3)设直线和分别与直线交于点M、N，问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】(1)设 ，依题意有 ， ，即 ， 整理得： 或 ； (2)当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时， 必有 ， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在时， 取最大值= ； (3) 设 ， ，当 时，有 , 由弦长公式得 ， ， ∴ ， ， 此时 ，点P的坐标为 或 ; 综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值=， 存在，P 或P. 题型五 对角线互相垂直的四边形面积 【例18】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且.求四边形面积的最小值. 【解析】当直线斜率存在且不为0时，设方程为：，联立， 设,则， 由弦长公式可得； 因为,故，进而可得 所以四边形的面积为 , 因为，即， ，当且仅当时，等号成立， 当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为 ∴四边形面积的最小值为. 【例19】设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值． 【答案】（I）； （Ⅱ）2. 【分析】 （Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程； （Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论． ①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积； ②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值． 【详解】 （Ⅰ）设椭圆E的焦距为，则有，解得，∴， 因此，椭圆E的方程为； （Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为． ①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，， 此时，四边形PMQN的面积为； ②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、， 将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得， ，由韦达定理可得，， ∴ ， 同理可得， 所以，四边形PMQN的面积为 ， 令，则， 所以， ∵，所以，，由二次函数的基本性质可知，当， 所以，． 综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2． 【点睛】 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 题型六 把四边形分割成两个三角形的面积 【例20】已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内． (1)若，求椭圆的标准方程； (2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值． 【解析】（1）由已知是等边三角形， 因为，，所以， 得椭圆的标准方程为． （2）设，， 因为，，所以， 则,所以， ， 所以，， 两式相减得， 带回原式得， 因为，所以， （当时取等） 所以四边形CADB面积S的最大值为． 【例21】分别是椭圆于的左、右焦点. (1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知，， ，，设， ，， 由椭圆的性质可知， ， ，故，即. (2)设，，联立消去整理可得， ，， ，， 直线的方程为：， 根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为 ， ， ， ， 四边形的面积为 ，当且仅当即时，上式取等号， 所以的最大值为. 【例22】O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切． (1)求的方程； (2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值． 【解析】(1)因为，，， 所以① 因为，所以② 由①得：，解得：，代入②式中， 解得：， 所以的方程为：，的方程为： (2)，因为直线不垂直于y轴 所以设方程为： 联立 得： 设，， 则，，， 则， 因为点M在直线上，所以， 直线： 联立得： 解得：，显然，故 当时，， 当时， 则， ，点直线距离分别是： ， 因为，点直线两侧，故 显然，所以 所以 则 则四边形面积 当时，四边形面积取得最小值，此时 此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为1 题型七 面积定值问题 【例23】在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值?请说明理由． 【答案】(1)；(2)面积为定值. 解析：(1)设，根据题意，，其中表示到直线的距离. 整理得， 曲线的方程为：． (2)的面积为定值，理由如下： 设， ①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则 此时，，由题可得， 故； ②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切 得：① ， ，则直线MO的方程为： ，， 由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即 设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得 ，由，可得，② 则有，， 所以，将①代入得： 由直线与轴交于， 则的面积为. 故 综上：面积为定值． 【例24】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． (1)求双曲线的方程； (2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 【解析】（1）不妨设 , 因为, 从而 故由 , 又因为, 所以 , 又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为： （2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为 由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点, 当动直线的斜率不存在时, ,，, 当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且 , 化简得 , 故由 , 同理可求,, 所以 又因为原点到直线的距离, 所以,又由 所以, 故的面积是为定值,定值为 【例25】已知椭圆的离心率为，短半轴长为． (1)求C的标准方程； (2)若不过坐标原点O的直线l与C交于A，B两点，延长线段AO，BO与C分别交于点M，N，若直线AM，BN的斜率之积为，证明：四边形ABMN的面积为定值． 【解析】(1)∵，，∴， ∴． ∴C的标准方程为． (2)由椭圆的对称性可知，因此只需求的面积即可 ． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，． 联立得， ，，． ． ，即． ， 原点O到直线AB的距离， ∴． 当直线AB的斜率不存在时，，， ，，解得，． ∴． 综上，的面积为定值． ∴四边形ABMN的面积为定值． 【例26】如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和. （1）求四边形的面积； （2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，且定值为. 【分析】 （1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积； （2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果. 【详解】 （1）因为双曲线，由双曲线的定义可得， 又因为，，， 因为，所以，，轴， 点的横坐标为，所以，，，可得，即点， 过点且与渐近线平行的直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，点到直线的距离为， 且，因此，四边形的面积为； （2）四边形的面积为定值，理由如下： 设点，双曲线的渐近线方程为， 则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为 ，且， 因此，（定值）. 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例27】（2023闵行中学期中）已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且． （1）求此双曲线的方程； （2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值． （3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围． 【解答】（1）解：双曲线的离心率，， 则， 双曲线的渐近线方程为， 设，，，，， 则，， ， ，即， 可知所求双曲线方程为， 点在双曲线上， ，① ， ． 又，② 联立①②解得：，则， 所求双曲线方程为； （2）证明：设，，则． 双曲线的渐近线方程为， 设其中一条平行的直线方程为，即． 联立，解得， 不妨设点，则， 又点到直线的距离， （定值）； （3）解：为双曲线上任意一点， ，又， ， 即， ， 即． ，，， 则，， ，． 【例28】（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考开学考试）如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． (1)求椭圆G的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (3)若过点的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为、，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的三角形周长，求出半焦距c及a，b作答. （2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，假定存在符合要求的k，借助斜率并结合韦达定理计算推理作答. （3）由（2），求出点M，N的纵坐标绝对值的比值范围作答. 【解析】（1）令椭圆G的半焦距为c，因，且正的周长为6，则，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为. （2）显然直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：，点、，则， 由消去x并整理得：，则，， 由（1）知，，假定存在实数k使，则直线的斜率满足， 而 ，解得，与矛盾， 所以不存在实数k使成立. （3）显然直线MN不垂直于y轴，由（2）得直线MN：，， 由（2）得，设，有，于是得， 因此有，， ，显然，当且仅当时取等号， 因此，解得，则， 所以的取值范围是. 题型八 已知面积求参 【例29】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m． 【解析】(1)解：根据题意可知： ，解得， 所以椭圆的方程为； (2)解：设， 联立，消整理得， 则，解得， ， 则， 点到直线的距离， 则，解得， 所以若面积为，. 【例30】（2024七宝中学期中）已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）依题意，，当轴时，则，，得； （2）设，，， ， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即． 直线， 联立，解得，； （3）设，，，，，， 直线， 则， ． 联立，得． 则，． 由直线的方程：，得纵坐标； 由直线的方程：，得的纵坐标． 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得． 存在直线或满足题意． 【例31】（2024上海复兴高级中学月考）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，点是线段的中点，，是上关于原点对称的两点，且. （1）求曲线的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）当四边形的面积时，求的值. 解（1）由条件得，， ……………2分 化简整理得，，则所求的曲线的方程为. ……………4分 （2）设，， 由，整理得，则，………2分 又点是线段的中点，则， 即点. 由得，点. 又在曲线上，则， 化简整理得，. …………………………………4分 当时，，则直线的方程为. …………………6分 （3）由得， ，则， 又，是上关于原点对称的两点， 即 ,则， 则四边形的面积. ……………………2分 设，，由（2）中计算可知：，， 则 ， 又原点到直线的距离， 即 ， 则四边形的面积 ，……………………4分 由（2）知，即， 则 ， 当 时，即 ，即， 则. …………………………………………6分 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$