04：圆锥曲线的定值问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选修第一册第1章坐标平面上的直线（培优课程） 专题04 圆锥曲线的定值问题 一、定值问题解题思路与策略 定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： (1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） (2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, (3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： (1)设参数； (2)用参数来表示要求定值的式子； (3)消参数. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 二、与定值有关的结论 1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； 2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. 3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； 4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； 5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. 6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. 7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） 8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 题型一：斜率型定值 与斜率有关的定值问题包括直线的斜率为定值，或两直线的斜率之积为定值，或两直线的斜率之比为定值，或两直线的斜率之和为定值等. 1、直线斜率定值 “一定二动斜率定值”问题：A是圆锥曲线C上的定点，E、F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题， 【例1】如图1，已知是椭圆上的两个动点，是椭圆上的定点，如果直线与关于直线对称，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 【例2】如图4，已知是抛物线上的两个动点，是抛物线上的定点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 【例3】（2023大同中学模拟）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积； （3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值． 【例4】（2024奉贤中学周练）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 【例5】如图2，已知是椭圆上的两个动点，是椭圆上的定点，如果直线与关于直线对称，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 2、斜率和差为定值 【例6】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值． 【例7】已知椭圆（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【例8】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【例9】已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值. 3、 斜率之积为定值 【例10】 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为直线. . 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 . 求证: 为定值. 【例11】已知椭圆 的上、下顶点分别为 , 点 在椭圆上, 且异于点 , 直线 、 与直线 分别交于点 , 设直线 的斜率分别为 , 求证: 为定值. 【例12】 已知椭圆C：的焦距为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 4、斜率之比为定值 【例13】已知抛物线 的焦点为 , 过点 的直线交抛物线于两点, 直线 分别与抛物线交于 两点. 求证：直线 与直线 的斜率之比为定值. 【例14】双曲线与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为，．过椭圆上顶点的直线与双曲线交于点，（，不与，重合），记直线的斜率为，直线的斜率为． (1)求双曲线的方程； (2)证明为定值，并求出该定值． 【例15】已知椭圆 , 左右顶点分别记为 , 过右焦点 作直线 交椭圆于 . 两点,记直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 . (1) 求 的值; (2) 求证直线 与直线 的交点 的在一条定直线上. 【例16】已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，. (1)求双曲线方程. (2)求证：直线的斜率之比为定值. 【例17】如图, 已知抛物线 , 点 . 过点 作直线 交抛物线 于点 , 直线 分别交抛物线 于另一个点 , 设直线 和 的斜率为 , 则 (1) 直线 经过定点 ; (2) 为定值. 【例18】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，. (1)求双曲线的方程； (2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 题型二：距离型定值 与线段长度、距离有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 【例19】（2022崇明区一模）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M, N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． （1） 若，求点P的坐标；M P Q N F1 y x O （2） 若四边形为矩形，求点M的坐标； （3） 求证：为定值． 【例20】（2022黄浦区一模）设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线的距离是定值． 【例21】（2023青浦高级中学5月模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 【例22】（2023·上海·上海市七宝中学模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为. (1)若为直角三角形，求的离心率； (2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由； (3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由. 【例23】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点． （1）若点的坐标为,求的焦点坐标； （2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值； （3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值． 【例24】 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i)若，求直线的斜率; (ii)求证:是定值. 题型三：面积型定值 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式，再利用题中条件化简， 1、三角形面积定值 2、两三角形面积的和差积商定值 3、四边形面积定值 【例25】（2023上·上海浦东新·高三上海市进才中学阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为、，直线与椭圆交于A、B两点. (1)若直线l经过点，且，求点A的坐标； (2)若直线l经过点，且，求直线l的方程； (3)若，则的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【例26】如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，． （1）求椭圆C的方程，并求的值； （2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【例27】已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与直线交于，两点，且，求的值； （3）若点，与点，在椭圆上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值． 【例28】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，且为的重心. (1)如果直线的斜率都存在，求证:为定值; (2)试判断的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由. 【例29】已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【例30】已知椭圆过点两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【例31】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中学期中）已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 【例32】已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q. ①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由. ②求证：为定值. 【例33】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知为坐标原点,椭圆：的右顶点为,离心率为．动直线：与相交于,两点,点关于轴的对称点为,点到的两焦点的距离之和为4． （1）求的标准方程． （2）若直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 题型四：角度型定值 【例34】已知双曲线 的离心率为 , 右准线方程为 , 设直线 是圆 上动点 处的切线, 与双曲线 交于不同的两点 , 证明 的大小为定值. 【例35】已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点． （）求圆和椭圆的方程． （）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【例36】已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 , 短轴长为 , 直线 与椭圆 交于 两点. (1) 求椭圆 的方程; (2) 若直线 与圆 相切, 探究 是否为定值, 如果是定值, 请求出该定值; 如果不是定值, 请说明理由. 【例37】（2023格致中学期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 题型五：数量积型定值 与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值. 【例38】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为． 求椭圆E的方程； 过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【例39】设是椭圆的左、右焦点，离心率为过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. (1)求椭圆的方程; (2)若线段中点的横坐标为，求斜率的值; (3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点坐标;若不存在，请说明理由. 【例40】（2022虹口区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点,交轴于点. （1）若，求的值； （2）若点在第一象限，满足，求的值； （3）在平面内是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【例41】（2022松江区一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由． 题型六：参数型定值 【例42】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为是椭圆上不同于长轴端点的任一点，的延长线分别交椭圆于另一点且求证:为定值. 【例43】已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若.求证:为定值. 【例44】（2023延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【例45】已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 【例46】（1）若椭圆的离心率，且被直线截得的线段长为，求椭圆的标准方程； （2）椭圆，其中，若点是上的任意一点，过点作的切线交于两点，为上异于的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由. 【例47】（2024复兴高级中学期末）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点23.，直线交轴于，直线交轴于. (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围; (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值. (3)若直线过点，设，求的值; 【例48】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线. (1)求椭圆的离心率; 题型七：运算关系定值 与代数式有关的定值问题，一般是依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值 【例49】（2023上海曹杨第二中学5月模拟）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点. (1)求曲线的方程； (2)设是轴左侧（不含轴）上一点，在曲线上存在不同的两点，满足的中点均在曲线上，设的中点为，证明：； (3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求证：为定值. 【例50】已知A,B是双曲线的左、右顶点,P是双曲线上不同于A,B的一点． （1）若线段PB的垂直平分线分别交PB,PA于点,,求； （2）若O为坐标原点,射线OP交椭圆于点Q,设直线PA,PB,QA,QB的斜率分别为,,,,求的值． 【例51】已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 【例52】已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内切于矩形，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.    (1)求曲线的方程； (2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证：为定值. 【例53】已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值． 【例54】在平面直角坐标系中,动点到点的距离比它到直线的距离大. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与动点的轨迹交于两点,问是否为定值？若是求出定值,不是说明理由. 题型八：坐标相关定值 【例55】（2024上海交大附中月考）已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当时,求的面积； （3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值． 【例56】已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． (1)求圆M的方程； (2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值． 【例57】已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. (1)求抛物线T的方程： (2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由. 【例58】已知抛物线的方程为． (1)若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求； (2)设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为． 【例59】已知抛物线上一点到焦点的距离为3.    (1)求，的值； (2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 【例60】（2023·上海长宁·上海市延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题04 圆锥曲线的定值问题 一、定值问题解题思路与策略 定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： (1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） (2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, (3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： (1)设参数； (2)用参数来表示要求定值的式子； (3)消参数. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 二、与定值有关的结论 1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； 2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. 3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； 4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； 5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. 6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. 7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） 8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 题型一：斜率型定值 与斜率有关的定值问题包括直线的斜率为定值，或两直线的斜率之积为定值，或两直线的斜率之比为定值，或两直线的斜率之和为定值等. 1、直线斜率定值 “一定二动斜率定值”问题：A是圆锥曲线C上的定点，E、F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题， 【例1】如图1，已知是椭圆上的两个动点，是椭圆上的定点，如果直线与关于直线对称，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 高等背景：当与的倾斜角都趋近于时，直线的斜率就趋向于过的切线斜率. 在中，两边对求导有，把代入有：解得.因此，可以确定所求的定值为. 初等解法：因为直线与关于直线对称，所以直线的斜率与的斜率互为相反数.设直线的方程为，则直线的方程为. 把代入得： ， 设，注意到是方程的一个根，由根与系数关系得，， 同理可求， ， 把，代入上式得 【例2】如图4，已知是抛物线上的两个动点，是抛物线上的定点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 高等背景：当与的倾斜角都趋近于时，直线的斜率就趋向于过的切线斜率. 由解得，而在附近导数，所以，因此，可以确定所求的定值为. 初等解法：设直线的方程为，显然，， 代入得：， 设，注意到是方程的一个根，所以， 同理可求而，把，代入得 【例3】（2023大同中学模拟）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积； （3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值． 【答案】（1）（2）（3）见证明 【详解】 (1)由题意可得：，， ， 解得：，，. 椭圆的标准方程为：. (2) ， 点关于坐标原点对称，且， .可得直线的方程为：. 联立，解得，. . 四边形的面积. (3)证明：设 ， . 设直线的斜率为， ，则直线方程为：， 联立，化为：， ，解得，. 的斜率互为相反数， 直线的斜率为 ，直线方程为：. 联立，化为：， ，. 斜率为定值. 【例4】（2024奉贤中学周练）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值，且定值为. (1)由题意，则，又， 所以椭圆C的方程为，代入有，解得， 所以，故椭圆的标准方程为； (2)由题设易知：， 法一：设直线为， 由，消去y，整理得， 因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标， 故M为，用代替k，得N为， 所以，故直线的斜率为定值． 法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，， 由，消去y，整理得， 所以，而， 又，代入整理得， 所以，即， 若，则直线过点T，不合题意， 所以．即，故直线的斜率为定值. 【例5】如图2，已知是椭圆上的两个动点，是椭圆上的定点，如果直线与关于直线对称，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 高等背景：当与的倾斜角一个趋近于时，另一个趋近于时，直线的斜率就趋向于过的切线斜率. 在中，两边对求导有，把代入有：解得.因此，可以确定所求的定值为. 初等解法：设直线的方程为， 代入得：， 设，注意到是方程的一个根，所以， 同理可求， ，把，代入得 解题规律总结： 1、注意利用导数法探求定值，作为选择题或者填空题时要利用导数法，作为解答题时注意利用导数法进行检验； 2、题目条件的变化：“直线的斜率与的斜率互为相反数”，等价于“直线与的倾斜角互补”，或者“直线与关于直线对称”，或者“直线与关于直线对称”. 3、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的一个解为 ，消元后所得方程有一个根为或，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根. 4、注意以替换由点坐标直接求得点坐标. 5、对于直线与椭圆或者双曲线，的进一步化简要利用直线方程，对于直线与抛物线，的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程更加简单 在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值. 1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率 2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率 3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率. 2、斜率和差为定值 【例6】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值． 【答案】(1);(2)详见解析. 【解析】 试题分析：（1）解：由题意，得，，故， 从而， 所以椭圆的方程为． ① 5分 （2）证明：设直线的方程为， ② 直线的方程为， ③ 7分 由①②得，点，的横坐标为， 由①③得，点，的横坐标为， 9分 记，，，， 则直线，的斜率之和为 13分 ． 16分 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。 【例7】已知椭圆（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 为定值，该定值为0. 【解析】 试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k1+k2=0． 试题解析： （1）依题意， 解得，故椭圆的方程为； （2），下面给出证明：设， ， 将代入并整理得， ，解得，且 故，， 则， 分子= ， 故为定值，该定值为0. 【例8】已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，所以，， 由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值. 【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【例9】已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则 ， 而， 所以 ， 所以是定值. 3、 斜率之积为定值 【例10】 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为直线. . 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 . 求证: 为定值. 【答案】见解析. 【解析】设 , 则 , 所以 , 即 ,又 , 即 , 所以 (定值）. 【例11】已知椭圆 的上、下顶点分别为 , 点 在椭圆上, 且异于点 , 直线 、 与直线 分别交于点 , 设直线 的斜率分别为 , 求证: 为定值. 【答案】见解析. 【解析】证明：由题设椭圆可知, 点 . 令 , 则由题设可知 . ∴ 直线 的斜率 的斜率为 . 又点 在椭圆上, ∴, 从而有 . 【注】椭圆第三定义：已知椭圆 的方程为: , 过原点的直线 交椭圆 于 两点, 为椭圆上异于 的任一点, 若直线 的斜率均存在, 则 为定值. 【例12】 已知椭圆C：的焦距为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点． ①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②直线OM与ON的斜率之积为. 【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可； （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM与ON的斜率之积即可得出定值. 【详解】（1）因为焦距为，即，所以， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意知，直线l斜率存在，设直线l方程为，设. 由得， ，. ①因为点P为线段的中点，点P在直线上，所以，即，. 所以. 所以线段MN的垂直平分线方程为，即，即. 故线段的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得， 坐标原点到直线的距离为， 所以的面积为. 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 4、斜率之比为定值 【例13】已知抛物线 的焦点为 , 过点 的直线交抛物线于两点, 直线 分别与抛物线交于 两点. 求证：直线 与直线 的斜率之比为定值. 【答案】2 【解析】 的斜率为 ， 同理 的斜率为 , 所以 , 设直线 的方程为 , 联立抛物线方程得 , 所以 , 即 , 同理 , 所以 , 设直线 的方程为 , 联立抛物线方程得 , 所以 , 所以 , 故直线 与直线 的斜率之比为定值 2 . 【例14】双曲线与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为，．过椭圆上顶点的直线与双曲线交于点，（，不与，重合），记直线的斜率为，直线的斜率为． (1)求双曲线的方程； (2)证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (1)由椭圆的焦点，即中，渐近线方程为即，则由，即可求出. 所以双曲线的方程为：. (2)，由题意可知，直线的斜率k存在，所以，设直线方程为 联立方程，得 由韦达定理得，两式相除，有① ， ∴② 将①代入②得， 【例15】已知椭圆 , 左右顶点分别记为 , 过右焦点 作直线 交椭圆于 . 两点,记直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 . (1) 求 的值; (2) 求证直线 与直线 的交点 的在一条定直线上. 【答案】（1） ;（2）见解析. 【解析】（1）设 , 因为 , 所以 , 联立 , 则 . 所以 (2) 设 消去 得: , 故点 的在定直线 上. 【例16】已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，. (1)求双曲线方程. (2)求证：直线的斜率之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的通径及实轴计算即可； （2）联立直线与双曲线方程利用韦达定理及斜率公式作比计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 当轴时，直线， 则， 又，所以； （2）   由题意可知， 不妨设：,，易知， 联立双曲线方程得， 则，且，不难发现 由斜率公式可知， 则， 故是定值. 【点睛】关键点睛：本题关键在于比值式是不对称的，不能直接利用韦达定理，这里需要用去整体代换化简求值. 【例17】如图, 已知抛物线 , 点 . 过点 作直线 交抛物线 于点 , 直线 分别交抛物线 于另一个点 , 设直线 和 的斜率为 , 则 (1) 直线 经过定点 ; (2) 为定值. 【答案】见解析. 【解析】 设点 , 则 . 考虑到 三点共线, 则 考虑到 三点共线, 则 考虑到 三点共线, 则 由此得 从而 又由于 , 从而直线 的方程为: 故直线 经过定点 , 证毕. 【例18】（2023上·上海宝山·高三上海交大附中阶段练习）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，. (1)求双曲线的方程； (2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)是，定值； (3)； 【分析】（1）根据题意，直接列式计算可得答案； （2）直线与双曲线联立，利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值； （3）根据题意，利用韦达定理得出的范围，然后根据，可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）由题意可设双曲线：， 则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，直线AB的方程为， 由，消元得. 则，，且， ∴ ； 或由韦达定理可得，即， ∴ ， 即与的比值为定值.    （3）思路一：设直线AM：，代入双曲线方程并整理得： ， 由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在，上单调递减， 故， 故的取值范围为. 思路二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点M作两渐近线的平行线与，    由于点A在双曲线的右支上， 所以直线AM介于直线与之间（含x轴，不含直线与）， 所以， 同理，过点N作两渐近线的平行线与，    由于点B在双曲线的右支上， 所以直线BN介于直线与之间（不含x轴，不含直线与）， 所以. 由（2）中结论可知， 得，所以， 故. 【点睛】本题的解题关键是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断斜率的比值是否为定值，注意非对称韦达的使用技巧，第三问，由第二问较容易得到函数关系式，难点是准确找到斜率的取值范围，从而得到精确的的范围. 题型二：距离型定值 与线段长度、距离有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 【例19】（2022崇明区一模）（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分） 如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M, N是 y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． （1） 若，求点P的坐标；M P Q N F1 y x O （2） 若四边形为矩形，求点M的坐标； （3） 求证：为定值． 解：（1）设，由题意， 所以，又 所以，所以点坐标为........................4分 （2）连结，交于点，则为中点，且为中点 所以， 设，，则........................2分 又........................4分 所以，故点M的坐标是........................5分 （3）由（2）知，，所以， 由题意， 又 所以........................4分 所以或（舍去） 所以，为定值........................7分 【例20】（2022黄浦区一模）设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线的距离是定值． 解（1）由题意，椭圆：． 由， 得的焦点坐标为，． （2）当时，椭圆：． 设，于是，将代入上式， 得（）． 因此，当时，取到最小值，最小值为；当时，取到最大值，最大值为． （3）当时，椭圆：． ① 当直线垂直于轴时，，，则到直线的距离为． ② 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，于是直线的方程为． 由得所以．同理可得． 设到直线的距离为，因为， 所以，即． 综上，到直线的距离是定值． 【例21】（2023青浦高级中学5月模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； （2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解； （3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立. 【小问1详解】 解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是， 可得，解得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设，， 联立方程组 ，整理得， 由，解得， 则， 因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则， 可得，即， 代入得，整理得满足， 所以. 【小问3详解】 解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，， 设，则，所以，则， 因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点， 则为中点，所以， 又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， 则的方程为， 即； 又由直线的斜率为，所以直线的方程为， 由，可得，则， 解得，即， 又因为、分别为、在轴的垂足， 则，， 所以为定值. 【例22】（2023·上海·上海市七宝中学模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为. (1)若为直角三角形，求的离心率； (2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由； (3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由. 【答案】(1) (2)必要不充分条件，理由见解析 (3)是，理由见解析 【分析】（1）利用为直角三角形得到，转化为即可得. （2）根据椭圆的对称性可证必要性，又反例可知不满足充分性. （3）先证直线过椭圆的右焦点，可得的周长为 【详解】（1）   如图，，， ，， 由题意，即，故， 解得离心率 （2）必要不充分条件. 必要性：根据椭圆的对称性可知，当，关于轴对称时，成立； 充分性：椭圆方程为，设， ，在上不单调， 所以可举反例：分别取，， 即， 使得，但，不关于轴对称. （3）   由题意，，，椭圆方程为， 设，则直线的斜率为，方程为：， 联立椭圆方程得， ，故，代入得， 所以， 同理直线的方程为：， 联立椭圆方程得， ，故，代入得， 所以， 所以， 直线方程为， 令，可得，即直线恒过椭圆的右焦点. 所以的周长为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【例23】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数且,椭圆：,点是上的动点． （1）若点的坐标为,求的焦点坐标； （2）设,若定点的坐标为,求的最大值与最小值； （3）设,若上的另一动点满足（为坐标原点）,求证：到直线PQ的距离是定值． 【分析】（1）由题可得,,即得； （2）由题可得,利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ斜率存在时设其方程为,联立椭圆方程可得,利用韦达定理及条件可得,进而可得到直线PQ的距离为定值,当直线PQ斜率不存在时,可得,易得到直线PQ的距离为定值,即证. 【解析】（1）∵椭圆：,点的坐标为, ∴,, ∴的焦点坐标为； （2）设,又, 由题知,即, ∴, 又, ∴当时,取得最大值为25；当时,取得最小值为； ∴的最大值为5,最小值为. （3） 当时,椭圆：, 设,当直线PQ斜率存在时设其方程为,则 由,得, ∴, 由可知,即, ∴,即, ∴,可得,满足, ∴到直线PQ的距离为为定值； 当直线PQ斜率不存在时,,可得直线方程为,到直线PQ的距离为. 综上,到直线PQ的距离是定值． 【例24】 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点. (i)若，求直线的斜率; (ii)求证:是定值. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】(1)由题设知，，由点在椭圆上，得 由点在椭圆上，得: (2)由(1)得，又， (1) 是定值. 题型三：面积型定值 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式，再利用题中条件化简， 1、三角形面积定值 2、两三角形面积的和差积商定值 3、四边形面积定值 【例25】（2023上·上海浦东新·高三上海市进才中学阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为、，直线与椭圆交于A、B两点. (1)若直线l经过点，且，求点A的坐标； (2)若直线l经过点，且，求直线l的方程； (3)若，则的面积是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)或 (3)是， 【分析】（1）由题意可得点A在线段的中垂线上，然后将代入椭圆方程可求出点A的坐标； （2）由题意设直线，设，，方法一，由题意可得点A为线段的中点，则，，联立方程组可求出点的坐标，从而可求出直线方程；方法二：由题意得，将直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系可求出的值，从而可求出直线方程； （3）由题意可得，将直线方程代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系和弦长公式，点到直线的距离公式可求出的面积. 【详解】（1）由知点A在线段的中垂线上. 所以由，解得或， 所以或 （2）由题，直线，设，. 方法一：由知点A为线段的中点，所以，， 由得或， 所以或， 所以或，解得或， 所以直线l的方程为或. 方法二：由得，即，即. 由，得， 所以， 由，得同号，所以， 所以，所以，解得 所以，直线l的方程为或. （3）设，， 由得， 即（**） 由，得， 所以， 代入（**）得， 所以， 化简得.（***） 因为 ， 点O到直线l的距离， 所以 所以的面积为.    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积问题，解题的关键是将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解，考查计算能力，属于较难题. 【例26】如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，． （1）求椭圆C的方程，并求的值； （2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）椭圆C：，；（2）的面积为定值． 【分析】 （1）求出椭圆的方程，再设代入斜率公式，即可得答案； （2）设直线的方程为（），设，，根据，可得，再利用韦达定理化简得到的关系，求出三角形的底和高，代入面积公式，即可得答案； 【详解】 解（1）由题意得，又，所以， ，即椭圆C： 设，则，又，， 则 （2）设直线的方程为（），设，， ， ，， 由（1）知： ， ， 即，， ，又 ． 又O到直线的距离， 所以． ∴综上的面积为定值． 【点睛】 第一问的本质是椭圆的第三次定义；第二问探究是否为定值的思路：设直线的方程、设，的坐标，利用韦达定理得到变量间的关系，再把三角形的面积表达式求出，变量间的关系代入，求得定值. 【例27】已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与直线交于，两点，且，求的值； （3）若点，与点，在椭圆上，且点在第一象限，点在第二象限，点与点关于原点对称，求证：当时，三角形的面积为定值． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆，可得 ，，， 即有； （Ⅱ）将直线代入椭圆方程，可得 ， △，解得， 设，，，，则，， 即有， 解得，满足△； （Ⅲ）证明：直线的方程为，即为， 可得，到直线的距离为， ， 则， 由，，，，，， 可得，， 则 由，可得，， 即有． 故当时，三角形的面积为定值． 【例28】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，且为的重心. (1)如果直线的斜率都存在，求证:为定值; (2)试判断的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由. 【答案】(2) 【解析】(1)设直线，代入得: 设，则 线段中点，因为为的重心， 所以为定值. 代得， . 于是:所以(定值). 【注】圆锥曲线中平面图形面积问题，如果平面图形不是三角形，常常须将其分割为几个三角形，然后利用弦长公式求出三角形的一边长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，其边的长和高常常利用直线的斜率表示，从而确定平面图形的面积是否为定值.可以证明：本题的一般结论为：. 【例29】已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 【详解】 试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，． 所以椭圆的方程． 又， 所以离心率． （Ⅱ）设，则． 又，，所以， 直线的方程为． 令，得，从而． 直线的方程为． 令，得，从而 所以四边形的面积 ． 从而四边形的面积为定值． 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系． 【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 【例30】已知椭圆过点两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1)(2)见解析. 【解析】(1)由题意得，. 所以椭圆的方程. 又，所以离心率. (2)设，则. 又，所以，直线的方程为. 令，得，，从而. 直线的方程为. 令，得，从而 所以四边形的面积 从而四边形的面积为定值. 【例31】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中学期中）已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值4，理由见解析 【分析】（1）由是边长为4的等边三角形得，，进而求出c，结合椭圆离心率的定义即可求解； （2）由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求； （3）设,，,求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得的横坐标，再结合,在椭圆上可得与的关系，由求解； 【详解】（1）由的边长为4的等边三角形，得，且． ，故椭圆的离心率为； （2）由（1）知椭圆的标准方程为， 直线的一个方向向量是，且， 直线所在直线的斜率，则直线的方程为， 联立，得， 由解得，． 则的中点坐标为，． 则以为直径的圆的半径． 以为直径的圆的标准方程为； （3）设,，,． 直线的斜率为，由，得直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． 在椭圆上， ， 从而． ， ． 【例32】已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,当轴时,. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交y轴于点D,过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P,直线PF交抛物线C于另一点Q. ①是否存在定点M,使得四边形AQBM为平行四边形？若存在,求出定点M的坐标；若不存在,请说明理由. ②求证：为定值. 【解析】（1）当轴时,易得, 所以,解得, 所以抛物线C的方程为； （2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为, 代入抛物线C的方程,并整理得, 设,,由根与系数的关系得,. 所以,所以线段AB的中点N的坐标为,连接QM,若四边形AQBM为平行四边形,则N是QM的中点, 易知,因此, 设直线PQ的方程为,代入抛物线C的方程,整理得, 所以, 故,因此, 故可得,, 故点M的坐标为, 因此存在定点,使得四边形AQBM为平行四边形； ②证明：点到直线的距离, 由,,可得, 因此, 同理可得, 所以,为定值. 【例33】与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 已知为坐标原点,椭圆：的右顶点为,离心率为．动直线：与相交于,两点,点关于轴的对称点为,点到的两焦点的距离之和为4． （1）求的标准方程． （2）若直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由． 【分析】（1）用椭圆的定义及性质即可得解； （2）利用“设而不求法”表示出,的面积,即可求出. 【解析】（1）由对称性得点在椭圆上,根据点到的两焦点的距离之和为4及椭圆的定义,得,解得． 因为的离心率为,所以, 所以． 所以 所以的标准方程为． （2）是定值,且该定值为1． 理由如下： 由得,即． 设,, 则,且,． 易得直线的方程为, 令,得 ． 所以当变化时,直线与轴交于定点． 所以, 即是定值,且定值为1． 题型四：角度型定值 【例34】已知双曲线 的离心率为 , 右准线方程为 , 设直线 是圆 上动点 处的切线, 与双曲线 交于不同的两点 , 证明 的大小为定值. 【答案】见解析. 【解析】证明: 由题意, , 解得 , 所以 , ∴ 所求双曲 的方程为 . 设 在 上, 在点 处的切线方程为 , 化简得. 由 及 , 得 , 切线 与双曲线 交于不同的两点 ， 且 , 且 , 设两点的坐标分别 . ∵, 且 ∴ 的大小为 . 【例35】已知椭圆上的点到它的两个焦的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点． （）求圆和椭圆的方程． （）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【答案】（）；；（）见解析． 【解析】 试题分析： （1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程； （2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得． 试题解析： （）依题意，得，， ∴圆方程，椭圆方程． （）设，， ∴，，， ∵方程，令时，， 方程为，令得， ∴，， ∴， ∴． 点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下： （1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为； （2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程； （3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）． 【例36】已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 , 短轴长为 , 直线 与椭圆 交于 两点. (1) 求椭圆 的方程; (2) 若直线 与圆 相切, 探究 是否为定值, 如果是定值, 请求出该定值; 如果不是定值, 请说明理由. 【答案】 (1) (2) 【解析】（1）由题意得 , 所以椭圆 的方程为 （2）当直线 轴时, 因为直线与圆相切, 所以直线 方程为 , 当 时, 得 两点坐标分别为 , 当 时, 同理 ; 当 与 轴不垂直时, 设 , 由 , 得 , 联立 , 得 , , ∴ ∴ 综上, （定值） 【例37】（2023格致中学期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)定值，. 【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解； （2）根据题意设直线，联立方程组将面积的表达式表示出来，根据面积的值进而求解； （3）根据题意设出直线的方程，求出点，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，又， 则由题意可得， 故双曲线的标准方程为； （2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线， ，. 联立，消去整理得， 当时，， 则，. 当与双曲线交于两支时， ，，，不合题意； 当与双曲线交于一支时， ，， 则，得， 故； （3）直线的方程为， 令，得，则. 直线的方程为，令，得，则. 因为，所以，， ， 故，即， 故为定值. 题型五：数量积型定值 与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值. 【例38】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为． 求椭圆E的方程； 过点作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】1；2. 【分析】 设出椭圆的方程，得到关于a，c的方程组，解出即可求出椭圆方程； 假设存在符合条件的点，设，，求出，通过讨论当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理求出m的值，当直线l的斜率不存在时，求出直线方程，代入检验即确定． 【详解】 设椭圆E的方程为， 由已知得，解得：， 所以． 所以椭圆E的方程为． 假设存在符合条件的点， 设，， 则，， ， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由，得：， ，， ， ， 对于任意的k值，上式为定值， 故，解得：， 此时，为定值； 当直线l的斜率不存在时， 直线l：，，，， 由，得为定值， 综合知，符合条件的点M存在，其坐标为． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及存在性问题、转化与划归思想的应用，属于难题．解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 【例39】设是椭圆的左、右焦点，离心率为过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. (1)求椭圆的方程; (2)若线段中点的横坐标为，求斜率的值; (3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)(3)存在使得为定值. 【解析】(1)由题意:，又解得:， 椭圆方程为. (2)由题意：的斜率存在且不为0.又， 设. 则由 中点的横坐标为 (3)存在使得为定值. 理由如下：设存在符合题意的点，则:当的斜率存在时，由(2)知:， 所以， 当的斜率不存在时，则 由得. 综上：存在使得为定值. 【注】解题的步辰为：(1)设直线，(2)与曲线联立，得到关于(或)的一元二次方程， (3)根据韦达定理，求得(或的表达式，(4)代入所求，化简整理，即可得答案. 【例40】（2022虹口区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点,交轴于点. （1）若，求的值； （2）若点在第一象限，满足，求的值； （3）在平面内是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由已知的坐标为，,. 由，得，，，.…………3分 （2）设,则，因为，, 又点在椭圆上，所以.由得,，.…………………………6分 又,由,,,得.………8分 （3）设存在定点，使得是一个确定的常数.设,，直线, 将代入，整理得 …………………………10分 ………………14分 ,, 所以存在点,.……………………16分 【例41】（2022松江区一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由． 解：（1），， 又因为渐近线方程为．， ，，， ． （2）将代入，得． 当即时，方程在时无解．． 方程对恒有解，△， 即恒成立， 即恒成立，． 又，，． （3）假设存在，设定点为，设直线的方程为， 联立方程组，消可得， 则，且△，解得且， 设，，，， 可得，， 所以， ， 所以，， 要使为常数，即与无关． ∴，解得， 此时． 故存在，使得． 题型六：参数型定值 【例42】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为是椭圆上不同于长轴端点的任一点，的延长线分别交椭圆于另一点且求证:为定值. 【答案】见解析. 【解析】解法1：定比点作差法 如图 设 (1) 解法3:焦点弦性质 由已知: 得(定值). 【注】椭圆焦点弦性质：已知点为椭圆的焦点，任意过点的直线与椭圆交于两点，则有. 【例43】已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若.求证:为定值. 【答案】见解析. 【解析】设的点的坐标分别为点的坐标为，显然直线的斜率存在，设直线的方程是， 联立，消去并整理得 【例44】（2023延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. （1）求椭圆的方程； （2）设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）定值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. （3）设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案. 【小问1详解】 椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 【小问3详解】 设，，， 三点共线，则，即， 解得，同理可得， . 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定，是解题的关键. 【例45】已知抛物线的焦点为，圆恰与的准线相切. (1)求的方程及点与圆上点的距离的最大值； (2)为坐标原点，过点的直线与相交于A，B两点，直线，分别与轴相交于点P，Q，，，求证：为定值. 【答案】(1)；4 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可列式求得p，即可得抛物线方程，进而求得点与圆上点的距离的最大值； （2）设直线l方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设结合，得出的表达式，进而得的表达式，结合根与系数的关系进行化简，即得结论. 【详解】（1）由题意得抛物线C的焦点坐标为，准线方程为， 圆的圆心为，半径为， 由圆恰与的准线相切得， 故，故C方程为，， 故点与圆上点的距离的最大值为； （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0， 设过点的直线的方程为，，，    联立，整理得， 则且，即且， 则， 设，则， 由可得，即，同理可得, 直线的方程为， 令，得，同理可得, 因为 , 即，故为定值. 【点睛】难点点睛：第二问是关于直线和抛物线的位置关系中的定值问题，解答的思路是联立直线和抛物线方程，得到根与系数的关系，结合向量的数乘得出的表达式，从而得的表达式，然后进行化简，但难点在于计算的复杂性，并且计算量较大，要特别细心. 【例46】（1）若椭圆的离心率，且被直线截得的线段长为，求椭圆的标准方程； （2）椭圆，其中，若点是上的任意一点，过点作的切线交于两点，为上异于的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，. 【分析】（1）根据离心率及弦长转化为，化简计算可得椭圆的方程； （2）直线和椭圆方程联立后得出两根和及两根积，再根据点在椭圆上求得为定值. 【详解】（1）由题意可知：椭圆的离心率，因此， 故椭圆的方程为：，令，则椭圆的方程为： ，将代入可得，因此被直线截得的线段长为，可 得.所以椭圆的方程为. （2）由题意得，， ①当直线斜率不存在时，直线， 若，不妨设点在轴的上方，则， 又，所以， 代入中，得，即； 若，同理亦可得. ②当直线斜率存在时，设直线， 由，得， 由可得：， 即：. ，即：， 由可得：， 即：， ， ， ， 因为点在椭圆上，所以，， 整理，得， 又在上，， ，又，因此. 综上所述，为定值，且. 【例47】（2024复兴高级中学期末）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点23.，直线交轴于，直线交轴于. (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围; (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值. (3)若直线过点，设，求的值; 【答案】(1)(3) 【解析】(1)因为拋物线经过点，所以，所以，所以的方程为.又因为直线过点，且直线与拋物线有两个不同的交点，易知直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程式为. 根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率. 若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在，则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾，此时，所以直线斜率. 联立方程，得， 因为直线与拋物线有两个不同的交点，所以，所以. 故直线的斜率的取值范围是. (2) 设直线的方程为:，由，得， 设，则 . (3) 设点，则， 因为，所以，故，由得， 设，直线的方程为， 所以 所以. 【例48】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线. (1)求椭圆的离心率; 【答案】(1)离心率为证明见解析. 【解析】(1)设椭圆方程为，则直线的方程为， 联立，消去并整理得， 设点，由韦达定理可得， 由， 所以，桞圆的离心率为;(2)证明：由(1)知，所以椭圆方程可化为. 在椭圆上，， 由(1)，知. 又，代入式，得. 故为定值，定值为1. 【注】从解答过程可以发现，即，推广到一般，则有下面结论: 已知是椭圆上的两动点，点满足， (1)若在椭圆上，且，则 (2)若，且，则在椭圆上; (3)若在椭圆上，且，则. 题型七：运算关系定值 与代数式有关的定值问题，一般是依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值 【例49】（2023上海曹杨第二中学5月模拟）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点. (1)求曲线的方程； (2)设是轴左侧（不含轴）上一点，在曲线上存在不同的两点，满足的中点均在曲线上，设的中点为，证明：； (3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求证：为定值. 20．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求得曲线的方程； （2）设，联立方程组，转化为和是的两个实数根，结合，即可得证； （3）设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求得，再联立方程组求得，得到和，即可得证. 【详解】（1）解：由题意，动圆经过点且与直线相切， 即圆心到的距高等于到直线的距离， 由抛物线的定义，可得曲线的方程为. （2）证明：设， 因为的中点均在曲线上，可得， 整理得； 同理可得， 即和是方程的两个实数根，可得， 因为，所以. （3）证明：设直线的方程为， 由，整理得， 设，则， ， 因为，设直线的方程为， 由，整理的，解得，可得， 则， 又由 ，解得，可得， 所以. 【例50】已知A,B是双曲线的左、右顶点,P是双曲线上不同于A,B的一点． （1）若线段PB的垂直平分线分别交PB,PA于点,,求； （2）若O为坐标原点,射线OP交椭圆于点Q,设直线PA,PB,QA,QB的斜率分别为,,,,求的值． 【分析】（1）由双曲线的方程可得,,设,则,写出直线PB, PA的方程,联立求解得,即可求解； （2）由斜率公式结合题意求解即可 【解析】（1）由双曲线的方程可得,,设, 又M是线段PB的中点,则 直线PB的斜率为,直线PA的斜率为, 又, 则直线MN的方程为, 即, 又直线PA的方程为, 联立得, 代入,消去,解得, 即,则． （2）设,则, 易知,,化简得, 因为O,P,Q三点共线,所以, 所以． 易知,同理可得, 由,得, 所以． 【例51】已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，直接列出方程求解，可得答案. （2）根据题意，分类讨论当垂直于轴和不垂直于轴时的情况，对于垂直于轴的情况，直接列方程计算；对于不垂直于轴时的情况，直线与双曲线联立方程，利用韦达定理，计算化简可证明成立. 【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为， 将代入C的方程有，， 所以M，N到直线的距离之和为， 所以，C的方程为. （2）   方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知，故. 当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，， 故. 设，代入C的方程有：， 设，，则，， 所以 ， 所以. 综上，的值为6. 方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知， 故. 当l不垂直于x轴时，设， 代入C的方程有：. 设，，则，， 所以 . 综上，的值为6. 【例52】已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内切于矩形，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.    (1)求曲线的方程； (2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证：为定值. 【答案】(1)和； (2)证明见解析. 【分析】（1）把点的坐标代入半圆方程求出b即可；由面积最大可得半圆在点M处的切线与直线AG平行，借助斜率求出a值作答. （2）设点，结合（1）求出直线方程，进而求出点的坐标即可计算作答. 【详解】（1）由点M在半圆上，得，又，解得， 当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大，此时， 直线的斜率，则直线的斜率，则， 所以曲线的方程为和. （2）由（1）及已知得，，设， 则直线方程为，令，得，即， 直线方程为，令，得，即， 又，，， 所以 . 【例53】已知椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上,过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于、两点,且四边形的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于、两点,且与轴相交于点,若的值与无关,求斜率的值． 【分析】（1）根据题干条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,即可得出椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程,设点、,列出韦达定理,可得出的表达式并化简,结合已知条件可求得的值. 【解析】（1）由题意知． 将代入椭圆的方程得,所以, 所以由四边形的面积为,得,所以． 又点在椭圆上,所以,所以,. 所以椭圆的标准方程为． （2）由,消去得, 则． 设、,则,, 易知,所以 ． 由上式可知要使的值与无关,必有,解得． 所以直线的斜率的值为． 【例54】在平面直角坐标系中,动点到点的距离比它到直线的距离大. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与动点的轨迹交于两点,问是否为定值？若是求出定值,不是说明理由. 【解析】（1）方法一：设动点,由题意得：. 若,则式为,两边平方并化简可得：； 若,则式为,两边平方并化简可得：,显然不成立. 动点的轨迹的方程为. 方法二：由动点到点的距离比它到直线的距离大, 知动点到点的距离与它到直线的距离相等,满足抛物线定义； 由抛物线的定义知：动点的轨迹的方程为：. （2）易知直线斜率存在,设直线的方程为：, 由得：,则, 设,,则,,,. 抛物线焦点为,由抛物线定义知：,, , 为定值. 题型八：坐标相关定值 【例55】（2024上海交大附中月考）已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当时,求的面积； （3）求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值． 【解析】（1）因为,所以,即,因为离心率为,所以,设,则,,又,即,解得或（舍去）,所以,,,所以椭圆的标准方程为 （2）由得 , 所以直线与椭圆无交点,故的面积不存在． （3）由题意知,直线l的方程为,设,, 则,整理得, 则, 因为直线和椭圆有两个交点,所以,则, 设,因为,T,M在同一条直线上,则, 因为,T,N在同一条直线上,则, 由于,所以, 则交点T恒在一条直线上,故交点T的纵坐标为定值 【例56】已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． (1)求圆M的方程； (2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得 ，即可得到圆的半径，从而得到结果； （2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值. 【详解】（1）设抛物线上的点，又， 所以 ， 当且仅当时取等号． 所以MN的最小值． 所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为． 所以，所以圆M的方程为． （2） 设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零． 设切线方程为，即． 又圆M：，由相切得． 整理得：， 依题意知，所以， 联立，得， 依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为， 则，． 所以 ＝ ． 【例57】已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. (1)求抛物线T的方程： (2)已知圆，过点作圆的两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值16． 【分析】（1）由题意，根据对称性可知点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，分别设抛物线的方程为和，再进行检验即可求解； （2）设出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式求出的表达式，同理得到的表达式，易知是方程的两个根，利用韦达定理得到和，将直线AB与抛物线联立，利用结合韦达定理得到关于的表达式，同理得到关于的表达式，再代入式子进行求解即可． 【详解】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点， 由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上， 则抛物线只可能开口向上或开口向右， 设，若过点，则，得， ∴，抛物线过点，∴符合题意； 设，若过点，则，得， ∴，但抛物线不过点，不合题意． 综上，抛物线T的方程为． （2），设直线，即， 由AB与圆相切得，∴，      设，同理可得， ∴是方程的两根，． 联立，消y得，∴， 同理， ∴ 所以为定值16． 【点睛】方法点睛： 解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【例58】已知抛物线的方程为． (1)若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求； (2)设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得点的坐标，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率，由直线的方程求得点坐标，进而求得. （2）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，写出根与系数关系，联立切线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，由四点的纵坐标乘积为定值求得. 【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为，准线． 不妨设点，则， 即，可得，即， 所以，则直线的斜率． 为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，解得，即， 故．    （2）设，由，， 知过所作圆的切线的斜率k存在且非零，每条切线都与有两个交点， 设切线方程为，即， 故，整理得，① 则过P所作的两条切线，的斜率，分别是方程①的两个实根， 故有，．② 联立，消去x得，③ 设点A，B，C，D的纵坐标分别为，，，， 由③得， 同理可得． 于是得． 设（其中为常数）， 把②式代入整理得， 要使上式与的取值无关，则当且仅当常数且时， 四点的纵坐标乘积为定值．    【点睛】求解与抛物线焦半径有关的问题，可以利用抛物线的定义来列方程进行求解.求解有关直线和圆位置关系有关问题，可利用圆心到直线的距离来建立等量关系式.要求直线和圆锥曲线的交点，可通过联立方程组来求解. 【例59】已知抛物线上一点到焦点的距离为3.    (1)求，的值； (2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)， (2)定值为64 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p，利用两点距离公式求出a； （2）设切线方程，联立方程韦达定理，结合直线与圆相切得到斜率关系，从而求解纵坐标之积为定值. 【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3， ∴，∴； ∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴； （2）设，过点的直线方程设为， 由得，， 若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，， ∴，， ∵到的距离，∴， ∴，， ∴ ， ∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64. 【例60】（2023·上海长宁·上海市延安中学三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)定值为，理由见解析 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. （3）设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案. 【详解】（1）椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 （3）设，，， 三点共线，则，即， 解得，同理可得， . 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定，是解题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$