清单01 二次根式（11考点梳理+11题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

清单01 二次根式（11考点梳理+11题型解读） 清单01 二次根式 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 清单02 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质与化简 1.二次根式的基本性质： （1）≥0； a≥0（双重非负性）． （2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 2. 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 清单04 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 清单05 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质： ＝ · （a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则： ＝（a≥0，b＞0） 清单06 分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 3. 常用的有理化因式 与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等. 清单07 同类二次根式 1.同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 清单08 二次根式的加减法 1.二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.二次根式的加减运算步骤： ①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③并——合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 清单09 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 清单10 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 清单11 二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【考点题型一】二次根式的概念及求值（） 【例1-1】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例1-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【变式1-1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【考点题型二】求二次根式中的参数（） 【例2】（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【变式2-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【考点题型三】二次根式有意义的条件（） 【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【变式3-4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【考点题型四】二次根式的化简（） 【例4】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【变式4-1】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 【变式4-2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【变式4-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【变式4-4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【变式4-5】（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【变式4-6】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【考点题型五】二次根式的乘除运算（） 【例5】（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ． 【变式5-4】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）计算： 【变式5-5】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【变式5-6】（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【变式5-7】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-8】（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： 【考点题型六】最简二次根式与同类二次根式（） 【例6-1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式6-2】（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【变式6-5】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【变式6-6】（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【考点题型七】二次根式的加减及混合运算（） 【例7】（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-2】（23-24八年级下·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型八】分母有理化（） 【例8】（24-25八年级上·广东梅州·期中）①， 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ②． (1)请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ； (2)化简． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 【变式8-2】（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【考点题型九】化简求值（） 【例9-1】（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值，其中，． 【例9-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例9-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知 (1)求的值． (2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 【变式9-1】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【变式9-2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知，，求的值． 【变式9-3】（23-24八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式9-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 【例10-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【例10-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【例10-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【变式10-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【变式10-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【变式10-4】（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【考点题型十一】二次根式的应用（） 【例11】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【变式11-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    【变式11-2】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 【变式11-3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州遵义·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【变式11-5】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【变式11-6】（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： (1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【变式11-7】（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【变式11-8】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式（11考点梳理+11题型解读） 清单01 二次根式 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 清单02 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 清单03 二次根式的性质与化简 1.二次根式的基本性质： （1）≥0； a≥0（双重非负性）． （2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 2. 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 清单04 最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 清单05 二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质： ＝ · （a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则： ＝（a≥0，b＞0） 清单06 分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 3. 常用的有理化因式 与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等. 清单07 同类二次根式 1.同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2.合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 清单08 二次根式的加减法 1.二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 2.二次根式的加减运算步骤： ①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③并——合并被开方数相同的二次根式． 3.合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 清单09 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． 2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式． 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 清单10 二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 清单11 二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【考点题型一】二次根式的概念及求值（） 【例1-1】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【例1-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【变式1-1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，满足，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【考点题型二】求二次根式中的参数（） 【例2】（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式2-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式2-2】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 【变式2-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【难度】0.85 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【考点题型三】二次根式有意义的条件（） 【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】加减消元法、求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解． 【详解】对于二次根式，要使其有意义，被开方数需满足． 解不等式，两边同时减去2，得． 所以的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 根据题意得到，得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 【答案】【发现结论】；【运用结论】1；【拓展提升】 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再求出y值，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：发现结论：，则a的取值范围是； 运用结论：∵， ∴， 解得：， ， ∴； 拓展提升：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式3-4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值，化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型四】二次根式的化简（） 【例4】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 【变式4-1】（23-24八年级下·新疆喀什·期中）实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键．根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由数轴得，，， ，，， ． 【变式4-2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】数字类规律探索、分式化简求值、复合二次根式的化简 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 【变式4-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式4-4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 【变式4-5】（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、复合二次根式的化简 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 【变式4-6】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【考点题型五】二次根式的乘除运算（） 【例5】（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算错误，不符合题意； D、，故原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简： ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式5-4】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化简绝对值、求一个数的立方根、实数的混合运算、二次根式的除法 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次根式的运算法则、立方根的定义、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式5-5】（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 【变式5-6】（23-24八年级下·河北张家口·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式5-7】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． （1）先化简二次根式，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先化简乘方，零指数幂，负整数幂，绝对值化简，立方根，再计算即加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式5-8】（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据平方差公式、完全平方公式计算，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【考点题型六】最简二次根式与同类二次根式（） 【例6-1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 【例6-2】（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式6-2】（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，化为最简二次根式，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ∴是型无理数． 故答案为：． 【变式6-5】（22-23八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 【变式6-6】（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 【考点题型七】二次根式的加减及混合运算（） 【例7】（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式7-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则及乘法公式． （1）分别计算二次根式的乘除，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式计算前一项，再计算二次根式乘法，最后求和． 【详解】（1） （2） 【变式7-2】（23-24八年级下·天津南开·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减，二次根式的乘法运算，进行计算，即可． （1）根据二次根式的加减运算，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据二次根式的乘法，进行计算，即可； （4）根据，二次根式的乘法，二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【考点题型八】分母有理化（） 【例8】（24-25八年级上·广东梅州·期中）①， 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ②． (1)请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ； (2)化简． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）方法一：把分子分母都乘以（），再利用平方差公式计算；方法二：把分子改写为（），再利用平方差公式分解约分即得； （2）分母有理化后合并即得． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二：； 故答案为：；； （2）原式 ． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：， 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 【变式8-2】（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 【考点题型九】化简求值（） 【例9-1】（23-24八年级下·甘肃定西·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再把的值代入计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴原式； 【例9-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、分式化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的混合运算； （1）先化简为，再代入求值即可； （2）先通分再把分子分解因式，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【例9-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知 (1)求的值． (2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， 的小数部分是， ， ， ， 的小数部分是， ， ． 【变式9-1】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用因式分解的方法将代数式因式分解后，再将x值代入运算即可． 【详解】解： ， ∴当时，原式 故答案为：2． 【变式9-2】（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知，，求的值． 【答案】． 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查因式分解——运用平方差公式，求代数式的值，利用平方差公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式9-3】（23-24八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、二次根式的除法 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及二次根式的除法运算法则；先进行括号内的分式的减法运算，再进行除法运算，最后代入求值即可； 【详解】解： ， 当时， 原式 ； 【变式9-4】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【考点题型十】比较二次根式的大小（） 【例10-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【例10-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【例10-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【难度】0.85 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 【变式10-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 【变式10-4】（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十一】二次根式的应用（） 【例11】（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 【变式11-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．原来长方形的面积是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：面积为和的正方形木板边长分别为 ， ∴原来长方形的长为，宽为， ∴原来长方形的面积为， 故答案为：． 【变式11-2】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）将边长分别为1，，，的正方形的面积分别记为，，，令，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，正确计算出结果是关键．根据正方形的面积，得出，以此类推得出；结合，代入数值计算即可． 【详解】解：依题意， ， 以此类推： 则 ∴ ， ． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式． (1)设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积． (2)请你对公式②进行变形，推导出公式①． 【答案】(1)； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型， （1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可； （2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴，，， ∴＝． （2）解：∵ ∴，， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州遵义·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【答案】(1) (2)经费不够用 【难度】0.85 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）用空白部分的面积乘以单价得出所需费用，再与经费比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． （2）由题意，知 ∵, ∴经费不够用． 【变式11-5】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用； （1）由数轴上的两点距离得，可得，求出代入计算即可求解； （2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解； 能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：根据题意得 阴影部分的长为 （） 宽为，                               ∴阴影部分的面积为 （）． 【变式11-6】（23-24八年级下·四川泸州·期中）阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： (1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】(1) (2)①；②x=9；③△ABC 的面积为84 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形边长依次是、、， ∴ ， ∴ ； （2）①，， ； ②，，， ， ， 解得：； ③由②得 ： ， ． 【变式11-7】（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)米 (2)3080元 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：(米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 【变式11-8】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)若，求的最大值； (2)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【答案】(1) (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (3)菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$