周末拔尖学案 第7周-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（苏教版）

第7周 综合拓展题 用公倍数和最小公倍数巧解实际问题 在一个圆上有几十个孔(如图),小越像 玩跳棋那样,从a孔出发,沿逆时针方向,每 隔几个孔跳一步,他希望跳了一圈后能跳回 a孔,他先试着每隔2个孔跳一步,结果只 能跳到b孔,他又试着每隔4个孔跳一步, 也只能跳到b孔,最后他每隔6个孔跳一 步,正好跳回a 孔。这个圆上共有多少 个孔? [解析] 每隔2个孔跳一步,结果只能跳到 b孔,即孔的个数比3的倍数多1;每隔4个 孔跳一步,结果只能跳到b孔,即孔的个数 比5的倍数多1(如图)。 每隔6个孔跳一步能跳回a孔,即孔的个数 是7的倍数(如图)。 圆上有几十个孔,即孔的个数小于100,且比 3和5的公倍数多1。先求3和5的公倍 数,再分别加1就是可能的孔的个数,再根 据孔的个数是7的倍数筛选出符合条件的数。 [答案] 100以内3和5的公倍数有15、30、 45、60、75、90,加1有16、31、46、61、76、91。 其中16、31、46、61、76都不是7的倍数,只 有91符合条件。 答:这个圆上共有91个孔。 点评:先求出满足其中两个条件的数,再验证是 否有符合第三个条件的数。 1. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样 一个问题:“今有物,不知其数。三三数 之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩 二。问物几何?”大意是有一堆物品,三个 三个地数剩下两个,五个五个地数剩下三 个,七个七个地数剩下两个,这堆物品有 多少个? (只要求出最小值) 2. 加工一种零件有三道工序。第一道工序 每个工人每小时可完成48个零件,第二 道工序每个工人每小时可完成32个,第 三道工序每个工人每小时可完成28个。 三道工序至少各要安排多少个工人,才能 保证每道工序都不出现积压或停工等料 的情况? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 三　因数与倍数 思维创新题 利用奇偶性解决实际问题 一艘摆渡小船最初在南岸,从南岸驶向 北岸,再从北岸驶向南岸,不断往返。 (1) 这样摆渡11次后,小船是停在南岸 还是停在北岸? (2) 如果摆渡100次,那么小船是停在 南岸还是停在北岸? [解析] 小船从南岸出发,驶向北岸,这样算 摆渡1次,再从北岸出发,驶向南岸,这样算 摆渡2次,摆渡若干次后,可以发现小船在 河的南岸和北岸有如下规律。 发现:摆渡奇数次,小船停在北岸,摆渡偶数 次,小船停在南岸。 [答案] (1) 这样摆渡11次后,小船是停在 北岸。 (2) 如果摆渡100次,那么小船是停在南岸。 点评:运用奇偶数解决生活中的渡河、翻杯子、往 返跑、按开关、换座位等问题时,当进行奇数次 时,与原来的状态相反;当进行偶数次时,与原来 的状态相同。 1. 小山羊在一座东西方向的桥上来回跑动。 一开始小山羊是在桥的东头,现规定,小 山羊无论是从桥的东头跑到西头,还是从 桥的西头跑到东头,都算作过桥一次。 (1) 小山羊过桥若干次后,又回到了东 头,它过桥的次数是奇数还是偶数? (2) 有人认为小山羊过桥99次后,会在 桥的西头,你认为这个人的说法对吗? 为 什么? 2. 大礼堂的座位是9行9列,坐满了学生。 现在做一个游戏,当铃声响后,每名学生 都要与自己前后或左右相邻的某名学生 交换一次座位。这个游戏能做到吗? 请 说明理由。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(苏教版)五年级下 第6周 综合拓展题 数论中的质数问题 1. (1) D (2) 答案不唯一,如20=3+17 8= 3+5 2. 答案不唯一,如17=2+2+13 15=2+2+11 21=2+2+17 3. B 解析:4=2×2,2+2=4;15=3×5,3+5≠ 1+5;22=2×11,2+1+1=2+2;56=2×2×2× 7,2+2+2+7≠5+6,所以4和22是“史密斯数”。 思维创新题 巧算因数的个数 1. 方法一:1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 有 12个 方法二:90=2×3×3×5 (1+1)×(2+ 1)×(1+1)=12(个) 2. 48=2×2×2×2×3 (4+1)×(1+1)= 10(个) 1260=2×2×3×3×5×7 (2+1)× (2+1)×(1+1)×(1+1)=36(个) 解析:因数的 个数等于分解质因数后相同因数的个数依次加1 后的乘积。 第7周 综合拓展题 用公倍数和最小公倍数巧解实际问题 1. 3和7的最小公倍数是21 21+2=23(个) 23÷5=4(个)……3(个) 这堆物品有23个 解析:利用第一个条件和第三个条件中剩下物品的 个数相同,先求出满足这两个条件的数,然后验证 是否有符合第二个条件的数。 2. 48、32、28的最小公倍数是672 第一道工序: 672÷48=14(个) 第二道工序:672÷32=21(个) 第三道工序:672÷28=24(个) 解析:先求出三道 工序每个工人每小时可完成零件个数的最小公倍 数,即都可以整除的最少个数,再用最少个数分别 除以三道工序完成的效率得到三道工序至少各要 安排多少个工人。 思维创新题 利用奇偶性解决实际问题 1. (1) 偶数 解析:过桥偶数次后,小山羊在桥的 东头。 (2) 对 因为过桥奇数次后,小山羊在桥的西头 2. 这个游戏不能做到 理由:如图,座位共有9× 9=81(个),其中40个座位是涂上白色的,41个座 位是涂上黑色的。40是偶数,41是奇数,这两种颜 色座位的个数奇偶性不同,因此,这个交换座位的 游戏按其规定(即黑色座位换成白色座位)是不能 做到的。 四　分数的意义和性质 第8周 综合拓展题 周期问题中的分数 1. 68÷(2+3+1)=11(组)……2(个) 红色气 球:11×2+2=24(个) 24÷68=617 黄色气球: 11×3=33(个) 33÷68=3368 绿色气球:11× 1=11(个) 11÷68=1168 解析:先根据题意,分 别求出红色、黄色和绿色气球的数量,然后分别用 它们的数量除以气球的总数即可。 2. 100÷2+1=51(棵) 51×2=102(棵) 51÷ (2+1)=17(组) 香樟树:2×17×2=68(棵) 68÷102=23 梧桐树:1×17×2=34(棵) 34÷ 102=13 解析:先求大道一侧栽树的棵数,再乘2 就是大道两侧栽树的总棵数。按2棵香樟树、1棵 梧桐树为一组,求出大道一侧栽的组数,然后求大 道一侧栽香樟树和梧桐树的棵数,乘2就是香樟树 和梧桐树各自栽的总棵数,最后分别用香樟树和梧 桐树栽的总棵数除以栽树的总棵数来解决问题。 思维创新题 循环小数化成分数的方法 1. 0.6 · = 69 = 2 3 0.2 · 93 · =293999 0.41 · 2 · = (0.41 · 2 · ×1000-0.41 · 2 · ×10)÷990=(412.1 · 2 · - 4.1 · 2 · )÷990=408÷990=408990= 68 165 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 附：答案与解析