黄金卷04（山西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

命学科网 Www,ZX×k,C0m 让敦与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 B B D c B B A 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分） 11.712.513.2(n+1) 14.1 15.l55 44 三、解答题：（本大题共8题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(0分计第：2-5+（周+-。 2先简再求：x 其中x=-2. 解：1)原式=16x}4+1 2分 =4+1+1 3分 =6 4分 (2)解：原式=x 45分 =_x (x-x-可 6分 =x×x- (x-1)2x 7分 s、1 x-1 8分 当2时，原式号 10分 17.(7分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形. (1)实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD边于E.(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法， 1/7 命学科网 Www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 标明字母)： (2)猜想与证明：试猜想线段CD,DE和BC的数量关系，并加以证明. (1)解：如图所示，射线BE即为所求作图形， A E 。.3分 (2)CD+DE=BC,证明如下 “四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,BC=AD,AD∥BC :ZAEB ZEBC. 5分 :BE平分LABC, :ZABE ZEBC, .∠ABE=∠AEB, .AB=AE, 6分 :CD +DE AB+DE=AE +DE=AD CD+DE=BC4444447分 18.(9分) 解：(1)八(1)班的10名选手得分中89出现的次数最多，所以众数a=89: 将八(2)班10名选手得分从小到大进行排序，排在第5位和第6位的均为87，所以中位数b=87+87=87: 2 ,44.81>27.64, ∴两个班级中，成绩比较稳定的是八(2)班： 43分 (2)八(1)班小文的比赛得分为： 95×5+83×3+90×2=90.4, 5+3+2 八(2)班小明的比赛得分为： 85×5+92×3+90×2 =88.1: 6分 5+3+2 (3)因为八(1)班10名选手得分的平均数，中位数和众数都比八(2)班10名选手高，且在第二轮比赛 中八(1)班小文的得分比八(2)班小明得分高，所以八(1)班学生在本次比赛表现更突出， 49分 19.(8分) 解：过点E作EM⊥BC于点M,交AD于点H, 则四边形CDHM为矩形，∠FHE=90°，HM=CD=1.2米， 2/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 F/GH:D B 设EH的长度为a米， 由题意得，在R1△FHE中，∠FHE=90,∠EFH=589,an∠EFH=EH FH .FH= EH ≈a-5a tan∠EFH tan58°1.608 3分 在Rt△GHE中，∠GHE=90,∠EGH=71,an∠EGH=EH GH ..GH=_ EH ≈a_10a tan∠CGH tan71°2.9029 4分 AF=1.5米，AG=2.8米， FG=AG-AF=2.8-1.5=1.3米， FH-GH=FG=I3米， 444445分 即50-10a=13. 829 …6分 解得：a=4.64, :EM=EH+HM=4.64+1.2=5.84≈5.8米. 7分 答：点E距离地面BC的高度约为5.8米。 8分 20.(8分) (1)解：设y与x的函数关系式为y=c+bk≠0)， 将表中数据作为点(12,240)，(14,180)代入解析式得， 12a+b=240 a=-30 14a+b=180' 解得 b=600' 3分 ∴y与x的函数关系式为y=-30x+600(8≤x≤20： 4分 (2)解：根据题意得：设笔记本每天获得的纯利润为W, .W=x-8y=(x-8(-30x+600)=-30x2+840x-4800,6分 :W=-30x-14+1080,-30<0, :当x=14时，W取最大值，最大值为1080， 7分 3/7 命学科网 Www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 答：当该种笔记本单价定为14元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是 1080元. 8分 21.(9分) (1)证明：过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E, :CE∥AB, .∠E=∠BAE,∠B=∠BCE. .△ABD∽△ECD AB BD CE CD :AD是ABC的角平分线， .∠BAD=∠CAD. .∠E=∠CAD, CA=CE. :AB、BD AC CD 3分 (2)解：“AD是ABC的角平分线， 由(1)可得AB=BD AC CD BD 3 BC 5' BD 3 CD-2' AB BD 3 AC-CD2 6分 (3)解：延长BE交AD的延长线于点G, y D E 图3 :四边形ABCD是矩形， .AB∥CD. .∠GDE=∠GAB,∠DEG=∠ABG .△GDE∽△GAB· 4/7 学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 DG DE AG AB DG I 4+DG3 :.DG=2. .AG=AD+DG=4+2=6, 在Rt△ABG中，∠BAG=90°， BG=AB+AG2=3+6=35. :AF平分∠BAG, BF AB 3 1 FG AG 62' BF 1 BG3' F-v55 9分 22.(12分)《综合与实战》 解、(1)把x=0代入y=一20x+55存上-9 20 5 把x=1代入y=2 3 39 +x+得，”三33》9 4 5 20554' 9 919 故答案为： 0, 54 2分 (2)出球角度为以2时，把3=0代入》2=- x2+x+5 2 15 得0=- 2 2X2+x+5 9 1 3 解得x,=9,名=一2 （舍). 5分 出球角度为C,时，把=0代入乃=一 0名 369 25+ 解得x=5,x=-1(舍). 7分 由表可知，出球角度为4时，抛物线片对应的OB长为6， 9>6>5, 。小明投掷铅球出球角度为一时，抛掷铅球的水平距离OB最大：9分 5/7 命学科网 Www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 (3)设直线AB的解析式为y=女+b,设点C的横坐标为m, 9 Cm,-名5m+m+ 5 9 将)90代入=红+b特 6 9k+b=0 9 b= 解得 k=一 5 19 :直线AB的函数解析式为y=- -x+ 51 11分 19 Em,5m+ CE=- 2 6 15 m2+m 5 、2 <0, 15 当m= 力=？时，CE取得最大值，最大值为4ac-b_2只 12分 2a2 4a10 23.(12分)综合与探究 解：(1)①：四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=10, AB=CD=8,AD=BC=10,∠A=∠D=90°， 由折叠得，EF=BE,CF=BC=10, 在Rt△CDF中，DF=VCF2-DC2=6, 则AF=AD-DF=4, 设AE=x,则EF=BE=8-X, 在RtAAEF中，EF2=AF?+AE2,即(8-x=4+x2,解得x=3, 则AE=3: 2分 ②EF+MN=AB,理由如下， :四边形ABCD为炬形， ·AD BC,∠A=LABC=90°， .∠AFB=LFBC, 由折叠得，EF=BE,CF=BC,∠EFC=∠EBC=90°，∠CEB=∠CEF, .∠CBF=∠CFB, 6/7 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 ∠AFB=∠CFB, 则△ABF≌△NBF(AAS), +444444444+44*44444444444+…444+5分 :AB BN, ∠EFC=∠BNC=90°， EF∥BN, :ZCEF ZBME. ·∠BME=∠BEM, 则BM=BE, EF BM. 则MN+EF=MN+BM=BN=AB: 8分 (2)如图， 万 D B :点F落在AD上方，∠PFQ=90°， .∠APF>90°， :△APF为等腰三角形， :AP PF :∠EAP=∠QFP=90°，∠EPA=∠QPF, aEPA≌△OPF(ASA), 4410分 .EP=OP,EA=OF, AE=x,AP=y,AE=FO=x,AP=PF=y,EB=8-x,EP=OP=8-x-y,OD=2+x, QC=10-x, 在Rt△0DC中，QC2=QD2+DC2,即(10-x=(2+x+82,解得x=4 则QD=2+4=10 eeesuueeeedesruuureeessrecevsesusvteresusessreeeesseressusussedessueteussssesssutesueseuueeurreeeresuedsereeede 33 7/7 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．山西拥有丰富独特的旅游资源，古迹遍布，文物荟萃，自然风光秀美．位于山西的平遥古城，是中国目前保存最完整的四座古城之一．某日平遥白天的最高温度是零上，记作，夜间的最低温度是零下，夜间的最低温度应记作（    ） A． B． C． D． 2．2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 3．省能源局印发《山西省能源领域2024-2025年节能降碳行动计划》，确定2024年的目标是：全省单位地区生产总值能耗同比降低，能源消费总量约2.12亿吨标准煤，非化石能源消费占比超过．其中2.12亿吨用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 4．下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 5．超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 6．某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 7．强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 8．数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 9．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 10．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算： ． 12．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长约为 （保留整数）． 13．2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第n个图案中需要 个基本图形．（用含n的代数式表示） 14．如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为 ．    15．如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17．（7分）如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 18．（9分）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如表： 班级 平均数 众数 中位 数方差 八（1）班 a 八（2）班 87 b 表中______，______；两个班级中，成绩比较稳定的是______班． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 19．（8分）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，） 20．（8分）暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 (1)求与之间的函数关系式； (2)结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 21．（9分）阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… (1)请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； (2)如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______． (3)如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 22．（12分）《综合与实践》 如图1，投掷铅球时，铅球的飞行路径可以近似看作一条抛物线．抛掷铅球时，运动员出球的速度、角度、高度以及空气阻力等是影响抛掷距离的主要因素．小明在学校体育场借助红外线检测仪检测三种不同的投掷抛物线，，，已知三次抛掷铅球时，出手速度相同，出球角度分别为，，，通过投掷测试，小明希望得到最适合自己的投掷角度． 出球角度 抛物线 相关数据 相关结论 铅球与出球位置的水平距离x/m 0 1 2 … 的长 运动轨迹的函数解析 式 铅球与地面的竖直距离y/m n … 6 铅球与地面的竖直距离y/m … p 铅球与地面的竖直距离y/m … q      【基础应用】（1）图1中点A的坐标为______，n的值为______； 【应用与说理】（2）请判断在，，三个出球角度中，小明以哪一个角度投掷铅球的水平距离最大，并说明理由． 【拓展学习】（3）根据（2）中的判断结果，小明画出了最大时对应的抛物线，如图2．已知该抛物线交x轴于点B，是一个斜坡面，点C是抛物线上且在线段上方的一个动点，轴于点D，交于点E，为点C到的铅垂距离，求出的最大值． 23．（12分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．山西拥有丰富独特的旅游资源，古迹遍布，文物荟萃，自然风光秀美．位于山西的平遥古城，是中国目前保存最完整的四座古城之一．某日平遥白天的最高温度是零上，记作，夜间的最低温度是零下，夜间的最低温度应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键明确零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，根据题意解答即可． 【详解】解：某日平遥白天的最高温度是零上，记作，夜间的最低温度是零下，夜间的最低温度应记作， 故选：B． 2．2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 3．省能源局印发《山西省能源领域2024-2025年节能降碳行动计划》，确定2024年的目标是：全省单位地区生产总值能耗同比降低，能源消费总量约2.12亿吨标准煤，非化石能源消费占比超过．其中2.12亿吨用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：2.12亿． 故选：C． 4．下面是某同学在作业中的计算摘录：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中计算正确的是（    ） A．①②③④ B．①③⑤⑦ C．②③④⑥ D．②④⑤⑦ 【答案】D 【分析】根据零指数幂的运算法则判断①，根据同底数幂的乘法运算法则判断②，根据负整数指数幂的运算法则判断③，根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则判断④，根据合并同类项的运算法则判断⑤，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断⑥，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则判断⑦． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算正确； ⑤，原计算正确； ⑥，原计算错误； ⑦，原计算正确； 其中计算正确的是：②④⑤⑦． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，作，则，根据平行线的性质推出，再由垂直的定义和平行线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E和F分别作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（   ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A．0.12 B．0.15 C．0.16 D．0.18 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数应用，首先利用待定系数法得到，然后将代入求解即可． 【详解】根据题意得，电流I和电阻R，成反比例函数关系，即 ∴将，代入得， ∴ ∴将代入得，． ∴若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为． 故选：B． 7．强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一．设瓶子的底面积为S，根据沙子的体积+空余部分的体积=2000列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为S ， 初始时刻时，沙子的体积是， 终止时刻时，空白部分的体积是 根据题意列方程得，， 解得， ， 故选B． 8．数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 【答案】A 【分析】甲中，如图，连接，由矩形，可得，则、、、、分别是、、、的中位线，，，即，四边形是菱形；乙中，由折叠可知，，，由矩形，可得，，则，，，四边形是菱形． 【详解】解：甲中，如图，连接，    ∵矩形， ∴， ∴、、、、分别是、、、的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 乙中，由折叠可知，，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 10．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：取的中点O，连接，， 由题意得，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式将题目中的式子展开，同时化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长约为 （保留整数）． 【答案】5 【分析】设该车车身总长为x m，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x-0.618x=1.9，然后解方程即可． 【详解】解：设该车车身总长为x m， ∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置， ∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x， ∴x-0.618x=1.9，解得x≈5， 即该车车身总长约为5米． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 13．2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第n个图案中需要 个基本图形．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键． 观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故答案为：． 14．如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为 ．    【答案】1 【分析】过点O作于点F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，特殊角的函数值计算即可． 【详解】过点O作于点F， ∵弦平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∴； ∵，过点D作的切线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过作于点，过作交延长线于点，然后证明，又点是的中点，则，从而证明，由勾股定理求出，然后根据角平分线的性质和面积公式可以求出，最后再证明，根据性质的，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的性中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）6；（2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简乘方、负整数指数幂、零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得出，再代入，即可作答． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 当时，原式． 17．（7分）如图，已知四边形是平行四边形． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，作角平分线； （1）根据题意作的平分线，交边于E； （2）根据平行四边形的性质可得， ，，进而根据平行线的性质，角平分线的定义，得出，根据等角对等边得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求作图形， （2），证明如下 四边形是平行四边形 ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 18．（9分）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如表： 班级 平均数 众数 中位 数方差 八（1）班 a 八（2）班 87 b 表中______，______；两个班级中，成绩比较稳定的是______班． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 【答案】（1）89；87；八（2）；（2）小文得分为；小明得分为；（3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解，根据方差判断稳定性即可； （2）根据加权平均数的计算方法求出八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分即可； （3）根据平均数，中位线，众数和方差，以及2名选手的得出进行分析判断即可． 【详解】解：（1）八（1）班的10名选手得分中89出现的次数最多，所以众数； 将八（2）班10名选手得分从小到大进行排序，排在第5位和第6位的均为87，所以中位数； ∵， ∴两个班级中，成绩比较稳定的是八（2）班； （2）八（1）班小文的比赛得分为：， 八（2）班小明的比赛得分为：； （3）因为八（1）班10名选手得分的平均数，中位数和众数都比八（2）班10名选手高，且在第二轮比赛中八（1）班小文的得分比八（2）班小明得分高，所以八（1）班学生在本次比赛表现更突出． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，加权平均数的计算，根据方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的计算公式． 19．（8分）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，） 【答案】5.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，交于点，设的长度为米，解得到，解中得到，，而米， 则米，即，解得：．故米． 【详解】解：过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，， ． 在中，， ． 米，米， 米， 米， 即． 解得：． 米． 答：点距离地面的高度约为5.8米． 20．（8分）暑假期间，小颖到某超市参加了社会实践活动，在活动中她参与了某种笔记本的销售工作．已知这种笔记本的进价为8元/本，在销售过程中发现，这种笔记本每天的销售量（本）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 销售单价（元） 12 14 16 每天的销售量（本） 240 180 120 (1)求与之间的函数关系式； (2)结合所学知识，小颖还发现超市销售该种笔记本每天获得的纯利润与销售单价之间也满足一种函数关系，请你帮助小颖求出该函数关系式，并求出当该种笔记本单价定为多少元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的综合应用是解决此题的关键． （1）已知销售量与销售单价满足一次函数关系，可设一次函数表达式为，然后将表格中的两组数据代入，通过解方程组求出和的值，进而得到与满足的一次函数关系； （2）根据“纯利润 = 每本的利润×销售量”列出纯利润关于销售单价的函数关系式，该函数为二次函数，再根据二次函数的性质求出纯利润的最大值以及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将表中数据作为点，代入解析式得， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：根据题意得：设笔记本每天获得的纯利润为， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 答：当该种笔记本单价定为元时，才能使超市销售该种笔记本每天获得的纯利润最大，最大纯利润是元． 21．（9分）阅读理解题：一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可得：，小亮的证明过程（部分）如下： 证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． …… (1)请按照上面小亮的证明思路．写出该证明的剩余部分； (2)如图2，在中，是的角平分线，已知，则的值为______． (3)如图3，在矩形中，点是上一点，已知，连接，平分与交于点，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，接着上述思路，再证明，即可得到结论； （2）是的角平分线，由（1）可得，由得到，即可得到答案； （3）延长交的延长线于点，先证明，则，求得，得，在中，由勾股定理可得，再根据（1）的结论进一步即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（12分）《综合与实践》 如图1，投掷铅球时，铅球的飞行路径可以近似看作一条抛物线．抛掷铅球时，运动员出球的速度、角度、高度以及空气阻力等是影响抛掷距离的主要因素．小明在学校体育场借助红外线检测仪检测三种不同的投掷抛物线，，，已知三次抛掷铅球时，出手速度相同，出球角度分别为，，，通过投掷测试，小明希望得到最适合自己的投掷角度． 出球角度 抛物线 相关数据 相关结论 铅球与出球位置的水平距离x/m 0 1 2 … 的长 运动轨迹的函数解析 式 铅球与地面的竖直距离y/m n … 6 铅球与地面的竖直距离y/m … p 铅球与地面的竖直距离y/m … q      【基础应用】（1）图1中点A的坐标为______，n的值为______； 【应用与说理】（2）请判断在，，三个出球角度中，小明以哪一个角度投掷铅球的水平距离最大，并说明理由． 【拓展学习】（3）根据（2）中的判断结果，小明画出了最大时对应的抛物线，如图2．已知该抛物线交x轴于点B，是一个斜坡面，点C是抛物线上且在线段上方的一个动点，轴于点D，交于点E，为点C到的铅垂距离，求出的最大值． 【答案】（1），；（2）小明投掷铅球出球角度为时，抛掷铅球的水平距离最大；理由见解析；（3）的最大值为． 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． （1）把代入得，把代入得，，于是得到结论； （2）分别代入解析式，求得长，比较大小即可求解； （3）设点C的横坐标为m，得到，利用待定系数法求得直线的解析式，得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）把代入得， 把代入得，， ∴， 故答案为：，； （2）出球角度为时，把代入， 得， 解得，（舍）． 出球角度为时，把代入， 得， 解得，（舍）． 由表可知，出球角度为时，抛物线对应的长为6， ∵． ∴小明投掷铅球出球角度为时，抛掷铅球的水平距离最大； （3）设直线的解析式为，设点C的横坐标为m， ∴， 将，代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 23．（12分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【分析】（1）①根据矩形的性质得，和，由折叠得，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据得和，由折叠得，，即可判定，有，结合等腰三角形的性质得，即； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，设，则，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由折叠得，， 在中，， 则， 设，则， 在中，，即，解得， 则； ②，理由如下， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，，， 在中，，即，解得， 则． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$