7.4.2 超几何分布（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.2 超几何分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为: 事件A发生的次数 事件A发生的概率 试验总次数 随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) 一般地，如果，那么，. 二项分布的均值与方差： 学习目标 1 2 3 理解超几何分布概念, 能区分超几何分布和二项分布． 能应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率． 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题， 会求服从超几何分布的随机变量的均值． 0 新课引入 0 新学期开始了，高二某班需要重新选数学 课代表，其中有3名男生和5名女生参与竞选， 现在需要从这8人中任意选取2人作为数学课代表， 设X表示选中女生的人数． 思考：X 的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？ 这里的X的概率分布有怎样的规律？我们一起探究吧！ 读教材 0 阅读课本P77-P80，5分钟后完成下列问题： 1.超几何分布的定义和公式及其均值公式是什么？ 我们一起来探究“超几何分布”吧！ 2.二项分布与超几何分布有何区别与联系？ 01 03 02 目录 1 超几何分布 学习过程 2 题型训练 1 新知探究 探究1 已知100件产品中有8件次品，采用有放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件 产品中次品数为X，求随机变量X的分布列？ 有放回抽样 每次抽到次品的概率为 0.08，且各次抽样的结果相互独立， 此时 X 服从二项分布，即 X～B (4，0.08). ∴X的分布列： ，4. 思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从 二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 1 新知探究 探究1 已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件 产品中次品数为X，求随机变量X的分布列？ 不放回抽样 根据古典概型求X的分布列，由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4； 从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点， 且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为. 由古典概型的知识，得的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 超几何分布 1 新知1－－超几何分布 超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为： . M N－M 其中，，，，， ，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记为X~H(N,n, M). 注：(1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； (2)不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”； 1 新课引入 新学期开始了，高二某班需要重新选数学课代表，其中有3名男生和5名女生参与竞选，现在需要从这8人中任意选取2人作为数学课代表，设X表示选中女生的人数？ 根据古典概型求X的分布列，由题意可知，X可能的取值为0，1，2； 从8人中任意选取2人作为数学课代表，样本空间包含个样本点， 且每个样本点都是等可能发生的. 其中选中名女生结果数为. 由古典概型的知识，得的分布列为 X 0 1 2 P 求分布列 1 新知1－－超几何分布的均值 探究2 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，我们猜想，即. ，， 由随机变量均值的定义：当时， .(1) 因为，所以 . 当时，注意到(1)式中间求和的第一项为0， 类似可以证明结论依然成立. 1 二项分布与超几何分布的关系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布； 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 学以致用 例1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A.在10件产品中有3件次品，不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型、2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解：依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. ABD 学以致用 例2 在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ） 解：记X为2张中的中奖数， C 学以致用 例3 在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的 概率为( ) 解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品， 由超几何分布的概率公式可知， A 学以致用 例4 数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题 才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是___. 解：设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得， 思路点拨 判断一个随机变量是否服从超几何分布： 1 确定对象：总体是否可分为两类明确的对象； 2 是否不放回：是否为不放回抽样； 3 随机变量：随机变量是否为样本中其中一类个体的个数； 01 03 02 目录 1 超几何分布 学习过程 2 题型训练 2 例1 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率？ 题型1－－超几何分布的概率 解：由题意知，参加集训的男生、女生各有6人. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为： 2 例1 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数， 求X的分布列？ 题型1－－超几何分布的概率 解：根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3. 所以X的分布列为： 2 例2 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设 事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率？ 题型1－－超几何分布的概率 解：设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P(A)＝p2＝0.04， 解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)， 故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2. 2 例2 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设 事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04. (2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数， 求X的分布列？ 题型1－－超几何分布的概率 解：由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X的可能取值为0,1,2. 所以X的分布列为: 2 例3 N件产品中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（ ） 题型2－－超几何分布的均值 解：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品， 从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布， C 2 例4 盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球 的个数为ξ，则E(ξ)＝____. 题型2－－超几何分布的均值 2 例5 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数， 则P(X<2)＝____，随机变量X的均值E(X)＝____. 题型2－－超几何分布的均值 0.6 解：X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布， 思路点拨 解决超几何分布问题的三个关键点： 1 确定模型：超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的 范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； 2 超几何分布公式：超几何分布中，只要知道，，，就可以利用公式 求出取不同的概率，从而求出的分布列； 3 数学期望：求与超几何分布有关均值问题，可利用均值公式也可直接利用 求解. 课堂小结 超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为： . M N－M 其中，，，，， ，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记为X~H(N,n, M). 超几何分布的均值： A. B. C. D. 则P(X＝2)＝＝. A. B. C. D. 当0个正品4个次品时，P＝＝， 当1个正品3个次品时，P＝＝＝， 所以正品数比次品数少的概率为＋＝.故选A. 他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 1－＝. 代表队中的学生全从B中学抽取，即A中学没有学生入选代表队， 概率为＝. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. X 1 2 3 P P(X＝1)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X 0 1 2 P P(X＝0)＝＝， ∴抽到的次品数的均值E(X)＝. A.n B. C. D. 解：由题意得： N=5，M=3，n＝2；E(ξ)＝＝. 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝， E(X)＝=＝0.6. $$