7.4.2超几何分布 （教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第7章《随机变量及其分布》 人教A版2019选择性必修第三册 7.4.2超几何分布 1. 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率; 3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值. 学习目标 问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4, 0.08) ． 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布． 环节一：创设情境，引入课题 计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示． 表7.4-1 X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 环节二：观察分析，感知概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）． 环节三：抽象概括，形成概念 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 环节四：辨析理解，深化概念 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率． 分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验． 摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立， X～B(20,0.4)；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立， X服从超几何分布． 环节五：课堂练习，巩固运用 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； （2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到 0.00001 )， 如表7.4-2 所示． k p1k p2k k p1k p2k 0 0.000 04 0.000 01 11 0.070 99 0.063 76 1 0.000 49 0.000 15 12 0.035 50 0.026 67 2 0.003 09 0.001 35 13 0.014 56 0.008 67 3 0.012 35 0.007 14 14 0.004 85 0.002 17 4 0.034 99 0.025 51 15 0.001 29 0.000 41 5 0.074 65 0.065 30 16 0.000 27 0.000 06 6 0.124 41 0.124 22 17 0.000 04 0.000 01 7 0.165 88 0.179 72 18 0.000 00 0.000 00 8 0.179 71 0.200 78 19 0.000 00 0.000 00 9 0.159 74 0.174 83 20 0.000 00 0.000 00 10 0.117 14 0.119 24 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图7.4-4）看，超几何分布更集中在均值附近． 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似． 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品