精品解析：北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高二下学期统练一数学试卷

人大附中高二下学期数学统练1 一、单选题（本大题共10小题，共40分） 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B 2. 已知数列的前n项和，则是（ ） A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 3. 若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定数列为等比数列，求出首项，利用等比数列前n项和公式，即可求得答案. 【详解】由于数列满足，即 故数列为公比为2的等比数列， 又，则， 故， 故选：D 4. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 5. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解析】 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 6. 设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并项求和推理判断A；利用等比数列前项和公式推理判断B；利用负数和的意义判断CD. 【详解】对于A，，，数列是首项为， 公比为的递减等比数列，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，A不是； 对于B，，， 当时，，即， 因此对任意正整数，恒成立，有最小值，B是； 对于CD，或，，因此，随着的增大逐渐减小，无最小值，CD不是. 故选：B 7. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系. 【详解】由等差数列前n项和公式知：， ∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列， ∴“对于任意且，”必有“”， 而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立， ∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件. 故选：B. 8. 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去（假设细胞在一个月内不会死亡）．细胞总数超过个所用时间为（ ） （时间精确到个位．参考数据：，）． A. 30小时 B. 40小时 C. 45小时 D. 46小时 【答案】D 【解析】 分析】根据条件建立指数函数模型，同时取对数解不等式即可. 【详解】不妨列举小时后细胞个数分别如下： 1小时后， 2小时后, 3小时后， 假设小时后可超过个，则依题意可有， 取对数得， 解之得，故D正确. 故选：D 9. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，∴，则 又， 若，则，与前提矛盾， 所以，故①正确； 由等比中项的性质知：，故③正确； 易知，， 且 使成立的最小自然数等于4019，故②④不正确． 正确结论的序号是①③． 故选：C． 10. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值. 【详解】当满足时，， 令，则或有一项为1，而， ∴，又是各项均为正整数的数列， ∴，，，， 此时的最小值为， 当满足时，，，，，，，时， ， 因为， 所以的最小值为20 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知是等比数列，为其前n项和．若是，的等差中项，则公比______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差中项的概念结合等比数列性质，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知是等比数列，是，的等差中项， 得，则， 故答案为：2 12. 若函数，其中，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，求导，解不等式即可得答案. 【详解】由题意知的定义域为， ，则由，得， 结合，解得， 故的解集为， 故答案为： 13. 直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值. 【详解】直线是曲线的一条切线， 设切点坐标为,因为， ，则，所以切点为， 故切线为， 即，故. 故答案： ；0. 14. “三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】设第一根弦长为，求出另4根弦长，按从小到大排列，即可得“宫”与“角”所对琴弦长度，代入求解即可. 【详解】设第一根弦长为， 则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为， 又因为， 又因为琴弦越短，发出的声音音调越高， 所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：， 所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：. 故答案为：. 15. 中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①②直接迭代计算判断即可；对于③④，先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，进一步根据不等式或者基本不等式的性质进行判断. 详解】对于①，，，故①正确； 对于②，，故②错误； 为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系； 由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以， 所以有， 由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即， 同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于； 对于③，当时，由于是偶数，所以 ， 由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正， 所以， 于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于， 所以，即， 从而时，恒有，故③错误； 对于④，当时，根据上述引理可知， 所以有， 从而有， 利用均值不等式有代入上式得， 即，故④正确. 故答案为：①④. 【点睛】关键点睛：对于③④判断，关键是先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，由此即可顺利得解. 三、解答题（本大题共3小题，共35分） 16. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，则由已知条件结合等差数列的通项公式可求出，从而可求出数列的通项公式； （2）结合等比数列的通项公式和（1），可求得，然后利用分组求和法求解即可 【小问1详解】 设等差数列的公差为d． 由，可得， 即，解得． 所以 【小问2详解】 若数列是公比为3的等比数列，且， 则． 由（1）可得， ． 17. 已知数列满足： （1）求，，的值； （2）求数列的前n项和公式； （3）令，如果对任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1），， （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分别令求解即可； （2）利用和关系求出递推公式，然后使用构造法证明为等比数列，根据等比数列求和公式可得； （3）记则，分析正负求得最大值，然后可解. 【小问1详解】 由①， 令得，得； 令得，得； 令得，得. 【小问2详解】 当时，②， ①-②得：，即，即， 又，所以数列是以为首项和为公比的等比数列， 所以数列的前n项和为. 【小问3详解】 由（2）可知，所以， 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记则， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以当时单调递增，时单调递减， 即有， 所以，故，即， 解得或，所以t的取值范围为. 18. 有限数列：，，，（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的i，j（），； ②对于任意的i，j，k（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求a的值； （2）证明：2，3，5不可能是数列中的项； 【答案】（1）3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由①确定，结合②即可求得答案； （2）利用反证法，假设2，3，5是数列中的项，可推出，进而可推出，与题意矛盾，即可证明结论. 【小问1详解】 由①知，； 由②知，当时，中至少有一个是数列中的项， 结合，且，得， 经检验符合题意，故； 【小问2详解】 假设2，3，5是数列中的项，则由②知中至少有一个是数列中的项， 则有限数列的最后一项，且， 由①知，， 对于，由②知， 对于，由②知，则可得，与①矛盾， 故2，3，5不可能是数列中的项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人大附中高二下学期数学统练1 一、单选题（本大题共10小题，共40分） 1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前n项和，则是（ ） A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列 3. 若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ） A. B. C. 14 D. 4. 设在处可导，且，则等于（ ） A. 6 B. C. D. 2 5. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ） A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C. 当日时到时，甲地气温平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 6. 设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去（假设细胞在一个月内不会死亡）．细胞总数超过个所用时间为（ ） （时间精确到个位．参考数据：，）． A. 30小时 B. 40小时 C. 45小时 D. 46小时 9. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 10. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知是等比数列，为其前n项和．若是，的等差中项，则公比______． 12. 若函数，其中，则的解集为______． 13. 直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______． 14. “三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为______． 15. 中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本大题共3小题，共35分） 16. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn， 17. 已知数列满足： （1）求，，的值； （2）求数列的前n项和公式； （3）令，如果对任意，都有，求实数t取值范围． 18. 有限数列：，，，（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的i，j（），； ②对于任意的i，j，k（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求a的值； （2）证明：2，3，5不可能是数列中的项； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$