精品解析：广东省中山市杨仙逸中学2025届高三数学第一次模拟考试数学试题

杨仙逸中学2025届高三年级第一次模拟考试 数学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案. 【详解】由题意得，又因为，所以， 所以， 故选：C. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，所以, 所以，所以的虚部为， 故选：C． 3. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式所对应的集合，再观察所选选项所对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式，则，即， 取 ， ， 则集合是集合的真子集， 即使成立的一个充分但不必要条件是， 故选B. 【点睛】本题考查了充分必要条件，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题. 4. 若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B． 考点：基本不等式. 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以为增函数， 所以由可知， 故选：B 6. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2，然后由求解. 【详解】因为，且是定义在R上的偶函数， 所以， 令，则， 所以，即， 所以函数的周期为2， 所以. 故选：B. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，分别取，代入即可判断； 取，得到，利用累加法求出，对于B，验证判别式即可；对于CD，分别利用二次函数求出对称轴验证即可. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故A错误； 取，，则， 所以，，，， 将以上各式相加，得， 又因为， 所以， 对于B，令，则，即， 因为，所以方程无解，故B错误； 对于C，， 其对称轴为，故C正确； 对于D，， 其对称轴为，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用赋值法得到，从而求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由，则 ，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案. 【详解】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误； 对于B，，所以人，故B错误； 对于C，， 则人，故C正确； 对于D， 故D正确． 故选：CD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点可判断B. 【详解】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 11. 已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，可判断A；令，解得，代入可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得可判断C；利用C选项，若，，得出可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的对称中心为，故A 正确； 对于B，，令，解得， 当时， ， 因为，所以，可得， 当时， ， 因为，所以，可得， 故B错误； 对于C，令，解得， 当或时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 所以在时有极大值，在时有极小值， 如下图，当时，若，则 ， 可得，即，解得， 所以； 当时，如下图，若，则 ， 可得，即，解得， 所以； 综上所述，，故C正确； 对于D，由C选项可知，若，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 _________. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：已知条件为，待求式为 . 考点：对数的运算法则. 13. 已知，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式可化为，再进一步化为一元二次不等式进行求解即可. 【详解】将不等式可化为， 由不等式可得，即，求解得：或； 由不等式可得，即，求解得：或； 综上：. 故答案为：. 14. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可. 【详解】由题意可得， 设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的值： （3）若不等式的解集是，求的取值范围； （4）若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】（1），（2），（3），（4） 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把根代入方程中从而可求出的值， （2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，从而可求出的值， （3）由题意可得且，从而可求出的取值范围， （4）由题意可得且，从而可求出的取值范围， 【详解】（1）因为不等式的解集是或， 所以方程的两个根分别为和， 所以，解得， （2）因为不等式的解集是， 所以方程有两个相等的根为，且， 所以，且， 解得或（舍去）， （3）因为不等式的解集是， 所以且， 由，得，得或， 因为，所以， 所以的取值范围为， （4）不等式的解集是， 所以且， 由，得，解得或， 因为，所以， 所以的取值范围为 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1） 的分布列为： ， 的分布列为： ； （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 17. 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 （1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； （2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可； （2）利用最小二乘法的计算公式求值即可. 【小问1详解】 易知，所以根据正态分布区间公式有， 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为， 则，所以：； 【小问2详解】 因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： ， ， 所以， 则， 由公式可知， 即. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）； （ii）证明：函数的定义域为．若存在 ，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出，求导，，分和 两种情况讨论函数的单调性. （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【小问1详解】 由题意可知，则的定义域为， ， 当时，，则在上单调递减； 当 时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）函数，则，，故． （ii）略 19. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）原点不存在“上位点”，理由：已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可； （2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标； （3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. 【小问3详解】 将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 【点睛】方法点睛： （1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析； （2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨仙逸中学2025届高三年级第一次模拟考试 数学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 11. 已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 _________. 13. 已知，则实数的取值范围是__________. 14. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的值： （3）若不等式的解集是，求的取值范围； （4）若不等式的解集是，求的取值范围. 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 17. 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 （1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； （2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 19. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $