精品解析：广东省中山市杨仙逸中学2025届高三数学第一次模拟考试数学试题

杨仙逸中学2025届高三年级第一次模拟考试 数学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案. 【详解】由题意得，又因为，所以， 所以， 故选：C. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，所以, 所以，所以的虚部为， 故选：C． 3. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式所对应的集合，再观察所选选项所对应的集合 ，由题意可得集合 是集合 的真子集，逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式，则，即， 取 ， ， 则集合 是集合 的真子集， 即使成立的一个充分但不必要条件是， 故选B. 【点睛】本题考查了充分必要条件，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题. 4. 若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B． 考点：基本不等式. 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则 ，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以 为增函数， 所以由可知， 故选：B 6. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合 是定义在R上的偶函数，易得函数 的周期为2，然后由求解. 【详解】因为，且 是定义在R上的偶函数， 所以， 令，则， 所以，即， 所以函数 的周期为2， 所以. 故选：B. 7. 若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 8. 已知函数 的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，分别取，代入即可判断； 取，得到，利用累加法求出，对于B，验证判别式即可；对于CD，分别利用二次函数求出对称轴验证即可. 【详解】对于A，因为函数 的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故A错误； 取，，则， 所以，，，， 将以上各式相加，得， 又因为， 所以， 对于B，令，则，即， 因为，所以方程无解，故B错误； 对于C，， 其对称轴为 ，故C正确； 对于D，， 其对称轴为，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用赋值法得到，从而求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由，则 ，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案. 【详解】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误； 对于B，，所以人，故B错误； 对于C，， 则人，故C正确； 对于D， 故D正确． 故选：CD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点可判断B. 【详解】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记 为的零点，则有 所以当时， ， 在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当 时，有极小值，D正确； 由上可知，在 上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 11. 已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，可判断A；令，解得 ，代入可判断B；利用导数判断出的单调性并求出极值点，结合图像分情况由解出，可得可判断C；利用C选项，若，，得出可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的对称中心为，故A 正确； 对于B，，令，解得， 当时， ， 因为，所以，可得， 当时， ， 因为，所以，可得， 故B错误； 对于C，令，解得， 当或时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 所以在时有极大值，在时有极小值， 如下图，当时，若，则 ， 可得，即，解得， 所以； 当时，如下图，若，则 ， 可得，即，解得， 所以； 综上所述，，故C正确； 对于D，由C选项可知，若，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 _________. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：已知条件为，待求式为 . 考点：对数的运算法则. 13. 已知，则实数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式可化为，再进一步化为一元二次不等式进行求解即可. 【详解】将不等式可化为， 由不等式可得，即，求解得：或 ； 由不等式可得，即，求解得：或； 综上：. 故答案为：. 14. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可. 【详解】由题意可得， 设事件 表示“在第1,2次都摸到红球”，事件 表示“第3次摸到红球”， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于 的不等式． （1）若不等式的解集是或，求 的值； （2）若不等式的解集是，求 的值： （3）若不等式的解集是，求 的取值范围； （4）若不等式的解集是，求 的取值范围. 【答案】（1），（2），（3），（4） 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程的两个根分别为和，把根代入方程中从而可求出 的值， （2）由题意可得方程有两个相等的根为，且，从而可求出 的值， （3）由题意可得且，从而可求出 的取值范围， （4）由题意可得 且，从而可求出 的取值范围， 【详解】（1）因为不等式的解集是或， 所以方程的两个根分别为和， 所以，解得， （2）因为不等式的解集是， 所以方程有两个相等的根为，且， 所以，且， 解得或（舍去）， （3）因为不等式的解集是， 所以且， 由，得，得或， 因为，所以， 所以 的取值范围为， （4）不等式的解集是， 所以 且， 由，得，解得或， 因为 ，所以， 所以 的取值范围为 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1） 的分布列为： ， 的分布列为： ； （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 17. 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 （1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； （2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的区间公式先计算大于该地区人均生产总值的概率，再由二项分布计算即可； （2）利用最小二乘法的计算公式求值即可. 【小问1详解】 易知，所以根据正态分布区间公式有， 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为， 则，所以：； 【小问2详解】 因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： ， ， 所以， 则， 由公式可知， 即. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 【答案】（1）当 时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）； （ii）证明：函数的定义域为．若存在 ，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以 ． 可知曲线关于直线对称． 【解析】 【分析】（1）求出，求导，，分 和 两种情况讨论函数的单调性. （2）（ⅰ）求出，直接计算，即可得结果；（ⅱ）根据的定义域，推断函数的对称轴为，验证即可. 【小问1详解】 由题意可知，则的定义域为， ， 当 时，，则在上单调递减； 当 时，令，即，解得， 若，； 若，， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当 时，在上单调递减； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）函数，则，，故． （ii）略 19. 已知函数，其中，.若点 在函数的图像上，且经过点 的切线与函数图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数 和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）原点不存在“上位点”，理由：已知，则，得， 故函数经过点的切线方程为， 其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”. （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得函数经过点的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可； （2）设点的横坐标为，为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得，进而可得、的坐标； （3）由（2），构造等比数列可得，由题意，再根据导数与单调性的关系分析判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点的横坐标为，为正整数， 则函数图像在点处的切线方程为， 代入其“上位点”，得， 化简得， 即， 故， 因为，得（*）， 又点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为. 【小问3详解】 将代入，解得， 由（*）得，. 即，又， 故是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，即，. 令，则严格减， 因为，所以函数在区间上严格增. 当时，，于是当时，严格减，符合要求 当时，. 因为时， 所以当时，， 从而当时严格增，不存在正整数， 使得无穷数列，，…，严格减. 综上，. 【点睛】方法点睛： （1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析； （2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨仙逸中学2025届高三年级第一次模拟考试 数学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 使成立的一个充分但不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 5. 若命题：“，，使得”为假命题，则 ，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 7. 若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 11. 已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 _________. 13. 已知，则实数 的取值范围是__________. 14. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知关于 的不等式． （1）若不等式的解集是或，求 的值； （2）若不等式的解集是，求 的值： （3）若不等式的解集是，求 的取值范围； （4）若不等式的解集是，求 的取值范围. 16. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 17. 地区生产总值(地区)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表： 年份编号x 1 2 3 4 5 地区生产总值y(百亿元) 14.64 17.42 20.72 25.20 30.08 （1）该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 的概率； （2）该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均)u(万元)之间的线性回归方程. 参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数； 线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ， 若，则. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数． （i）求的值； （ii）证明：存在实数 ，使得曲线关于直线对称． 19. 已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”. （1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标； （3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数 和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $