7.4.1 二项分布（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.4　二项分布与超几何分布 返回目录 数学　选择性必修 第三册 7.4.1　二项分布 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　n重伯努利试验 可能结果 重复 n次 n次 相互独立 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　二项分布 X～B(n，p) np np(1－p) 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　n重伯努利试验的概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　二项分布概率的计算 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　二项分布的均值与方差 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 学法指导 1.通过具体实例，了解伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 3．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 1.注意理解在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率公式与二项式定理之间的联系． 2．在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认识，体会特殊分布的应用． 3．学习超几何分布时，重点注意公式中字母N，M和n的范围及其意义． 4．通过学习二项分布和超几何分布的概念及其数学特征，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 问题导入 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1，2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事． 问题1：试用Ai表示B1. 提示　B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)． 提示　P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83. 问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示　P(Bk)＝C×0.8k×0.23－k，k＝0,1,2,3. 问题2：试求P(B1)． 提示　因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A123，1A23，12A3两两互斥， 所以P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22 ＝3×0.8×0.22. 问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)． 提示　“重复”意味着各次试验成功的概率相同． 1．伯努利试验：把只包含两个____________的试验叫做伯努利试验． 2．定义：将一个伯努利试验独立地______进行______所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 3．特征：(1)同一个伯努利试验重复做______；(2)各次试验的结果____________. 思考：定义中“重复”的含义是什么？ 微梳理 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为_______________________________________.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________________________. 2．二项分布的均值与方差：若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝_____________________. P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n 思考：二项分布与两点分布有何关系？ 提示　两点分布是一种特殊的二项分布，是n＝1时的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　　) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　　) (4)若随机变量X～B(n，p)，则X＝1,2，3，…，n.(　　) 解析　(1)正确．由伯努利试验的相关概念知说法正确． (2)正确．由n重伯努利试验的相关概念可知说法正确． (3)错误．因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此该试验不是4重伯努利试验． (4)错误．X＝0,1,2，…，n. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 【例题1】 (1)(多选)下列试验不是n重伯努利试验的是(　　) A．依次投掷4枚质地不同的硬币，3次正面向上 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中 C．口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球 D．一台加工质量不稳定的机床连续加工出20个零件，其中出现5个次品 (2)加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响． ①加工一个这种零件是否是3重伯努利试验？求加工一个这种零件是合格品的概率； ②加工20个这种零件，记合格品的个数为X，则X是否服从二项分布？ 解析　(1)A项，试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验；B项，某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；C项，每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验；D项，加工质量不稳定说明次品率不稳定，因此不是n重伯努利试验．故选ACD项． 答案　ACD (2)①加工一个这种零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此加工一个这种零件不是3重伯努利试验．由事件的独立性知，加工一个这种零件是合格品的概率P＝××＝. ②由①知，加工一个这种零件是合格品的概率是，加工20个这种零件，每个零件的加工相互独立，故是一个20重伯努利试验，X表示加工的零件是合格品这一事件发生的次数，故服从二项分布． 规律总结 判断某试验是伯努利试验的依据：①在相同的条件下可以重复进行；②每次试验相互独立、互不影响． 【变式1】 小明和小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷． (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了(m＋n)次，则这(m＋n)次是否可看作(m＋n)重伯努利试验？ 解析　(1)由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响，故小明投掷的n次可看作n重伯努利试验，小华投掷的m次可看作m重伯努利试验． (2)在游戏的全过程中投掷(m＋n)次，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作(m＋n)重伯努利试验． 【例题2】 某气象站天气预报的准确率为80%，计算下列事件的概率(结果保留到小数点后第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确； (2)5次预报中至少有2次准确． 解析　令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B，故其分布列为P(X＝k)＝Ck·5－k(k＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C× 2×3＝10××≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0×5－C××4＝1－ 0.000 32－0.006 4≈0.99. 规律总结 (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)应用二项分布求概率的一般思路 ①根据题意设出随机变量；②分析出随机变量服从二项分布；③明确参数n，p，写出二项分布的分布列；④将k值代入求概率． 【变式2】 (1)设随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　) A. B． C． D． (2)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝______. (3)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. ①求乙至多击中目标2次的概率； ②求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 解析　(1)由题意可得P(X＝3)＝C×3×2＝.故选A项． (2)因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为＝.从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B，所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C×2×＋C××2＋C×3＝. 答案　(1)A　(2) (3)①乙至多击中目标2次的概率为1－C3＝. ②设“甲恰好比乙多击中目标2次”为事件A，“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次”为事件B1，“甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次”为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件，所以P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C3×C×3＋ C3×C××2＝×＋×＝. 【例题3】 某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张． (1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望． 解析　(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B.所以P(X＝0)＝C×4＝，P(X＝1)＝C×4＝，P(X＝2)＝C×4＝，P(X＝3)＝C×4＝，P(X＝4)＝C×4＝，所以X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 4 P (2)因为X～B，所以E(X)＝4×＝2(张)．又由已知条件可得Y＝2 300－100X，所以E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)，即所求变量Y的数学期望为2 100元． 规律总结 (1)求二项分布的均值和方差的步骤 ①先判断随机变量是否服从二项分布； ②代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差． (2)解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)． 【变式3】 (1)已知随机变量X～B，则E(X)，D(X)分别为(　　) A.， B．， C.， D．， (2)某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，. ①求该产品的次品率； ②从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差D(X)． 解析　(1)因为随机变量X～B，所以E(X)＝2×＝，D(X)＝2××＝.故选D项． 答案　D (2)①产品为正品的概率为P＝＝，所以产品为次品的概率为1－＝. ②由题意得X的取值为0,1,2,3，且X～B，则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝3＝.所以X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 P 所以D(X)＝np(1－p)＝3××＝. 1．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D(2X－1)＝(　　) A．64 B．128 C．256 D．32 答案　A 解析　由于X～B(100，p)，且E(X)＝20，则100p＝20，解得p＝0.2，所以D(X)＝100p·(1－p)＝20×(1－0.2)＝16，所以D(2X－1)＝22D(X)＝64.故选A项． 2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率为(　　) A．C×4× B．C×5 C．C×4×＋C×5 D．1－C×3×2 答案　C 解析　该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P＝C×4×＋C×5.故选C项． 3．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝______. 解析　因为ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案　0.196 4．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量为X. (1)求X＝2时的概率； (2)求X的均值． 解析　(1)依题意知X＝2表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是，故X＝2时的概率为C×2×2＝. (2)因为X服从二项分布，即X～B， 所以E(X)＝4×＝. $$