7.3.1 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.3　离散型随机变量的数字特征 返回目录 数学　选择性必修 第三册 7.3.1　离散型随机变量的均值 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　离散型随机变量的均值 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 期望 返回目录 数学　选择性必修 第三册 平均水平 aE(X)＋b 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　两点分布的均值 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　离散型随机变量均值的公式与性质 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　离散型随机变量的均值 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　离散型随机变量均值的实际应用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 学法指导 1．理解离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量的方差． 3．理解离散型随机变量的均值、方差的性质. 1．均值与方差是离散型随机变量的数字特征．对均值和方差的理解，可类比在统计部分所学习的平均数和方差． 2．均值的计算公式要熟记，具体可以类比统计部分的加权平均数的计算公式记忆；方差公式可以类比统计部分的方差的公式记忆． 3．对于离散型随机变量的均值与方差，要加强对其实际意义的理解和把握． 4．通过研究离散型随机变量的均值和方差，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 问题导入 设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个． 提示　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝. 问题3：试想每个西瓜的平均质量该如何求？ 提示　＝5×＋6×＋7×. 问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ 提示　X＝5,6,7. 问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？ 1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝___________________＝eq \i\su(i＝1,n, )xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称________. 微梳理 2．意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的____________. 3．性质：设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.一般地，结论E(aX＋b)＝____________成立． 思考：随机变量的均值和样本的平均值是常数还是随机变量？ 提示　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的． 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值．(　　) (2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同．(　　) (3)若X服从两点分布，则E(X)＝np.(　　) (4)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) 解析　(1)错误．离散型随机变量的均值是一个常数，它不具有随机性． (2)错误．两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；反之不一定成立． (3)错误．若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)正确．由均值的性质可知正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【例题1】 已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 P m (1)若Y＝－2X，求E(Y)的值； (2)若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值． 解析　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝. (2)因为E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 规律总结 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，求E(ξ)的两种思路： (1)先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)； (2)利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)． 【变式1】 (1)随机变量X的分布列如表所示，则E(5X＋4)＝(　　) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．16 B．11 C．2.2 D．2.3 (2)已知离散型随机变量X的概率分布列如表所示. X 1 2 3 4 P m ①求m的值； ②求P(|X－3|＝1)和E((X＋2)2)． 解析　(1)由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A项． 答案　A (2)①由概率分布列的性质可得＋m＋＋＝1，解得m＝. ②P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.因为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(X2)＝12×＋22×＋32×＋42×＝，所以E((X＋2)2)＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝＋4×＋4＝. 【例题2】 (2022·北京改编)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数量(单位：m)． 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25； 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23； 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求X的分布列和数学期望E(X)． 解析　(1)由题意得，甲同学的10次成绩中有4次成绩达到9.5 m以上，所以由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为P＝＝0.4. (2)由题意得，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5.设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P()＝0.6×0.5×0.5＝0.15，P(X＝1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.4， P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 所以E(X)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. 规律总结 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X)． 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． 【变式2】 (1)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，则他罚球1次的得分X的均值为______. (2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值． 解析　(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，即该运动员罚球1次的得分X的均值为0.8. 答案　0.8 (2)X的可能取值为1,2,3,4，则X＝1表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6；X＝2表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28；X＝3表明李明第一、二次考试都未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096；X＝4表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 【例题3】 (2024·北京)已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽样100单，以频率估计概率： (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率； (2)①毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望； ②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一保险期毛利润的数学期望． 解析　(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P(A)＝＝. (2)①设ξ为赔偿金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3， 由题设中的统计数据可得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝0.8)＝＝，P(ξ＝1.6)＝＝，P(ξ＝2.4)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故E(ξ)＝0×＋0.8×＋1.6×＋2.4×＋3×＝0.278，故E(X)＝0.4－0.278＝0.122(万元)． ②由题设得变化后的保费为0.4××96%＋0.4××1.2＝0.403 2， 故保单下一保险期毛利润的数学期望为E(Y)＝0.122＋0.403 2－0.4＝0.125 2(万元)． 规律总结 (1)实际问题中的均值问题：均值在实际问题中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． (2)概率模型的解答步骤 ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． 【变式3】 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？ 解析　若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120 000(元)． 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X的可能取值为184,188. X的分布列如表所示， X 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的数学期望E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6， 则购买总价的数学期望为185.6×650＝120 640(元)． 因为120 640>120 000，所以选择方案①更划算． 1．某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 答案　C 解析　由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.故选C项． 2．已知随机变量X的分布列如表所示，则E(X)＝(　　) X －1 0 1 P 0.5 0.2 p A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.3 答案　B 解析　由题意得0.5＋0.2＋p＝1，解得p＝0.3，则由离散型随机变量的均值公式得E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.故选B项． 3．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表所示，据此判定(　　) A．甲的产品质量比乙的好 B．乙的产品质量比甲的好 C．甲的产品质量与乙的一样 D．无法判定 答案　A 解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，显然E(X)<E(Y)，由数学期望的意义知，甲的产品质量比乙的好．故选A项． 4．(多选)已知随机变量X的分布列如表所示. X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)＝7.5，则以下结论正确的是(　　) A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝52.5 D．E(X＋b)＝7.5 答案　ABC 解析　由分布列的性质知0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，B项正确；因为E(X)＝4×0.3＋0.1a＋9b＋10×0.2＝6.8＋0.1a＝7.5，所以a＝7，A项正确；由均值的性质知E(aX)＝aE(X)＝7×7.5＝52.5，C项正确；E(X＋b)＝E(X)＋b＝7.5＋0.4＝7.9，D项不正确．故选ABC项． $$