7.2 离散型随机变量及其分布列（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.2　离散型随机变量及其分布列 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　离散型随机变量 样本空间Ω 唯一 有限个 一一列举 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　离散型随机变量的分布列 P(X＝xi)＝pi pi≥0 1 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点三　两点分布 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　离散型随机变量的判断 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　离散型随机变量的分布列 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　两个相关随机变量的分布列 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究四　离散型随机变量的性质 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 1．通过具体实例，了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量的分布列． 3．能熟练应用离散型随机变量的性质求概率． 4．了解两点分布. 学法指导 1．随机变量的取值由随机试验的结果决定． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事实上，本章的学习顺序与《数学必修第一册》中函数的学习顺序具有相似性，都是先了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布(指数、对数、幂函数、三角函数)，这样对比学习有利于更好地认识随机变量． 3．通过研究离散型随机变量的概念、分布列及其性质，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 提示　都等于. 问题导入 投掷一颗质地均匀的骰子，可出现六种不同的结果． 问题1：这些结果能用数字表示吗？ 提示　能，用数字1,2,3,4,5,6分别表示六种不同的结果． 问题2：用X表示这六个不同的数字，其概率分别等于多少？ 问题3：你能用表格表示X与P的对应关系吗？ 提示　列表如下. X 1 2 3 4 5 6 P 随机变量的概念 一般地，对于随机试验_______________中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 离散型随机 变量的概念 可能取值为_________或可以____________的随机变量，称为离散型随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母表示，例如X，Y，Z；随机变量的取值一般用小写英文字母表示，例如x，y，z 微梳理 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率________________________，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．表格表示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3．性质 性质1 性质2 ______________，i＝1,2，…，n p1＋p2＋…＋pn＝___ 思考：离散型随机变量的分布列有哪几种表示法？ 提示　表格法、解析式法及图象法． 若随机变量X的分布列如表所示， X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布，X为在一次试验中成功的次数(0或1)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) (3)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (4)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (5)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．(　　) 解析　(1)正确．离散型随机变量的取值是有限个，连续型随机变量的取值是无限个． (2)正确．出现正面的次数是0或1，是随机变量． (3)错误．概率应满足0≤pi≤1，i＝1,2，…，n. (4)错误．不是概率之积，而是概率之和． (5)正确．这三个事件满足两点分布的定义． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 【例题1】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)白炽灯的寿命ξ； (2)某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ； (4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取2个，其中所含黑球的个数． 解析　(1)不是离散型随机变量．白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出． (2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出． (3)不是离散型随机变量．在(0,29]这一范围内变化的水位值无法一一列出． (4)是离散型随机变量．从10个球中取2个球，所得的结果有三种：①2个白球；②1个黑球，1个白球；③2个黑球．可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． 规律总结 判断离散型随机变量的方法 判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式1】 (1)(多选)下列随机变量中是离散型随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客的数量X B．某城市一天内的温度X C．深圳欢乐谷一天接待游客的数量X D．虎门大桥一天经过的车辆数量X (2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． ①在2024年某市的公司招聘中，参加面试的5人中，通过面试的人数X； ②一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X. 解析　(1)A，C，D项中的随机变量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B项中的随机变量X无法按照一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量．故选ACD项． 答案　ACD (2)①X可能取0,1,2,3,4,5.{X＝i}表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5. ②X可能取0,1,2.{X＝i}表示“取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球”，其中i＝0,1,2. 【例题2】 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． 解析　因为箱子里共有5个球，所以从中摸出2个球，共有C＝10(种)情况． (1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”为事件A，则P(A)＝＝，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列如表所示. X 0 1 2 P 规律总结 (1)求离散型随机变量分布列的步骤 ①确定随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，n)，以及每个值表示的意义； ②求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)； ③按要求表示出分布列． (2)求离散型随机变量分布列时应注意的问题 ①确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的样本点ω，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．当随机变量X取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程． ②在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＝1，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确． 【变式2】 (1)在射击的试验中，令X＝ 如果射中的概率为0.75，求随机变量X的分布列． (2)放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列． 解析　(1)由P(X＝1)＝0.75，得P(X＝0)＝0.25.所以X的分布列如表所示. X 0 1 P 0.25 0.75 (2)设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个，X的可能取值为－1,0,1，则P(X＝－1)＝＝，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝. 所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列如表所示. X －1 0 1 P 【例题3】 已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量Y1＝－X＋，Y2＝X2－2X的分布列． 解析　对于X＝－2，－1,0,1,2,3，由Y1＝－X＋，得Y1＝，，，－，－，－， 相应的概率分别为，，，，，. 故Y1的分布列如表所示. Y1 － － － P 对于X＝－2，－1,0,1,2,3，由Y2＝X2－2X，得Y2＝8,3,0，－1,0,3， 则P(Y2＝8)＝，P(Y2＝3)＝＋＝， P(Y2＝0)＝＋＝，P(Y2＝－1)＝. 故Y2的分布列如表所示. Y2 8 3 0 －1 P 规律总结 求离散型随机变量Y＝f(X)的 分布列的一般步骤 (1)明确随机变量X的分布列． (2)弄清X取每一个值时相对应的Y的取值，再把Y所取相同的值所对应的事件的概率相加，得出Y值所对应的概率值． (3)列出概率分布表，即得Y的分布列． 【变式3】 设离散型随机变量X的分布列如表所示，求2X＋1的分布列. X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解析　由题意可知P(2X＋1＝1)＝P(X＝0)＝0.2， P(2X＋1＝3)＝P(X＝1)＝0.1， P(2X＋1＝5)＝P(X＝2)＝0.1， P(2X＋1＝7)＝P(X＝3)＝0.3， P(2X＋1＝9)＝P(X＝4)＝0.3. 所以2X＋1的分布列如表所示. 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 【例题4】 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. 解析　由题意得随机变量X的分布列如表所示. X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. 规律总结 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的，可以利用互斥事件和的概率公式求随机变量在一定范围内的概率． (2)两个性质p1＋p2＋…＋pi＝1和pi≥0，i＝1,2，…，要逐一验证，特别不能忽视pi≥0. 【变式4】 (1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为(　　) X 0 1 2 3 P a A． B． C． D． (2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P＝______. 解析　(1)由离散型随机变量概率分布的特征，知a＋＋＋＝1，所以a＝.故选A项． (2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 答案　(1)A　(2) 微专题 求创新·拓展探究 【例题】 设b和c分别是先后两次抛掷一个骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X的分布列． [解析] 由题意得，X的所有可能取值为0,1,2. 抛掷骰子的所有可能结果构成的集合为{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，元素总个数为36. X＝0对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为17； X＝1对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为2； X＝2对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…，6}，元素个数为17. 由此可知，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，故X的分布列为 X 0 1 2 P [名师点评] 本题将分布列和方程相结合，解题关键是计算出样本空间包含的所有样本点数，理清方程实根个数对应的条件，进而计算出随机事件所包含的样本点数． 【练习】 设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设X＝m2，求X的分布列． 解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2 ≤x≤3}．因为m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)因为m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝. 故X的分布列如表所示. X 0 1 4 9 P 1．(多选)下列表格中，是某个随机变量的分布列的是(　　) A. B. C. D. 答案　ABD 解析　由离散型随机变量分布列的性质可知，A，B，D项正确；C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的性质，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的性质，所以C项中的表格不是随机变量的分布列．故选ABD项． 2．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10表示的试验结果是(　　) A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标 C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标 答案　C 解析　由题意知，ξ＝10表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．故选C项． 3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有____个． 解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个． 答案　17 4．若随机变量ξ只能取两个值0,1，且ξ取0的概率是取1的概率的3倍，求ξ的分布列． 解析　由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝.所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 P $$