7.4.2 超几何分布（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.2　超几何分布 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点　超几何分布 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　超几何分布的概率 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　与超几何分布有关的分布列 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　与超几何分布有关的均值 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 问题导入 已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件． 问题1：抽取的3件产品中有1件次品，该事件服从二项分布吗？其概率是多少？ 提示　不服从，概率P＝＝. 问题2：若用X表示取得的次品数，则X的可能取值是多少？P(X＝2)是多少？ 提示　X的可能取值是0,1,2,3，P(X＝2)＝＝. 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：若随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝_____. 微梳理 思考：不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 提示　抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布．(　　) (2)盒中有4个白球和3个黑球，不放回地摸取3个球，摸到黑球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) (4)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M.(　　) 解析　(1)错误．正面向上的次数X服从二项分布． (2)正确．由超几何分布的定义知，摸到黑球的个数X服从超几何分布． (3)错误．命中目标的次数X服从二项分布． (4)错误．当抽取的产品的件数n不大于总体中的次品件数M时，k的最大值为n. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【例题1】 (1)盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 (2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为，则7名学生中甲班学生人数为______. 解析　(1)对于A项，概率为＝；对于B项，概率为＝；对于C项，概率为＝；对于D项，包括没有坏的、恰有1个是坏的和恰有2个是坏的三种情况，根据A项，恰有1个是坏的概率是>，故D项不正确．故选C项． (2)设甲班学生人数为m，则＝＝，即m2－m－6＝0，解得m＝－2(舍)，m＝3. 答案　(1)C　(2)3 规律总结 (1)超几何分布的判定关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征： ①超几何分布的抽取是不放回的； ②超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比． (2)超几何分布是随机变量的另一种分布形式．在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义． 【变式1】 (1)在含有3件次品的8件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝______. (2)数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______. 解析　(1)X满足超几何分布，故P(X＝2)＝＝. (2)设X表示解答正确的题数，由超几何分布的概率公式，可得他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 答案　(1)　(2) 【例题2】 箱中装有4个白球和m个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球所得分数之和． (1)若P(X＝6)＝，求m的值； (2)当m＝3时，求X的分布列． 解析　(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6， 所以P(X＝6)＝＝，即C＝10，所以m＝1. (2)由题意得，当m＝3时，X的可能取值为 3,4,5,6， 则 P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列如表所示. X 3 4 5 6 P 规律总结 关于超几何分布的分布列 (1)先确定随机变量的取值，再分别利用公式计算相应的概率，最后列出分布列． (2)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示． 【变式2】 袋中装有3个白棋子，2个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得3分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取2个棋子． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于2的概率． 解析　(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y，则Y的可能取值为0,1,2，对应的得分X为2,4,6.由Y服从超几何分布及X与Y的对应关系知，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝6)＝＝. 故X的分布列如表所示. X 2 4 6 P (2)根据(1)中的分布列，可知得分大于2的概率为P(X>2)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＝. 【例题3】 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值和方差． 解析　(1)由题意可知ξ的可能取值为0,1,2， 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P (2)由(1)可得E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. 规律总结 求超几何分布的均值的步骤 (1)先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值． (2)利用公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，m＝min{M，n}求出分布列． (3)利用均值定义求出均值E(X)，也可直接根据公式E(X)＝求解． 【变式3】 不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序地发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2024年“十一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如表所示. 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望． 解析　 (1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A，“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B， 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. (2)这10家民宿中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，则随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4， 则P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝， 分布列如表所示. X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.6. 微专题 明易错·误区警示 辨明二项分布与超几何分布 【例题】 在10件产品中有2件次品，连续抽取3次，每次抽取1件． (1)求不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2)求放回抽样时，抽取次品数η的均值． [解析] (1)方法一　由题意可知ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以随机变量ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，所以随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，所以 E(ξ)＝＝＝. (2)由题意知抽取1次取到次品的概率为＝，则随机变量η服从二项分布B，所以E(η)＝3×＝. [名师点评] 区别二项分布与超几何分布的方法：一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样．当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆． 【练习】 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列． 解析　由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝， P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝×××＝. 因此随机变量X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 P 1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是(　　) A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品 C．超几何分布中的参数是N，M，n D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 答案　ACD 解析　由超几何分布的定义可知A，C，D项均正确，因为超几何分布的总体里只有两类物品，故B项错误．故选ACD项． 2．一批产品共15件，有2件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　由题意知15件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.故选B项． 3．在100件产品中有4件次品，任意抽取5件，则抽到次品个数的均值是______. 解析　设抽到次品的个数为ξ，则ξ服从超几何分布，所以E(ξ)＝＝＝. 答案　 4．从18名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求“所选3人中女生人数ξ不大于1”的概率． 解析　(1)由题意得ξ的可能取值为0,1,2，服从超几何分布，则P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2. 所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P (2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ不大于1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝. $$