7.1.2 全概率公式（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.2　全概率公式 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　全概率公式的定义 Ω Ω 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　贝叶斯公式* 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　全概率公式的运用 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　贝叶斯公式的应用* 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 问题导入 甲、乙两人向同一飞机射击，设甲、乙射中的概率分别为0.4,0.5，又设若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若有两人射中，飞机必坠落．记事件A为“飞机坠落”，事件Bi为“i个人射中飞机”，i＝1,2. 问题1：一人射中飞机的概率是多少？ 提示　P(B1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5. 提示　不等于． 问题2：两人都射中飞机的概率是多少？ 提示　P(B2)＝0.4×0.5＝0.2. 问题3：飞机坠落的概率等于P(B1)与P(B2)的和吗？ 微梳理 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝___，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B ⊆___，有P(B)＝___________________，称这个公式为全概率公式．全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式． 思考：计算P(B)时，如果事件B的表达式中有积又有和，是否就一定要用全概率公式？ 提示　不一定．这是对全概率公式形式上的认识，完全把它作为一个“公式”来理解是不正确的． 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai|B)＝_______________＝，i＝1,2，…，n. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．(　　) (2)对任意事件B⊆Ω，全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)都成立．(　　) (3)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.(　　) 解析　(1)错误．各个事件应两两互斥． (2)正确．根据全概率公式的定义可知说法正确． (3)错误．需满足的条件为AiAj＝∅(i≠j)，Ai＝Ω，且P(Ai)>0. 答案　(1)×　(2)√　(3)× 【例题1】 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． 解析　设事件B为“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”，事件Ai为“提出的一台产品是第i车间生产的”(i＝1,2)， 则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥， 由题意得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6， P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88. 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 规律总结 (1)运用全概率公式的一般步骤 ①求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； ②求P(Ai)(i＝1,2，…，n)； ③求P(B|Ai)(i＝1,2，…，n)； ④求目标事件的概率P(B)． (2)运用全概率公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P(B)而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决． 【变式1】 某电器商店出售两家工厂生产的电视机，甲厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的70%，乙厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的30%，甲厂生产的电视机合格率为95%，乙厂生产的电视机合格率为80%，则该商店所售电视机的合格率是______. 解析　设事件A为“该商店所售电视机合格”，事件B为“该商店所售电视机是由甲厂生产的”，事件C为“该商店所售电视机是由乙厂生产的”． 由题知P(B)＝70%＝0.7，P(A|B)＝95%＝0.95， P(C)＝30%＝0.3，P(A|C)＝80%＝0.8， 所以P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905. 所以该商店所售电视机的合格率为90.5%. 答案　90.5% 【例题2】 已知某工厂有两条生产线a和b，a生产线生产的产品占65%，b生产线生产的产品占35%，a生产线生产的产品的合格率为90%，b生产线生产的产品的合格率为85%.在此工厂生产的产品中随机抽取一件，已知抽到的是合格品，求此产品是a生产线生产的概率(精确到0.1)． 解析　由题意设D表示抽取的是合格品，A表示该产品由a生产线生产，B表示该产品由b生产线生产，则P(A)＝0.65，P(B)＝0.35，P(D|A)＝0.9，P(D|B)＝0.85， 由贝叶斯公式得，所求概率为 P(A|D)＝ ＝ ＝≈0.7. 规律总结 应用贝叶斯公式的前提 若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择相应的方法进行求解，保证解题正确、高效． 【变式2】 已知在所有男子中有5%患有色盲症，所有女子中有0.25%患有色盲症．随机抽一人发现患有色盲症，问其为男子的概率是多少(设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字)? 解析　设A表示抽到的为男子，B表示抽到的为女子，C表示抽到的人患有色盲症． 由题意得P(A)＝P(B)＝0.5， P(C|A)＝0.05， P(C|B)＝0.002 5， 由贝叶斯公式有 P(A|C)＝ ＝≈0.95， 即随机抽一人发现患有色盲症且为男子的概率是0.95. 1．两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，那么第一台机床加工的零件所占的比例是，第二台机床加工的零件所占的比例是，则任取一个零件是不合格品的概率为×0.03＋×0.02＝，故任取一个零件是合格品的概率为1－＝.故选C项． 2．盒中有2个红球，3个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设事件A为“第一次抽出的是黑球”，事件B为“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B.由题意得P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，P()＝＝，P(B|)＝＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选A项． 3．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P(|)＝0.95.现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)约为(　　) A．0.25 B．0.092 C．0.087 D．0.4 答案　C 解析　P(A|)＝1－P(|)＝1－0.95＝0.05.被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，因此P(B|A)＝≈0.087.故选C项． 4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是工厂A的产品的概率． 解析　设事件A为“抽取的产品是工厂A生产的”，事件B为“抽取的产品是工厂B生产的”，事件C为“抽取的是次品”，则有P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.01，P(C|B)＝0.02， 根据全概率公式得，P(C)＝0.6×0.01＋0.4×0.02＝0.014，P(AC)＝P(A)P(C|A)＝0.6×0.01＝0.006，故P(A|C)＝＝＝. $$